انسحاب المحاور للقطع المكافئ

درسنا في الأمثلة السابقة القطع المكافئ الذي يكون رأسه نقطة الأصل وبؤرته تقع على إحدى المحاور الإحداثية (السينية أو الصادية)، والآن سوف ندرس القطع المكافئ بعد انسحابه إلى جهة معينة وسوف ترمز إلى رأس القطع بـ $(h,k)$ وهذا الجدول يلخص لنا جميع الحالات:

والجدول أدناه يوضح الفروق بين المعادلات بين كلاً المحورين:

ملاحظة: الرأس هو منتصف البعد بين البؤرة والدليل أي أن:

$x_{\mathrm{الرأس}}=\frac{x_{\mathrm{الدليل}}+x_{\mathrm{البؤرة}}}{2}$ وكذلك $y_{\mathrm{الرأس}}=\frac{y_{\mathrm{الدليل}}+y_{\mathrm{البؤرة}}}{2}$

(1)- عين الرأس والبؤرة ومعادلة المحور ومعادلة الدليل للقطع المكافئ: $(y+1{)}^2=4(x-2)$

الفتحة نحو اليمين: بالمقارنة مع المعادلة القياسية للقطع المكافئ

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& (y-k{)}^2=4p(x-h)\\ & h=2k=-1\Rightarrow (h,k)=(2,-1) \mathrm{الرأس}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \because 4p=4\Rightarrow p=\frac{4}{4}=1\\ & \overline{F}(p+h,k)=\overline{F}(1+2,-1)=\overline{F}(3,-1) \mathrm{البؤرة}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& y=k\Rightarrow y=-1 \mathrm{المحور} \mathrm{معادلة}\\ & x=-p+h\Rightarrow x=-1+2=1 \mathrm{الدليل} \mathrm{معادلة}\end{array} \end{gathered}$$

ملاحظة: في بعض الحالات نحتاج إلى التحويل الصيغة المربع الكامل لجعل ممكنة مع معادلة القطع فإذا كانت المعادلة $(x^2+\underset{\_}{b}x=c)$ فنضيف للطرفين (مربع نصف معامل x) أي ${\left(\frac{b}{2}\right)}^2$ ولا يصح هذا القانون إلا إذا كان (معامل $1=x^2$).

(2)- ناقش القطع المكافئ$x^2+4x+2y-2=0$

$\begin{array}{rl}& x^2+4x=-2y+2\\ & x^2+4x+4=-2y+2+4\\ & (x+2{)}^2=-2y+6\\ & (x+2{)}^2=-2(y-3)\\ & (x-h{)}^2=-4p(y-k)\\ & h=-2,k=3\Rightarrow (h,k)=(-2,3) \mathrm{الرأس}\\ & -4p=-2\Rightarrow p=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}\Rightarrow \overline{F}(h,-p+k)=\overline{F}(-2,\frac{-1}{2}+3)=\overline{F}(-2,\frac{5}{2}) \mathrm{البؤرة}\\ & x=h\Rightarrow x=-2 \mathrm{المحور} \mathrm{معادلة}\\ & \because y=p+k\Rightarrow y=\frac{1}{2}+3=\frac{1+6}{2}=\frac{7}{2}\Rightarrow y=3\frac{1}{2} \mathrm{الدليل} \mathrm{معادلة}\end{array}$

(3)- جد إحداثي الرأس والبؤرة ومعادلة محور القطع ومعادلة الدليل للقطع المكافئ.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& 3y^2-24y=12x]÷3\\ & y^2-8y=4x\\ & y^2-8y+16=4x+16\\ & (y-4{)}^2=4(x+4)\\ & (y-k{)}^2=4p(x-h)\\ & h=-4,k=4\Rightarrow (h,k)=(-4,4) \mathrm{الرأس}\\ & 4p=4\Rightarrow p=\frac{4}{4}=1\Rightarrow \overline{F}(p+h,k)=\overline{F}(1-4,4)=\overline{F}(-3,4) \mathrm{البؤرة}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& y=k\Rightarrow y=4 \mathrm{المحور} \mathrm{معادلة}\\ & x=-p+h\Rightarrow x=-1-4=-5 \mathrm{الدليل} \mathrm{معادلة}\end{array} \end{gathered}$$

(4)- جد معادلة القطع المكافئ الذي رأسه $(-1,3)$ ويمر بالنقطة $(3,5)$ ومحوره يوازي محور السينات.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& (y-k{)}^2=4p(x-h)\\ & (y-3{)}^2=4p(x+1)\end{array} \\ (h,k)\Rightarrow (-1,3) \mathrm{الرأس} (3,5)\in \mathrm{للقطع} \\ (5-3{)}^2=4p(3+1)\Rightarrow 4=16p\Rightarrow p=\frac{1}{4}\Rightarrow \therefore (y-3{)}^2=(x+1) \mathrm{المعادلة} \end{gathered}$$

(5)- جد إحداثي الرأس والبؤرة ومعادلة محور القطع ومعادلة الدليل للقطع المكافئ.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& y^2+8y-8x+24=0\\ & y^2+8y=8x-24\\ & y^2+8y+\left(16\right)=8x-24+\left(16\right)\\ & y^2+8y+\left(16\right)=8x-8\\ & (y+4{)}^2=8(x-1)\\ & (y-k{)}^2=4p(x-h)\\ & h=1,k=-4\Rightarrow (h,k)=(1,-4) \mathrm{الرأس}\\ & 4p=8\Rightarrow p=\frac{8}{4}=2\Rightarrow \overline{F}(p+h,k)=\overline{F}(2+1,-4)=\overline{F}(3,-4) \mathrm{البؤرة}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& y=k\Rightarrow y=-4 \mathrm{الدليل} \mathrm{معادلة}\\ & x=-p+h\Rightarrow x=-2+1\Rightarrow x=-1 \mathrm{المحور} \mathrm{معادلة}\end{array} \end{gathered}$$

ملاحظة: يمكننا استنتاج معادلة المحور من الجزء الذي فيه تربيع في المعادلة، كما في الأمثلة أدناه:

$\begin{array}{rl}& (y-5{)}^2=6(x-2)\Rightarrow y=5\\ & (x+2{)}^2=3(y-1)\Rightarrow x=-2\\ & x^2=12y\Rightarrow x=0\\ & y^2=-4x\Rightarrow y=0\end{array}$