تمارين (1-5)

(1)- بين درجة ورتبة كل من المعادلات التفاضلية التالية:

$(x^2-y^2)+3xy\frac{dy}{dx}=0$

درجة أولى رتبة أولى.

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+x\frac{dy}{dx}-5y=7$

درجة أولى رتية ثانية.

${\left(y^{\prime \prime \mathrm{\prime }}\right)}^3-2y^{\mathrm{\prime }}+8y=x^3+\cos x$

درجة ثالثة رتبة ثالثة.

${\left(\frac{d^{3}y}{d{x}^3}\right)}^2-2{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^5+3y=0$

درجة ثانية رتية ثانية.

(2)- برهن أن $y=\sin x$ هو حل للمعادلة $y^{\prime \prime }+y=0$

$$\begin{gathered} y=\sin x\Rightarrow y^{\mathrm{\prime }}=\cos x\Rightarrow y^{\prime \prime }=-\sin x \\ \mathbf{\text{ L.H.S }}=y^{\prime \prime }+y=-\sin x+\sin x=0=\mathbf{R}\mathbf{.}\mathbf{H}\mathbf{.}\mathbf{S} \end{gathered}$$

$y=\sin x$ هو حل للمعادلة أعلاه.

(3)- برهن أن العلاقة $s=8\cos 3t+6\sin 3t$ هي حل للمعادلة $\frac{d^{2}s}{d{t}^2}+9s=0$

$\begin{array}{rl}& s=8\cos \left(3t\right)+6\sin \left(3t\right)\\ & \frac{ds}{dt}=8(-\sin 3t)\left(3\right)+6(\cos 3t)\left(3\right)=-24\sin 3t+18\cos 3t\\ & \frac{d^{2}s}{d{t}^2}=-24\cos \left(3t\right)\left(3\right)+18(-\sin 3t)\left(3\right)=-72\cos 3t-54\sin 3t\\ & \mathbf{\text{L.H.S}}=\frac{d^{2}S}{d{t}^2}+9s=-72\cos 3t-54\sin 3t+9(8\cos 3t+6\sin 3t)\\ & \mathbf{\text{L.H.S}}=-72\cos 3t-54\cos 3t+72\cos 3t+54\sin 3t=0=\mathbf{R}\mathbf{.}\mathbf{H}\mathbf{.}\mathbf{S}\end{array}$

العلاقة $s=8\cos 3t+6\sin 3t$ هي حلاً للمعادلة أعلاه.

(4)- هل أن $y=x+2$ حلاً للمعادلة $y^{\prime \prime }+3y^{\mathrm{\prime }}+y=x$؟

$$\begin{gathered} y=x+2\Rightarrow y^{\mathrm{\prime }}=1\Rightarrow y^{\prime \prime }=0 \\ \mathbf{\text{L.}}\mathbf{H}\mathbf{.}\mathbf{S}=y^{\prime \prime }+3y^{\mathrm{\prime }}+y=0+3\left(1\right)+x+2=3+x+2=x+5\ne x \\ \mathbf{\text{L.H.}}\mathbf{S}\mathbf{\ne }\mathbf{R}\mathbf{.}\mathbf{H}\mathbf{.}\mathbf{S} \end{gathered}$$

$y=x+2$ ليست حلاً للمعادلة أعلاه.

(5)- هل $y=\tan x$ حلاً للمعادلة $y^{\prime \prime }=2y(1+y^2)$؟

$\begin{array}{rl}& y=\tan x\Rightarrow y^{\mathrm{\prime }}={\sec }^{2}x\\ & y^{\prime \prime }=2\sec x(\sec x\tan x)=2{\sec }^{2}x\cdot \tan x=\mathbf{\text{L.H.S}}\\ & \mathbf{\text{R.H.S}}=2y(1+y^2)=2\tan x(1+{\tan }^{2}x)=2\tan x{\sec }^{2}x\\ & \mathbf{\text{L.H.S}}\mathbf{=}\mathbf{R}\mathbf{.}\mathbf{H}\mathbf{.}\mathbf{S}\end{array}$

$y=\tan x$ هي حلاً للمعادلة أعلاه.

(6)- هل $2x^2+y^2=1$ حلاً للمعادلة $y^3{y}^{\prime \prime }=-2$؟

$\begin{array}{rl}& 2x^2+y^2=1\Rightarrow 4x+2y{y}^{\mathrm{\prime }}=0\Rightarrow 2y{y}^{\mathrm{\prime }}=-4x\Rightarrow y{y}^{\mathrm{\prime }}=-2x\Rightarrow y^{\mathrm{\prime }}=\frac{-2x}{y}\\ & y^{\prime \prime }=\frac{y(-2)-(-2x)y^{\mathrm{\prime }}}{y^2}=\frac{-2y+2x\left(\frac{-2x}{y}\right)}{y^2}=\frac{-2y-\left(\frac{4x^2}{y}\right)}{y^2}=\frac{\frac{-2y^2-4x^2}{y}}{y^2}\\ & y^{\prime \prime }=\frac{-2y^2-4x^2}{y^3}=\frac{-2(y^2+2x^2)}{y^3}=\frac{-2\left(1\right)}{y^3}=\frac{-2}{y^3}\Rightarrow y^{\prime \prime }=\frac{-2}{y^3}\\ & \mathbf{\text{L.H.S}}=y^3{y}^{\prime \prime }=y^3\left(\frac{-2}{y^3}\right)=-2=\mathbf{R}\mathbf{.}\mathbf{H}\mathbf{.}\mathbf{S}\end{array}$

$2x^2+y^2=1$ هي حلاً للمعادلة أعلاه.

(7)- هل $yx=\sin 5x$ حلاً للمعادلة $x{y}^{\prime \prime }+2y^{\mathrm{\prime }}+25yx=0$؟

$\begin{array}{rl}& yx=\sin 5x\Rightarrow y+x{y}^{\mathrm{\prime }}=5\cos 5x\Rightarrow y^{\mathrm{\prime }}+x{y}^{\prime \prime }+y^{\mathrm{\prime }}=-25\sin 5x\\ & x{y}^{\prime \prime }+2y^{\mathrm{\prime }}+25\sin 5x=0\Rightarrow x{y}^{\prime \prime }+2y^{\mathrm{\prime }}+25yx=0\end{array}$

$yx=\sin 5x$ هي حلاً للمعادلة أعلاه.

(8)- بين أن $y=a{e}^{-x}$ هو حلاً للمعادلة $y^{\mathrm{\prime }}+y=0$ حيث $a\in R$

$$\begin{gathered} y=a{e}^{-x}\Rightarrow y^{\mathrm{\prime }}=a{e}^{-x}\cdot (-1)=-a{e}^{-x} \\ \mathbf{\text{L.H.S}}=y^{\mathrm{\prime }}+y=-a{e}^{-x}+a{e}^{-x}=0=\mathbf{R}\mathbf{.}\mathbf{H}\mathbf{.}\mathbf{S} \end{gathered}$$

$y=a{e}^{-x}$ هي حلاً للمعادلة أعلاه.

(9)- بين أن $\ln \left|y\right|=x^2+c , c\in R$ هو حلاً للمعادلة $y^{\prime \prime }=4x^{2}y+2y$

$\begin{array}{rl}& \ln \left|y\right|=x^2+c\Rightarrow \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}=2x\Rightarrow y^{\mathrm{\prime }}=2xy\\ & y^{\prime \prime }=2x\left(y^{\mathrm{\prime }}\right)+2y\\ & \mathbf{\text{L.H.S}}=y^{\prime \prime }=2x{y}^{\mathrm{\prime }}+2y=2x\left(2xy\right)+2y=4x^{2}y+2y=\mathbf{R}\mathbf{.}\mathbf{H}\mathbf{.}\mathbf{S}\end{array}$

$\ln y=x^2+c$ هي حلاً للمعادلة أعلاه.