التمارين العامة الخاصة بالفصل الثاني

(1)- قطع ناقص مركزه نقطة الأصل وقطع زائد نقطة تقاطع محوريه نقطة الأصل كل منهما يمر ببؤرة الآخر فإذا كانت $9x^2+25y^2=225$ معادلة القطع الناقص فجد:

مساحة القطع الناقص:

$\begin{array}{rl}& 9x^2+25y^2=225\stackrel{÷225}{⟹}\frac{9x^2}{225}+\frac{25y^2}{225}=\frac{225}{225}\Rightarrow \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\\ & a^2=25\Rightarrow a=5 , b^2=9\Rightarrow b=3\\ & \therefore A=ab\pi =\left(5\right)\left(3\right)\pi =15\pi \left(\mathrm{مربعة} \mathrm{وحدة}\right)\end{array}$

محيط القطع الناقص:

$p=2\pi \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}=2\pi \sqrt{\frac{25+9}{2}}=2\pi \sqrt{\frac{34}{2}}=2\pi \sqrt{17} \left(\mathrm{وحدة}\right)$

معادلة القطع الزائد ثم ارسمه.

من القطع الناقص:

$\begin{array}{rl}& a^2=25\Rightarrow a=5,b^2=9\Rightarrow b=3\\ & a^2=b^2+c^2\Rightarrow c^2=25-9\Rightarrow c^2=16\Rightarrow c=4\\ & \therefore (5,0) , (-5,0) \left(\mathrm{الرأسان}\right)\\ & (4,0) , (-4,0) \left(\mathrm{البؤرتان}\right)\end{array}$

من القطع الزائد:

القطع الزائد يمر ببؤرة القطع الناقص:

$$\begin{gathered} (5,0) , (-5,0) \left(\mathrm{البؤرتان}\right) \\ (4,0) , (-4,0) \left(\mathrm{الرأسان}\right) \\ {b}^2=c^2-a^2\Rightarrow b^2=25-16\Rightarrow b^2=9 \\ \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1 \left(\mathrm{الزائد} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right) \end{gathered}$$

الاختلاف المركزي لكل منهما:

• الاختلاف المركزي للقطع الناقص $e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}<1$
• الاختلاف المركزي للقطع الزائد $e=\frac{c}{a}=\frac{5}{4}>1$

(2)- جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه تنتميان لمحور السينات ومركز نقطة الأصل ومساحة منطقته $7\pi$ وحدة مربعة ومحيطه يساوي $10\pi$ وحدة.

مساحة منطقة القطع الناقص $7\pi =$

$A=ab\pi =7\pi \Rightarrow ab=7\Rightarrow b=\frac{7}{a}\dots \dots \dots \left(1\right)$

محيط القطع الناقص $10\pi =$

$\begin{array}{rl}& P=2\pi \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\Rightarrow 10\pi =2\pi \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\stackrel{(+2\pi )}{⟹}5=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \left(\mathrm{بالتربيع}\right)\\ & \frac{a^2+b^2}{2}=25\Rightarrow a^2+b^2=50\dots \dots \dots \left(2\right)\end{array}$

بتعويض معادلة (1) في معادلة (2):

$\begin{array}{rl}& [a^2+\frac{49}{a^2}=50]\times a^2\\ & a^4-50a^2+49=0\\ & (a^2-49)(a^2-1)=0\\ & \text{either }{a}^2=49\Rightarrow a=7\Rightarrow b=\frac{7}{a}=\frac{7}{7}\Rightarrow b=1\Rightarrow b^2=1\\ & \text{or }{a}^2=1\Rightarrow a=1\Rightarrow b=\frac{7}{a}=\frac{7}{1}\Rightarrow b=7 \left(\mathrm{يهمل}\right)\\ & \frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{1}=1 \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array}$

لأن قيمة $\left(a\right)$ يجب أن تكون أكبر من قيمة $\left(b\right)$ في القطع الناقص.