المشتقة

رموز الاشتقاق:

يرمز للمشتقة الأولى بالرمز $\overline{\mathrm{f}}\left(\mathrm{x}\right),\overline{\mathrm{y}},\frac{dy}{dx}$

يرمز للمشتقة الثانية بالرمز $\overline{\overline{f}}\left(x\right),\overline{\overline{y}},\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$

المشتقة باستخدام التعريف:

$\overline{f}\left(x\right)={\mathrm{Lim}}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f\left(x\right)}{\mathrm{\Delta }x}$

1- جد $\overline{f}\left(2\right)$ للدالة $f\left(x\right)=x^2+x+1$ باستخدام التعريف؟

$\begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)={\mathrm{Lim}}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f\left(x\right)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & \overline{f}\left(2\right)={\mathrm{Lim}}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{f(2+\mathrm{\Delta }x)-f\left(2\right)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & \overline{f}\left(2\right)={\mathrm{Lim}}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{(2+\mathrm{\Delta }x{)}^2+(2+\mathrm{\Delta }x)+1\left[\right(2{)}^2+2+1]}{\mathrm{\Delta }x}\\ & {\mathrm{Lim}}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{4+4\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2+2+\mathrm{\Delta }x+1-7}{\mathrm{\Delta }x}\\ & {\mathrm{Lim}}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{5\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2}{\mathrm{\Delta }x}={\mathrm{Lim}}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{\mathrm{\Delta }x+(5+\mathrm{\Delta }x)}{\mathrm{\Delta }x}=\\ & {\mathrm{Lim}}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}5+\mathrm{\Delta }x=5+0=5\end{array}$

2- جد $f\left(x\right)=x^2+5x$ للدالة $\overline{f}\left(3\right)$ باستخدام التعريف

$\begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)={\mathrm{Lim}}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f\left(x\right)}{\mathrm{\Delta }x}\\ =& {\mathrm{Lim}}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{f(3+\mathrm{\Delta }x{)}^2+5(3+\mathrm{\Delta }x)-[9+15]}{\mathrm{\Delta }x}\\ =& {\mathrm{Lim}}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{9+6\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2+15+5\mathrm{\Delta }x-25}{\mathrm{\Delta }x}\\ =& {\mathrm{Lim}}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{9+6\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2+15+5\mathrm{\Delta }x-25}{\mathrm{\Delta }x}\\ & {\mathrm{Lim}}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{25+6\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2+25+5\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}\\ & {\mathrm{Lim}}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{11\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2}{\mathrm{\Delta }x}={\mathrm{Lim}}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{\mathrm{\Delta }x+(11+\mathrm{\Delta }x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ =& {\mathrm{Lim}}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}11+0=11\end{array}$

قواعد المشتقة:

القاعدة الأولى: مشتقة الثابت = صفر

3- جد مشتقة الدوال الآتية:

- $f\left(x\right)=100$

$f\left(x\right)=100\Rightarrow \overline{f}\left(x\right)=0$

- $f\left(x\right)=\sqrt[3]{5}$

$f\left(x\right)=\sqrt[3]{5}\Rightarrow \overline{f}\left(x\right)=0$

- $f\left(x\right)=\frac{3}{16}$

$f\left(x\right)=\frac{3}{16}\Rightarrow \overline{f}\left(x\right)=0$

القاعدة الثانية: مشتقة دالة مرفوعة إلى أس

الأس ينزل كما هو في الدالة نفسها منقوص من أسها واحد

$\begin{array}{c}f\left(x\right)=x^n\\ \overline{f}\left(x\right)=n{x}^{n-1}\end{array}$

4- جد مشتقة الدوال الآتية:

- $f\left(x\right)=x^5$

$f\left(x\right)=x^5\Rightarrow \overline{f}\left(x\right)=5x^4$

- $f\left(x\right)=x^{-3}$

$f\left(x\right)=x^{-3}\Rightarrow \overline{f}\left(x\right)=-3x^{-4}$

ملاحظة:

إذا كان الأس کسر موجب نطبق القاعدة $\frac{\mathrm{المقام}-\mathrm{البسط}}{\mathrm{نفسه} \mathrm{المقام}}$

- $f\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}$

$f\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}\Rightarrow \overline{f}\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$

- $f\left(x\right)=x^{\frac{3}{2}}$

$f\left(x\right)=x^{\frac{3}{2}}\Rightarrow \overline{f}\left(x\right)=\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}$

ملاحظة:

إذا كان الأس کسر سالب نطبق القاعدة $\frac{\left(\mathrm{المقام}+\mathrm{البسط}\right)-}{\mathrm{نفسه} \mathrm{المقام}}$

- $f\left(x\right)=x^{-\frac{1}{2}}$

$f\left(x\right)=x^{-\frac{1}{2}}\Rightarrow \overline{f}\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}$

- $f\left(x\right)=x^{-\frac{3}{2}}$

$f\left(x\right)=x^{-\frac{3}{2}}\Rightarrow \overline{f}\left(x\right)=-\frac{3}{2}{x}^{-\frac{5}{2}}$

ملاحظة:

كل دالة جذرية نحولها إلى دالة أسية ثم نبدأ بالاشتقاق $f\left(x\right)=\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$

- $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x^2}$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\sqrt[3]{x^2}\Rightarrow f\left(x\right)=x^{\frac{2}{3}}\\ & \overline{f}\left(x\right)=\frac{2}{3}{x}^{-\frac{1}{3}}\end{array}$

- $f\left(x\right)=\sqrt{x}$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\sqrt{x}\Rightarrow f\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}\\ & \overline{f}\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}\end{array}$

القاعدة الثالثة: مشتقة حاصل ضرب ثابت × دالة = الثابت × مشتقة الدالة

5- جد مشتقة الدوال الآتية:

- $f\left(x\right)=5x^4$

$f\left(x\right)=5x^4\Rightarrow \overline{f}\left(x\right)=20x^3$

- $f\left(x\right)=10x^{-3}$

$f\left(x\right)=10x^{-3}\Rightarrow \overline{f}\left(x\right)=-30x^{-4}$

- $f\left(x\right)=25x^{\frac{1}{5}}$

$f\left(x\right)=25x^{\frac{1}{5}}\Rightarrow \overline{f}\left(x\right)=25\left(\frac{1}{5}\right)x^{-\frac{4}{5}}=5x^{-\frac{4}{5}}$

- $f\left(x\right)=6\sqrt[3]{x^2}$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=6\sqrt[3]{x^2}\Rightarrow f\left(x\right)=6x^{\frac{2}{3}}\\ & \overline{f}\left(x\right)=6\left(\frac{2}{3}\right)x^{-\frac{1}{3}}=4x^{-\frac{1}{3}}\end{array}$

- $f\left(x\right)=3\sqrt{x}$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=3\sqrt{x}\Rightarrow f\left(x\right)=3x^{\frac{1}{2}}\\ & \overline{f}\left(x\right)=3\left(\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}\end{array}$

- $f\left(x\right)=\frac{6}{\sqrt[3]{x^2}}$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\frac{6}{\sqrt[3]{x^2}}\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{6}{x^{\frac{2}{3}}}\Rightarrow f\left(x\right)=6x^{\frac{-2}{3}}\\ & \overline{f}\left(x\right)=6\left(\frac{-2}{3}\right)x^{-\frac{5}{3}}=-4x^{-\frac{5}{3}}\end{array}$

القاعدة الرابعة: مشتقة حاصل جمع أو طرح عدة دوال = حاصل جمع أو طرح مشتقاتها

6- جد $\overline{f}\left(x\right)$ لكل مما يأتي:

- $f\left(x\right)=3x^5+2x^2+8$

$f\left(x\right)=3x^5+2x^2+8\Rightarrow \overline{f}\left(x\right)=15x^4+4x$

- $f\left(x\right)=3x^4-4x^2+6$

$f\left(x\right)=3x^4-4x^2+6\Rightarrow \overline{f}\left(x\right)=12x^3-8x$

- $f\left(x\right)=2x^3+\frac{1}{2}x$

$f\left(x\right)=2x^3+\frac{1}{2}x\Rightarrow \overline{f}\left(x\right)=6x^2+\frac{1}{2}$

- $f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2-\frac{4}{3}{x}^3+8$

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2-\frac{4}{3}{x}^3+8\Rightarrow \overline{f}\left(x\right)=x-4x^2$

القاعدة الخامسة: مشتقة حاصل ضرب دالتين

= الدالة الأولى × مشتقة الثانية + الدالة الثانية × مشتقة الأولى

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=g\left(x\right)\cdot h\left(x\right)\\ & \overline{f}\left(x\right)=g\left(x\right)\cdot \overline{h}\left(x\right)+h\left(x\right)\cdot \overline{g}\left(x\right)\end{array}$

7- جد $\overline{f}\left(x\right)$ لكل مما يأتي:

- $f\left(x\right)=(x^4-x^2+1)(5x^6-3x)$

$\begin{array}{rl}\overline{f}\left(x\right)=(x^4-& x^2+1)(30x^5-3)+(5x^6-3x)(4x^3-2x)\end{array}$

- $f\left(x\right)=(x^3+7)(x^2-4x+5)$

$\overline{f}\left(x\right)=(x^3+7)(2x-4)+(x^2-4x+5)+\left(3x^2\right)$

- $f\left(x\right)=(3x^2+2x+1)(2x-1)$

$\overline{f}\left(x\right)=(3x^2+2x+1)\left(2\right)+(2x-1)(6x+2)$

8- جد المشتقة للدالة $f\left(x\right)=(4-x)(x^2+3)$ عند x=2

$\begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=(4-x)\left(2x\right)+(x^2+3)(-1)\\ & \overline{f}\left(2\right)=(4-2)\left(4\right)+(4+3)(-1)=8-7=1\end{array}$

القاعدة السادسة: مشتقة حاصل قسمة دالتين $\frac{\mathrm{المقام} \mathrm{مشتقة}\times \mathrm{البسط}-\mathrm{البسط} \mathrm{مشتقة}\times \mathrm{المقام}}{{\mathrm{المقام}}^2}=$

9- جد مشتقة الدالة عند x=1 إذا كانت:

- $f\left(x\right)=\frac{x^3+1}{x^4+1}$

$\begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=\frac{(x^4+1)\left(3x^2\right)-(x^3+1)\left(4x^3\right)}{{(x^4+1)}^2}\\ & \overline{f}\left(1\right)=\frac{(1+1)\left(3\right)-(1+1)\left(4\right)}{(1+1{)}^2}\\ & \overline{f}\left(1\right)=\frac{6-8}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}\end{array}$

- $f\left(x\right)=\frac{2x+1}{3x^2}$

$\begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=\frac{\left(3x^2\right)\left(2\right)-(2x+1)\left(6x\right)}{{\left(3x^2\right)}^2}\\ & \overline{f}\left(1\right)=\frac{\left(3\right)\left(2\right)-(2+1)\left(6\right)}{(3{)}^2}\\ & \overline{f}\left(1\right)=\frac{6-18}{9}=\frac{-12}{9}=\frac{-4}{3}\end{array}$

- $f\left(x\right)=\frac{3x-1}{x^2+2}$

$\begin{array}{rl}\overline{f}\left(x\right)& =\frac{(x^2+2)\left(3\right)-(3x-1)\left(2x\right)}{{(x^2+2)}^2}\\ \overline{f}\left(1\right)& =\frac{(1+2)\left(3\right)-(3-1)\left(2\right)}{(1+2{)}^2}=\frac{9-4}{9}=\frac{5}{9}\end{array}$

القاعدة السابعة: مشتقة قوس مرفوع إلى أس = الأس ينزل كما هو × القوس نفسه منقوص من أس القوس واحد × مشتقة داخل القوس

10- جد $\overline{f}\left(x\right)$ لكل مما يأتي:

- $f\left(x\right)={(x^3+x^2+1)}^5$

$\overline{f}\left(x\right)=5{(x^3+x^2+x+1)}^4(3x^2+2x)$

- $f\left(x\right)={(x^2-5x+3)}^{10}$

$\overline{f}\left(x\right)=10{(x^2-5x+3)}^9(2x-5)$

- $f\left(x\right)=(1-x{)}^3$

$\overline{f}\left(x\right)=3(1-x{)}^2(-1)=-3(1-x{)}^2$

11- جد $\overline{f}\left(x\right)$ عند 1 = x إذا كانت $f\left(x\right)={\left(\frac{x}{x+1}\right)}^4$

$\begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=4{\left(\frac{x}{x+1}\right)}^3\left(\frac{(x+1)\left(1\right)-x\left(1\right)}{(x+1{)}^2}\right)\\ & \overline{f}\left(x\right)=4{\left(\frac{1}{1+1}\right)}^3\frac{1}{(1+1{)}^2}=4\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{8}\end{array}$

12- إذا كانت $y=x^4+5x^3+3$ جد $\overline{\overline{y}},\overline{y}$

$\overline{y}=4x^3+15x^2\Rightarrow \overline{y}=12x^2+30x$

13- إذا كانت $f\left(x\right)=2x^3+4+\frac{3}{x}$ جد $\overline{\overline{f}}(-1),\overline{\overline{f}}\left(x\right),\overline{f}\left(x\right)$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=2x^3+4+3x^{-1}\\ & \overline{f}\left(x\right)=6x^2-3x^{-2}\\ & \overline{\overline{f}}\left(x\right)=12x+6x^{-3}=12x+\frac{6}{x^3}\\ & \overline{\overline{f}}\left(1\right)=-12+\frac{6}{-1}=-12-6=-18\end{array}$

ملاحظة:

مشنقة الجذر التربيعي = $\frac{\mathrm{الجذر} \mathrm{داخل} \mathrm{مشتقة}}{\sqrt[2]{\mathrm{نفسه} \mathrm{الجذر}}}$

14- إذا كانت $f\left(x\right)=\sqrt{x^3+x^2+5}$ جد $\overline{f}\left(x\right)$

$\overline{f}\left(x\right)=\frac{3x^2+2x}{2\sqrt{x^3+x^2+5}}$

ملاحظة:

مشنقة الجذر التكعيبي = $\frac{\mathrm{الجذر} \mathrm{داخل} \mathrm{مشتقة}}{3\sqrt[3]{{\left(\mathrm{نفسه} \mathrm{الجذر}\right)}^2}}$

15- إذا كانت $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x^2-2x+1}$ جد $\overline{f}\left(x\right)$

$\overline{f}\left(x\right)=\frac{2x-2}{3\sqrt[3]{{(x^2-2x+1)}^2}}$

16- إذا كانت $f\left(x\right)=6\sqrt{3x^2+4}$ جد كلاً من:

- $\overline{f}\left(x\right)$

$\overline{f}\left(x\right)=6\times \frac{6x}{2\sqrt{3x^2+4}}=\frac{18x}{\sqrt{3x^2+4}}$

- $\overline{f}\left(2\right)$

$\overline{f}\left(2\right)=\frac{18\left(2\right)}{\sqrt{3(2{)}^2+4}}=\frac{36}{\sqrt{16}}=\frac{36}{4}=9$