أمثلة إضافية محلولة

(1)- جد معادلة القطع المكافئ الذي يمر بالنقاط $(11,-10),(-13,-10)$ والذي رأسه $(-1,2)$

قيمة المحور الصادي للنقطتين ثابتة وهذا يدل على أن محور التماثل هو (x)

$\therefore x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-13+11}{2}=\frac{-2}{2}=-1\Rightarrow x=-1$

نلاحظ ان محور التماثل يوازي المحور الصادي وهذا يعني أن القانون هو $(x-h{)}^2=4p(y-k)$

صيغة معادلة القطع المكافئ $\therefore (x+1{)}^2=4p(y-2)$

النقطة $\ni (11,-10)$ للقطع المكافئ لذا فهي تحقق معادلته

$$\begin{gathered} (12{)}^2=4p(-12)\Rightarrow 12=-4p\Rightarrow p=-3 \mathrm{الأسفل} \mathrm{نحو} \mathrm{الفتحة} \\ \therefore (x+1{)}^2=4(-3)(y-2)\Rightarrow (x+1{)}^2=-12(y-2) \mathrm{المكافئ} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة} \end{gathered}$$

(2)- النقط $(-12,-6) , (4,-6),(0,0)$ تنتمي للقطع المكافئ $y=a{x}^2+bx+c$ جد إحداثي البؤرة ومعادلة الدليل والرأس والبعد البؤري.

النقطة $\mathrm{\exists }(0,0)$ للقطع المكافئ لذا فهي تحقق معادلته $y=a{x}^2+bx+c$

$0=0+0+c\Rightarrow c=0$

النقطة $\mathrm{\exists }(4,-6)$ للقطع المكافئ لذا فهي تحقق معادلته $y=a{x}^2+bx+c$

$-6=16a+4b+0]÷2\Rightarrow 8a+2b=-3\dots \dots (1)$

النقطة $\mathrm{\exists }(-12,-6)$ للقطع المكافئ لذا فهي تحقق معادلته $y=a{x}^2+bx+c$

$-6=144a-12b+0]÷6\Rightarrow 24a-2b=-1...(2)$

نحل المعادلتين حلاً آنياً فنحصل على:

$\begin{array}{rl}& 8a+2b=-3\\ & 24a-2b=-1\dots \left(2\right)\end{array}$

نعوض في (1) فتكون معادلة القطع المكافئ:

$$\begin{gathered} 32a=-4\Rightarrow a=\frac{-1}{8} \\ \begin{array}{rl}& 8\left(\frac{-1}{8}\right)+2b=-3\Rightarrow -1+2b=-3\Rightarrow 2b=-2\Rightarrow b=-1\\ & \therefore y=\frac{-1}{8}{x}^2-x\Rightarrow 8y=-x^2-8x\Rightarrow x^2+8x=-8y\end{array} \end{gathered}$$

بإضافة (16) إلى طرفي معادلة القطع المكافئ حتى تكون حدود (x) بشكل مربع كامل ${\left(\frac{8}{2}\right)}^2=(4{)}^2=16$

$x^2+8x+16=-8y+16\Rightarrow (x+4{)}^2=-8y+16\Rightarrow (x+4{)}^2=-8(y-2)$

بالمقارنة مع المعادلة القياسية للقطع المكافئ $(x-h{)}^2=-4p(y-k)$ نحصل على:

الرأس:

$h=-4,k=2\Rightarrow \overline{V}(h,k)=\overline{V}(-4,2)$

البؤرة:

$\because -4p=-8\Rightarrow p=2\Rightarrow F(h,-p+k)=F(-4,-2+2)=F(-4,0)$

معادلة المحور:

$\because x=h⟹x=-4$

معادلة الدليل:

$\because y=p+k\Rightarrow y=2+2\Rightarrow y=4$

البعد البؤري:

$4p=4\left(2\right)=8$

(3)- جد معادلة القطع المكافئ الذي رأسه نقطة الأصل ويحقق الشروط التالية:

بؤرته $(5,0)$

البؤرة تنتمي لمحور السينات $\Leftarrow x-axis$معادلة القطع المكافئ هي $y^2=4px$

$\because (\mathrm{p},0)=(5,0)\Rightarrow p=5\therefore y^2=4\left(5\right)x\Rightarrow y^2=20x\mathrm{\forall }x>0$

بؤرته $(0,3)$

البؤرة تنتمي لمحور الصادات $\Leftarrow y-axis$معادلة القطع المكافئ هي $x^2=4py$

$\because (0,p)=(0,3)\Rightarrow p=3\therefore x^2=4\left(3\right)x\Rightarrow x^2=12x\mathrm{\forall }y>0$

معادلة دليله $2y-6=0$

البؤرة:

$\because 2y-6=0\Rightarrow 2y=6\Rightarrow y=3\Rightarrow p=-3\Rightarrow F(0,-3)$

معادلة القطع المكافئ:

$\begin{array}{rl}& \therefore x^2=-4py\\ & x^2=-4(-3)y\Rightarrow x^2=12y\end{array}$

بؤرته تنتمي لمحور الصادات ويمر بالنقطة $(\sqrt{2},\frac{1}{2})$

البؤرة تنتمي لمحور الصادات $\Leftarrow y-axis$معادلة القطع المكافئ هي $x^2=4py$

النقطة $(\sqrt{2},\frac{1}{2})$ تنتمي للقطع فهي تحقق معادلته.

معادلة القطع المكافئ:

$\begin{array}{rl}& (\sqrt{2}{)}^2=4p\frac{1}{2}\Rightarrow 2=2p\Rightarrow p=1\\ & \because x^2=4py\Rightarrow x^2=4\left(1\right)y\Rightarrow x^2=4y\end{array}$

يمر بالنقطتين $(1,2\sqrt{5}) , (1,-\sqrt{5})$ جد معادلته ومعادلة دليله.

النقطتان متناظرتان حول محور السينات (لأن قيمة $x$ ثابتة لم تتغير) معادلته $y^2=4px$

نعوض إحدى النقطتين لأن يمر بها فتكون معادلة الدليل:

$(2\sqrt{5}{)}^2=4p(1)\Rightarrow 20=4p\Rightarrow p=5\Rightarrow x=-5$

معادلة القطع المكافئ:

$\because y^2=4px=4\left(5\right)x\Rightarrow y^2=20x$

بؤرته تنتمي لمحور السينات ودليله يمر بالنقطة $(2,-4)$

البؤرة تنتمي لمحور السينات $\Leftarrow x-axis$معادلة القطع المكافئ هي $y^2=-4px$

دليله يمر بالنقطة $(2,-4)$ لذا فإن $x=2$ هي معادلة القطع الدليل يقطع الإحداثي السيني $p=-2$

معادلة القطع المكافئ:

$p=-2\Rightarrow y^2=-4px\Rightarrow y^2=-4(-2)x\Rightarrow y^2=8x$

رأسه نقطة الأصل وبؤرته مركز الدائرة التي معادلتها $x^2+y^2-4y+1=0$

مركز الدائرة=(معامل $-y/2$ , معامل $-x/2$)=$\left(\frac{0}{2},\frac{-\left(-4\right)}{2}\right)$=$\left(0,2\right)$=البؤرة

$p=2$ والبؤرة تنتمي لمحور الصادات ومعادلة القطع المكافئ:

$x^2=4py\Rightarrow x^2=4\left(2\right)y\Rightarrow x^2=8y$

دليله يوازي المحور الصادي ومعادلة محوره $y=0$ ويمر بالنقطة $(-2,1)$

الدليل يقطع الإحداثي السيني السالب والبؤرة تقع على الإحداثي السيني الموجب.

معادلة القطع المكافئ:

$y^2=4px$

القطع يمر بالنقطة $(-2,1)$ لذا فهي تحققه

معادلة القطع المكافئ:

$$\begin{gathered} \because y^2=4px\Rightarrow (1{)}^2=4p(-2)\Rightarrow 1=-8p\Rightarrow p=\frac{-1}{8} \\ \therefore y^2=4\left(\frac{-1}{8}\right)x\Rightarrow y^2=\frac{-1}{2}x \end{gathered}$$

يقطع من المستقيم $x=4$ قطعة طولها $\left(10\right)$ وحدات.

رأسي القطع المكافئ:

$\because 2y=10\Rightarrow y=5\Rightarrow (4,5)(4,-5)$

التناظر حول محور السينات $\Leftarrow$ معادلة القطع المكافئ $y^2=4px$ والنقطة $\left(4,5\right)$ تحققه

$\begin{array}{rl}& y^2=4px\Rightarrow (5{)}^2=4p(4)\Rightarrow 25=16p\Rightarrow p=\frac{25}{16}\\ & y^2=4px\Rightarrow y^2=4\left(\frac{25}{16}\right)x\Rightarrow y^2=\left(\frac{25}{4}\right)x\end{array}$

(4)- جد معادلة القطع المكافئ الذي رأسه نقطة الأصل ويحقق الشروط التالية:

بؤرته الصيغة الديكارتية للعدد $z=\frac{-4+2i}{2-i}$

الصيغة الديكارتية:

$z=\frac{-4+2i}{2-i}\times \frac{2-i}{2-i}=\frac{-8-4i+4i-2}{5}=\frac{-10}{5}=-2\Rightarrow (-2,0)$

البؤرة:

$\therefore (-2,0)=(p,0)\Rightarrow p=-2$

معادلة القطع المكافئ:

$\therefore y^2=4px=4(-2)x\Rightarrow y^2=-8x$

بؤرته تنتمي لأحد المحورين ودليله يمر بالنقطة $\left(3,4\right)$

الدليل يمر بالنقطة $\left(3,4\right)$ ولم يحدد لأي المحورين يوازي $\Leftarrow$ يوجد دليلان $p=3 , p=4$

يوجد بؤرتان الثانية $\left(0,-4\right)$ والأولى $\left(-3,0\right)$ مما يعني قطعان مكافئان.

معادلة القطع المكافئ الأول:

$\therefore y^2=-4px=-4\left(3\right)x\Rightarrow y^2=-12x$

معادلة القطع المكافئ الثاني:

$\therefore x^2=-4py=-4\left(4\right)y\Rightarrow x^2=-16y$

يمر برؤوس المثلث $ABC$ حيث $A(0,0) , B(-2,4) , C(2,m)$ ثم أوجد قيمة $m$

النقطة $\mathrm{\exists }(2,m)$ للربع الأول لكي يتحقق القطع، لأنه لو كانت في الرب الرابع أصبح خطاً مستقيماً.

البؤرة تقع على المحور الصادي والقانون $x^2=4py$

القطع يمر بالنقطة $(-2,4)$ فهي تحققه

$\therefore (-2{)}^2=4p(4)\Rightarrow 4=16p\Rightarrow p=\frac{4}{16}\Rightarrow p=\frac{1}{4}\Rightarrow x^2=4py=4\left(\frac{1}{4}\right)y\Rightarrow x^2=y$

النقطة $(2,m)$ تقع على القطع لذا فهي تحقق معادلة القطع:

$\therefore (2{)}^2=m\Rightarrow m=4$

رأسه نقطة الأصل ومعادلة دليله $2y+\sqrt{3}=0$

معادلة القطع المكافئ:

$$\begin{gathered} 2y+\sqrt{3}=0\Rightarrow 2y=-\sqrt{3}\Rightarrow y=\frac{-\sqrt{3}}{2}\Rightarrow p=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \because x^2=4py=4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)y\Rightarrow x^2=2\sqrt{3}y \end{gathered}$$