نقاط الانقلاب ومناطق التقعر والتحدب

خطوات الحل:

• نجد المشتقة الثانية للدالة $\overline{\overline{f}}\left(x\right)$
• مساواة المشتقة الثانية بالصفر $\overline{\overline{f}}\left(x\right)=0$
• نستخرج قيم x ثم نعوض x في الدالة الأصلية لإيجاد y فيتكون لدينا نقطة كاملة (x,y) تسمى نقطة الانقلاب.
• نضع قيم (x) على خط الأعداد ثم نعطي قيم أكبر وأصغر من (x) بحيث نختبر بالمشتقة الثانية ثم نلاحظ:

أ- إذا كانت $\overline{\overline{f}}\left(x\right)>0$ (عدد موجب) فإنها منطقة تقعر

ب- إذا كانت $\overline{\overline{f}}\left(x\right)<0$ (عدد سالب) فإنها منطقة تحدب

ملاحظة:

إذا كانت المشتقة الثانية مجرد عدد خالي من x فهنا لا توجد نقاط انقلاب $\overline{\overline{f}}\left(x\right)=\mathrm{عدد}$ ثم نلاحظ:

أ- إذا كان العدد موجب فإن الدالة مقعرة.

ب- إذا كان العدد سالب فإن الدالة محدبة.

1- جد نقاط الانقلاب ومناطق النقص والتحدب للدالة $f\left(x\right)=x^2-4x+2$

$\begin{array}{c}\overline{f}\left(x\right)=2x-4\\ \overline{\overline{f}}\left(x\right)=2>0\end{array}$

الدالة مقعرة ولا توجد نقاط انقلاب

2- جد نقاط الانقلاب ومناطق التقعر والتحدب للدالة $f\left(x\right)=x^3-3x+2$

$\begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=3x^2-3\Rightarrow \overline{\overline{f}}\left(x\right)=6x,\overline{\overline{f}}\left(x\right)=0\\ & 6x=0\Rightarrow x=0\\ & \therefore f\left(0\right)=y=(0{)}^3-3(0)+2=2\end{array}$

النقطة (0,2) نقطة الانقلاب

مناطق النقص = $\{x:x>0\}$

مناطق التحدب = $\{x:x<0\}$