القطع الزائد

القطع الزائد: هي مجموعة النقط في المستوي التي تكون القيمة المطلقة لفرق بعدي أي منها عن نقطتين ثابتتين (البؤرتان) يساوي عدداً ثابتاً $\left(2a\right)$

حسب التعريف $|P{F}_1-P{F}_2|=2a$

معادلة قطع زائد بؤرتاه سينيتان والمركز نقطة الأصل $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

معادلة قطع زائد بؤرتاه صاديتان والمركز نقطة الأصل.

جدول يبين مفردات القطع الزائد في الحالتين:

القطع الزائد	البؤرتان	الرأسان	القطبان	المعادلة
	$\begin{array}{c}{F}_1(c,0)\\ F_2(-c,0)\end{array}$	$\begin{array}{c}{V}_1(a,0)\\ V_2(-a,0)\end{array}$	$\begin{array}{c}(0,b)\\ (0,-b)\end{array}$	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
	$\begin{array}{c}{F}_1(0,c)\\ F_2(0,-c)\end{array}$	$\begin{array}{c}{V}_1(0,a)\\ V_2(0,-a)\end{array}$	$\begin{array}{c}(b,0)\\ (-b,0)\end{array}$	$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$

ملاحظات:

1. دائماً $a,b,c>0 , c>a,b$
2. طول المحور الحقيقي $2a=$ (العدد الثابت).
3. طول المحور التخيلي $2b=$ (المحور المرافق).
4. المسافة بين البؤرتين $2\mathrm{c}=$ (البعد البؤري).
5. الاختلاف المركزي $e=\frac{c}{a}>1$
6. $c^2=a^2+b^2$
7. إذا كانت إشارة الـ $\left(x^2\right)$ موجبة فالقطع الزائد بؤرتاه سينيتان.
8. إذا كانت إشارة الـ $\left(y^2\right)$ موجبة فالقطع الزائد بؤرتاه صاديتان.

(1)- عين البؤرتين والرأسين وطول كل من المحورين الحقيقي والمرافق للقطع الزائد $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$

$\begin{array}{rl}& \because a^2=64\Rightarrow a=8\Rightarrow 2a=16 \left(\mathrm{وحدة}\right)....\left(\mathrm{الحقيقي} \mathrm{المحور} \mathrm{طول}\right)\\ & \because b^2=36\Rightarrow b=6\Rightarrow 2b=12 \left(\mathrm{وحدة}\right)....\left(\mathrm{المرافق} \mathrm{المحور} \mathrm{طول}\right)\\ & c^2=a^2+b^2=64+36\Rightarrow c^2=100\Rightarrow c=10\\ & V_1(8,0) , V_2(-8,0) \left(\mathrm{الزائد} \mathrm{القطع} \mathrm{رأسا}\right)\\ & P_1(0,6) , P_2(0,-6) \left(\mathrm{الزائد} \mathrm{القطع} \mathrm{قطبا}\right)\\ & F_1(10,0) , F_2(-10,0) \left(\mathrm{الزائد} \mathrm{القطع} \mathrm{بؤرتا}\right)\end{array}$

(2)- جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل وطول محوره المرافق $\left(4\right)$ وحدات وبؤرتاه هما النقطتان $F_1(0,\sqrt{8}) , F_2(0,-\sqrt{8})$

البؤرتان تنتمي لمحور الصادات.

المعادلة القياسية للقطع الزائد $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$

$\begin{array}{rl}& \because 2b=4\Rightarrow b=2\Rightarrow b^2=4\\ & c=\sqrt{8}\Rightarrow c^2=8\\ & \because c^2=a^2+b^2\Rightarrow a^2=c^2-b^2\Rightarrow a^2=8-4\Rightarrow a^2=4\\ & \frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{4}=1 \left(\mathrm{الزائد} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array}$

في هذا المثال يكون المحور الحقيقي مساوٍ للمحور المرافق ويسمى القطع الزائد القائم واختلافه المركزي ثابت هو $\sqrt{2}$ لأن النقاط الأربعة تشكل رؤوس مربع.

(3)- جد معادلة القطع الزائد اختلافه المركزي $\left(2\right)$ والمسافة بين بؤرتيه $\left(12\right)$ وبؤرتاه على محور الصادات.

البؤرتان صاديتان فمعادلة القطع:

$\begin{array}{rl}& \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\\ & 2c=12\Rightarrow c=6\\ & e=\frac{c}{a}\Rightarrow a=\frac{c}{e}\Rightarrow a=\frac{6}{2}=3\Rightarrow a^2=9\\ & c^2=a^2+b^2\Rightarrow b^2=c^2-a^2\Rightarrow b^2=36-9\Rightarrow b^2=27\\ & \frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{27}=1 \left(\mathrm{الزائد} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array}$

(4)- جد معادلة القطع الزائد الذي إحدى بؤرتاه $\left(10,0\right)$ والفرق بين طول محوره الحقيقي والتخيلي يساوي $4$

$\begin{array}{rl}& c=10\Rightarrow c^2=100\\ & 2a-2b=4\Rightarrow a-b=2\\ & a=2+b\dots \dots \left(1\right)\\ & c^2=a^2+b^2\\ & 100=(2+b{)}^2+b^2\\ & 100=4+4b+b^2+b^2\\ & 100=4+4b+2b^2\\ & [2b^2+4b-96=0]÷2\\ & b^2+2b-48=0\\ & (b+8)(b-6)=0\\ & b=-8 \left(\mathrm{تهمل}\right)\\ & b=6\Rightarrow b^2=36\\ & a=2+6=8\Rightarrow a^2=64\\ & \frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1 \left(\mathrm{الزائد} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right) \end{array}$

(5)- جد معادلة القطع المخروطي الذي مركزه نقطة الأصل وأحد بؤرتيه $(0,-6)$ وأحد رأسيه $\left(0,4\right)$

القطع المخروطي إذا لم يذكر نوعه ولكن من علاقة $c>a$ نحصل على أنه قطع زائد.

$\begin{array}{rl}& c=6\Rightarrow c^2=36\\ & a=4\Rightarrow a^2=16\therefore c>a\left(\mathrm{زائد} \mathrm{قطع} \mathrm{لأنه}\right)\\ & c^2=a^2+b^2\\ & 36=16+b^2\Rightarrow b^2=36-16\Rightarrow b^2=20\\ & \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\\ & \frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{20}=1 \left(\mathrm{الزائد} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array}$

(6)- جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل وأحد رأسيه بؤرة القطع المكافئ $y^2-32x=0$ والنسبة بين البعد بين بؤرتيه إلى طول محوره المرافق كنسبة $\frac{5}{3}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& y^2-32x=0 \left(\mathrm{المكافئ} \mathrm{القطع}\right)\\ & y^2=32x\\ & y^2=4px\Rightarrow 4p=32\Rightarrow p=8\\ & F_1(8,0) \left(\mathrm{المكافئ} \mathrm{القطع} \mathrm{بؤرة}\right)\\ & V_1,V_2 \left(\mathrm{الزائد} \mathrm{للقطع}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \frac{2c}{2b}=\frac{5}{3}\Rightarrow 3c=5b\Rightarrow c=\frac{5b}{3}\dots \dots \dots \left(1\right)\\ & c^2=a^2+b^2\\ & {\left(\frac{5b}{3}\right)}^2=64+b^2\\ & [\frac{25b^2}{9}=64+b^2]\times 9\\ & 25b^2=576+9b^2\Rightarrow 25b^2-9b^2=576\\ & 16b^2=576\Rightarrow b^2=\frac{576}{16}=36\Rightarrow b=6\\ & \frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1 \left(\mathrm{الزائد} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array} \end{gathered}$$

(7)- جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه تنتميان إلى محور السينات ويمر بالنقطتين $(-5,\frac{9}{4}) , (4\sqrt{2},3)$

نعوض النقطة $(4\sqrt{2},3)$ في معادلة القطع الزائد $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

$\begin{array}{rl}& \frac{(4\sqrt{2}{)}^2}{a^2}-\frac{(3{)}^2}{b^2}=1\\ & (\frac{32}{a^2}-\frac{9}{b^2}=1)a^2{b}^2\\ & 32b^2-9a^2=a^2{b}^2 ........\left(1\right)\end{array}$

نعوض النقطة $(-5,\frac{9}{4})$ في معادلة القطع الزائد

$$\begin{gathered} \frac{(-5{)}^2}{a^2}-\frac{{\left(\frac{9}{4}\right)}^2}{b^2}=1 \\ \begin{array}{rl}& (\frac{25}{a^2}-\frac{\frac{81}{16}}{b^2}=1)a^2{b}^2\\ & 25b^2-\frac{81}{16}{a}^2=a^2{b}^2\dots \dots \dots \dots \left(2\right)\\ & 32b^2-9a^2=a^2{b}^2\dots \dots \dots \dots \left(1\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \mp 25b^2+\frac{81}{16}{a}^2=\mp a^2{b}^2\dots \dots ..\left(2\right)\\ & [7b^2-\frac{63}{16}{a}^2=0]\times 16\\ & 112b^2-63a^2=0\\ & 63a^2=112b^2\Rightarrow a^2=\frac{112}{63}{b}^2\Rightarrow a^2=\frac{16}{9}{b}^2\\ & 32b^2-9.\frac{16}{9}{b}^2=\frac{16}{9}{b}^2{b}^2\\ & 32b^2-16b^2=\frac{16}{9}{b}^4\Rightarrow 16b^2=\frac{16}{9}{b}^4\Rightarrow 16=\frac{16}{9}{b}^2\Rightarrow b^2=9\\ & a^2=\frac{16}{9}{b}^2\Rightarrow a^2=\frac{16}{9}\times 9=16\\ & \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1 \left(\mathrm{الزائد} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array} \end{gathered}$$

(8)- جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل ويمر بالنقطة $(3,0)$ والبعد بين بؤرتيه $10$ وحدات.

$\begin{array}{rl}& a=3\Rightarrow a^2=9\\ & 2c=10\Rightarrow c=5\Rightarrow c^2=25\\ & c^2=a^2+b^2\\ & 25=9+b^2\Rightarrow b^2=16\Rightarrow b=4\\ & \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\\ & \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1 \left(\mathrm{الزائد} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array}$

(9)- جد معادلة القطع الزائد أحد بؤرتيه بؤرة القطع المكافئ $y^2=-40x$ والذي يمس دليل القطع المكافئ $y^2+16x=0$

$$\begin{gathered} y^2=-40x , y^2=-16x \\ {y}^2=-40x , y^2=-40x \\ 4p=40\Rightarrow p=\frac{40}{4}=10,4p=16\Rightarrow p=\frac{10}{4}=4 \\ F(-10,0) \left(\mathrm{المكافئ} \mathrm{القطع}\right) , x=4 , a=4 \left(\mathrm{الدليل} \mathrm{معادلة}\right) \end{gathered}$$

نقطة التماس $a^2=16$ للقطع الزائد $\left(4,0\right)$

$$\begin{gathered} c=10\Rightarrow c^2=100c=10,F_1(10,0) , F_2(-10,0) \left(\mathrm{الزائد} \mathrm{القطع} \mathrm{بؤرتي}\right) \\ \begin{array}{rl}& c^2=a^2+b^2\\ & 100=16+b^2\\ & b^2=100-16\\ & b^2=84\\ & \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{84}=1 \left(\mathrm{الزائد} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array} \end{gathered}$$

(10)- عين البؤرتين والرأسين وطول كل من المحورين الحقيقي والمرافق للقطع الزائد $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \because a^2=64\Rightarrow a=8\Rightarrow 2a=2\times 8=16 \left(\mathrm{وحدة}\right)....\left(\mathrm{الحقيق} \mathrm{المحور} \mathrm{طول}\right)\\ & \because b^2=36\Rightarrow b=6\Rightarrow 2b=2\times 6=12 \left(\mathrm{وحدة}\right)....\left(\mathrm{المرافق} \mathrm{المحور} \mathrm{طول}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& c^2=a^2+b^2=64+36=100\Rightarrow c^2=100\Rightarrow c=10\\ & V_1(8,0) , V_2(-8,0) \left(\mathrm{الزائد} \mathrm{القطع} \mathrm{رأسا}\right)\\ & P_1(0,6) , P_2(0,-6) \left(\mathrm{الزائد} \mathrm{القطع} \mathrm{قطبا}\right)\\ & F_1(10,0) , F_2(-10,0) \left(\mathrm{الزائد} \mathrm{القطع} \mathrm{بؤرتا}\right)\end{array} \end{gathered}$$

(11)- جد معادلة القطع الزائد الذي إحدى بؤرتيه $(0,-2\sqrt{5})$ وطول محوره الحقيق $\left(8\right)$ وحدات.

البؤرة صادية ومعادلة القطع $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$

$\begin{array}{rl}& c=2\sqrt{5}\Rightarrow c^2=20\\ & 2a=8\Rightarrow a=4\Rightarrow a^2=16\\ & c^2=a^2+b^2\Rightarrow b^2=20-16\Rightarrow b^2=4\\ & \frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{4}=1 \left(\mathrm{الزائد} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array}$

ملاحظة: إذا مر القطع الزائد بنقطة إحدى إحداثياتها (صفر)، فالنقطة تمثل إحدى رؤوسه.