أمثلة إضافية محلولة

(1)- جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل والبؤرتان على محور الصادات وطول المحور الحقيقي له $16$ والنسبة بين المسافة بين بؤرتيه وطول محوره الحقيقي $\frac{5}{4}$

$\begin{array}{rl}& \because 2a=16\Rightarrow a=8\Rightarrow a^2=64\\ & \because \frac{2c}{2a}=\frac{5}{4}\Rightarrow \frac{c}{8}=\frac{5}{4}\Rightarrow c=\frac{40}{4}=10\Rightarrow c^2=100\\ & c^2=a^2+b^2\Rightarrow b^2=100-64\Rightarrow b^2=36\\ & \frac{y^2}{64}-\frac{x^2}{36}=1 \left(\mathrm{الزائد} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array}$

(2)- جد معادلة القطع الزائد الذي إحدى بؤرتيه بؤرة القطع المكافئ $x^2=20y$ وطول محوره المرافق يساوي البعد بين بؤرتي القطع الناقص $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1$

من القطع المكافئ:

$\begin{array}{rl}& x^2=4py\\ & x^2=20y\\ & 4p=20\Rightarrow p=5\Rightarrow (0,5) \left(\mathrm{البؤرة}\right)\end{array}$

من القطع الناقص:

$a^2=16 , b^2=9\Rightarrow a^2=b^2+c^2\Rightarrow c^2=7\Rightarrow c=\sqrt{7}\Rightarrow 2c=2\sqrt{7}$

من القطع الزائد:

$$\begin{gathered} \because 2b=2\sqrt{7} \left(\mathrm{المرافق} \mathrm{المحور} \mathrm{طول}\right) \\ b=\sqrt{7}\Rightarrow b^2=7 \\ \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1 , c=5 , (0,-5),(0,5) \left(\mathrm{الزائد} \mathrm{القطع} \mathrm{بؤرتا}\right) \\ {c}^2=a^2+b^2\Rightarrow a^2=25-7\Rightarrow a^2=18 \\ \frac{y^2}{18}-\frac{x^2}{7}=1 \left(\mathrm{الزائد} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right) \end{gathered}$$

(3)- جد معادلة القطع الزائد الذي يمر بالنقطتين $(0,3\sqrt{2}) , (3,-6)$

القطع الزائد يمر بالنقطة $(0,3\sqrt{2})$ لذا فالنقطة تمثل رأس القطع الزائد وقيمة $a=3\sqrt{2}$ فإن:

$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$

$\left(3,-6\right)$ تنتمي للقطع الزائد لذا فهي تحقق معادلته

$\frac{(-6{)}^2}{(3\sqrt{2}{)}^2}-\frac{(3{)}^2}{b^2}=1\Rightarrow \frac{36}{18}-\frac{9}{b^2}=1\Rightarrow 2-\frac{9}{b^2}=1\Rightarrow b^2=9\Rightarrow \frac{y^2}{18}-\frac{x^2}{9}=1$

(4)- جد معادلة القطع الزائد الذي بؤرتاه رأسا القطع الناقص $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$ وطول محوره الحقيقي $\left(12\right)$ وحدة.

من القطع الناقص:

$a^2=100 , b^2=64\Rightarrow a=\pm 10\Rightarrow (-10,0) , (10,0) \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{رأسا}\right)$

من القطع الزائد:

$\begin{array}{rl}& \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1⟸c=10⟸(-10,0) , (10,0) \left(\mathrm{الزائد} \mathrm{القطع} \mathrm{بؤرتا}\right)\\ & \because 2a=12\Rightarrow a=6\Rightarrow a^2=36\\ & \because c^2=a^2+b^2\Rightarrow b^2=100-36\Rightarrow b^2=64\\ & \frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1 \left(\mathrm{الزائد} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array}$

(5)- جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل وبعده البؤري مساوياً لبعد بؤرة القطع المكافئ عن دليله $y^2+24x=0$، إذا علمت أن مساحة القطع الناقص $80\pi {\mathrm{cm}}^2$

في القطع المكافئ:

$$\begin{gathered} y^2=-4px \\ \begin{array}{rl}& y^2+24x=0\Rightarrow y^2=-24x\\ & -24x=-4px\stackrel{(÷-4)}{⟹}p=6\Rightarrow 2p=12 \left(\mathrm{ودليله} \mathrm{المكافئ} \mathrm{القطع} \mathrm{بؤرة} \mathrm{بين} \mathrm{البعد}\right)\end{array} \end{gathered}$$

في القطع الناقص:

$\begin{array}{rl}& 2c=12\Rightarrow c=6\Rightarrow c^2=36\\ & a^2=c^2+b^2\Rightarrow a^2-b^2=36....\left(1\right)\\ & A=ab\pi \Rightarrow 80\pi =ab\pi \Rightarrow b=\frac{80}{a}....\left(2\right)\end{array}$

نعوض المعادلة (2) في المعادلة (1) فينتج:

$\begin{array}{rl}& a^2-{\left(\frac{80}{a}\right)}^2=36\stackrel{(\times a^2)}{⟹}{a}^4-6400=36a^2\Rightarrow a^4-36a^2-6400=0\\ & (a^2-100)(a^2+64)=0\\ & \left(\mathrm{إما}\right) a^2=100\Rightarrow b^2=\frac{6400}{a^2}=\frac{6400}{100}=64\\ & \left(\mathrm{أو}\right) a^2=-64 \left(\mathrm{يهمل}\right)\end{array}$

هناك معادلتان للقطع الناقص لأن موقع البؤرتين غير محدد هما:

$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1\text{or}\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{100}=1$

(6)- جد معادلة القطع الزائد والناقص إذا كان كل منهما يمر ببؤرتي الآخر وكلاهما يقعان على محور السينات وطول المحور الكبير $6\sqrt{2}$ وحدة طول وطول المحور الحقيق يساوي $6$ وحدة طول.

• كل من القطعتين يمر ببؤرة الآخر.
• رأسا القطع الناقص يمثلان بؤرتا القطع الزائد وبؤرتا القطع الناقص تمثلان رأسا القطع الزائد للناقص $c$= للزائد $a$
• للزائد $c$= للناقص $a$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& 2a=6\sqrt{2}\Rightarrow a=3\sqrt{2}\Rightarrow a^2=18 \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع}\right)\\ & 2a=6\Rightarrow a=3\Rightarrow a^2=9 \left(\mathrm{الزائد} \mathrm{القطع}\right)\\ & (\pm 3\sqrt{2},0) \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{رأسا}\right)\\ & (\pm 3,0) \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{بؤرتي}\right) \Rightarrow c=3\Rightarrow c^2=9\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \because a^2=b^2+c^2\\ & \therefore b^2=18-9\Rightarrow b^2=9\\ & (\pm 3\sqrt{2},0) \left(\mathrm{الزائد} \mathrm{القطع} \mathrm{بؤرتي}\right) \\ & (\pm 3,0) \left(\mathrm{الزائد} \mathrm{القطع} \mathrm{رأسي}\right) \Rightarrow a=3\Rightarrow a^2=9\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \because c^2=a^2+b^2\\ & b^2=18-9\Rightarrow b^2=9\\ & \frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1 \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\\ & \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{9}=1 \left(\mathrm{الزائد} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array} \end{gathered}$$