التطبيقات على النهايات العظمى والصغرى

القوانين التي نحتاجها في حل بعض المسائل:

• المربع: مساحة = (طول الضلع)² $A=x^2$

• المستطيل: مساحة = الطول × العرض $A=xy$

محيطه = 2 (الطول × العرض) $P=2(x+y)$

• الدائرة: مساحة = مربع نصف القطر في النسبة الثابتة $A=\pi r^2$

المحيط = 2 نصف القطر في النسبة الثابتة $P=2\pi r$

• المتوازي: الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + 2 × مساحة القاعدة

خطوات الحل:

1. نرسم الشكل ونعين الأبعاد إن أمكن.

2. نكتب دالة الشكل المراد نهاية رقم (1) والتي بصيغة (أكبر وأصغر).

3. نجد علاقة بين المتغيرين رقم (2).

4. نعوض معادلة (2) في (1) لكي تصبح بدلالة متغير واحد.

5. نشتق ثم مساواة المشتقة بالصفر كما في النقاط الحرجة.

6. نجد قيمة المتغير الأول ثم نعوض في معادلة (2) لإيجاد قيمة المتغير الثاني.

1- جد عددين مجموعهما يساوي (20) إذا كان:

- حاصل ضربهما أكبر ما يمكن؟

نفرض العدد الأول = x، نفرض العدد الثاني = y

نفرض أكبر ما يمكن

$$\begin{gathered} m=x\cdot y....\left(1\right) \\ \because x+y=20\Rightarrow y=20-x....\left(2\right) \end{gathered}$$

نعوض معادلة (2) في (1)

$\begin{array}{rl}& m=x(20-x)\Rightarrow m=20x-x^2\\ & \overline{m}=20-2x,\overline{m}=0\Rightarrow 20-2x=0]÷2\\ & 10-x=0\Rightarrow x=10 \mathrm{الأول} \mathrm{العدد}\\ & y=20-10=10 \left(2 \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\end{array}$

- مجموع مربعهما أصغر ما يمكن؟

$\begin{array}{rl}& m=x^2+y^2........\left(\right)\\ & x+y=20\Rightarrow y=20-x\dots \dots ...\left(2\right)\\ & m=x^2+(20-x{)}^2\\ & \overline{m}=2x+2(20-x)(-1)\\ & 2x-2(20-x)=0]÷2\\ & x-20+x=0\Rightarrow 2x-20=0]÷2\\ & x-10=0\end{array}$

x=10 العدد الأول نعوض في (2)

$y=20-10=10$

2- جد عددين مجموعهما (30) ومجموع مربعيهما أصغر ما يمكن؟

نفرض العدد الأول = x، نفرض العدد الثاني = y

نفرض أصغر ما يمكن

$\begin{array}{rl}& m=x^2+y^2....\left(1\right)\\ & x+y=30\Rightarrow y=30-x....\left(2\right)\end{array}$

نعوض معادلة (2) في معادلة (1)

$\begin{array}{rl}& m=x^2+(30-x{)}^2\\ & \overline{m}=2x+2(30-x)(-1),\overline{m}=0\\ & 2x-2(30-x)=0]÷2\\ & x-(30-x)=0\\ & x-30+x=0\Rightarrow 2x-30=0]÷2\end{array}$

العدد الأول $x-15=0\Rightarrow x=15$

نعوض قيمة x في معادلة (2)

العدد الثاني $y=30-15=15$

3- جد العدد الذي زيادة ثلاثة أمثال مربعه على مكعبه أكبر ما يمكن؟

نفرض العدد = x

نفرض ثلاث أمثال مربعه = 3x²

نفرض ملعبه = x³

نفرض أكبر ما يمكن

$\begin{array}{rl}& m=3x^2-x^3\\ & m=3x^2-x^3\\ & \overline{m}=6x-3x^2=0]÷3\\ & 2x-x^2=0\Rightarrow x(2-x)=0\\ & \mathrm{إما} x=0 \mathrm{يحقق} \mathrm{لا} \mathrm{يهمل}\\ & \mathrm{أو} x=2\end{array}$