التوافيق

هو سحب كمية صغيرة r من كمية كبيرة n بدون ترتيب.

قانون التوافيق:

$C(n,r)=C_r^n=\left(\begin{array}{l}n\\ r\end{array}\right)=\frac{P_r^n}{r!}$

ملاحظات:

نستخدم قانون التوافيق في الحالات التالية:

1. الأسئلة الامتحانية في حالة دون مراعاة الترتيب.

2. الأشكال الهندسية:

• قطعة المستقيم 2=r

• المربع والمستطيل r=4

• الشكل السداسي 6=r

3. سحب عينة بدون ارجاع وبدون ترتيب.

4. تطبيقات المتباينة الانتقال من مجموعة صغيرة إلى مجموعة أخرى كبيرة.

5. مسائل اللجان في حالة عدم مراعاة الترتيب.

6. كل مسألة في الترتيب غير مهم فهي توافيق

7. $C_n^n=1$

8. $C_1^n=n$

9. $C_0^n=1$

10. $C_r^n=n$

إذا كانت n تزيد عن r بمقدار واحد مثل $C_4^5=5$

1- جد قيمة كل مما يأتي:

- $C_2^{10}$

$C_2^{10}=\frac{P_2^{10}}{2!}=\frac{10\times 9}{2\times 1}=45$

- $C_3^6$

$C_3^6=\frac{P_3^6}{3!}=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20$

- $C_2^5$

$C_2^5=\frac{P_2^5}{2!}=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10$

2- كم قطعة مستقيم يمكن تحديدها بمجموعة من النقاط عددها (10) لا تقع ثلاث منها على استقامة واحدة؟

$\begin{array}{rl}& n=10,r=2\\ & C_2^{10}=\frac{P_2^{10}}{2!}=\frac{10\times 9}{2\times 1}=45 \mathrm{قطعة}\end{array}$

3- بكم طريقة يمكن أن يجيب الطالب على خمسة أسئلة من بين سبعة أسئلة؟

$\begin{array}{rl}n& =7,r=5\\ C_5^7& =\frac{P_5^7}{5!}=\frac{7\times 6\times 5\times 4\times 3}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=21 \mathrm{طريقة}\end{array}$

4- بكم طريقة يمكن أن يجيب الطالب على ستة أسئلة من بين ثمانية أسئلة على أن يكون سؤالين من الزوجية الترتيب؟

4 فردي و4 زوجي

$C_2^4\times C_4^4=\frac{4\times 3}{2\times 1}\times 1=6$

5- بكم طريقة يمكن اختيار لجنة مكونة من (5) طالبات و(7) طلاب من بين مجموعة مكونة من (8) طالبات، (10) طلاب.

10 طلاب و8 طالبات

$\begin{array}{rl}{C}_7^{10}\times C_5^8& =\frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}\times \frac{8\times 7\times 6\times 5\times 4}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}\\ & =120\times 56=6720 \mathrm{طريقة}\end{array}$

6- صندوق يحتوي على (6) كرات حمراء (4) كرات بيضاء يراد سحب (5) كرات بشرط أن تكون (3) كرات حمراء فقط بكم طريقة يمكن إجراء السحب.

6 حمراء و4 بيضاء

$\begin{array}{rl}{C}_3^6\times C_2^4=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}\times \frac{4\times 3}{2\times 1}& =20\times 6\\ & =120 \mathrm{طريقة}\end{array}$

7- مجموعة A تضم 8 لاعبين ومجموعة B تضم 6 لاعبين بكم طريقة يمكن اختيار فريق واحد يضم 3 لاعبين من مجموعة A ولاعبين اثنين من مجموعة B؟

$\begin{array}{rl}6=\mathrm{B}& 98=\mathrm{A}\\ C_3^8\times C_2^6& =\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}\times \frac{6\times 5}{2\times 1}=56\times 15\\ & =840 \mathrm{طريقة}\end{array}$

8- بكم طريقة يمكن اختيار لجنة مكونه من (3) موظفين وموظفتين من بين (8) موظفين وخمسة موظفات؟

8 موظفين و5 موظفات

$\begin{array}{rl}{C}_3^8\times C_2^5& =\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}\times \frac{5\times 4}{2\times 1}\\ & =56\times 10=560 \mathrm{طريقة}\end{array}$

9- عدد الطلاب المتفوقين في إحدى المدارس لهذا العام (10) طلاب يراد اختيار (6) منهم ليمثلوا إحدى اللجان في المدرسة ما عدد الطرق الاختيار الممكنة؟

$\begin{array}{rl}{C}_6^{10}& =\frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5}{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}\\ & =210 \mathrm{طريقة}\end{array}$

10- صندوق يحتوي على (10) مصابيح (4) منها عاطلة يراد سحب ثلاث مصابيح بشرط أن يكون واحد منها عاطل بكم طريقة يمكن إجراء السحب؟

6 صالحة و4 عاطلة

$C_2^6\times C_1^4=\frac{6\times 5}{2\times 1}\times 4=60 \mathrm{طريقة}$

11- ما عدد الطرق التي تكون فيها لجنة من (4) أشخاص من بين (10) رجال، (6) نساء على أن تكون اللجنة:

- من جنس واحد.

كل من جنس واحد العملية جمع توافيق أي أن اللجنة إما جميع رجال أو جميع نساء 10 رجال أو 6 نساء

$C_4^{10}+C_4^6=\frac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2\times 1}\times \frac{6\times 5\times 4\times 3}{4\times 3\times 2\times 1}=210+15=225 \mathrm{طريقة}$

- اللجنة تحتوي على الأقل على رجل واحد.

كلمة على الأقل تعني تأخذ التوافيق تصاعدياً

$\begin{array}{rl}& C_1^{10}\times C_3^6+C_2^{10}\times C_2^6+C_3^{10}\times C_1^6+C_4^{10}\times C_0^6\\ & =10\times \frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}+\frac{10\times 9}{2\times 1}\times \frac{6\times 5}{2\times 1}+\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}\times 6+\frac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 21\times }\times 1\\ & =10\times 20+45\times 15+120\times 6+210\times 1=200+675+720+210=1805 \mathrm{طريقة}\end{array}$

- اللجنة تحتوي على الأكثر على رجلين اثنين.

كلمة على الأكثر تعني نأخذ التوافيق تنازلياً

$\begin{array}{rl}& C_2^{10}\times C_2^6+C_1^{10}\times C_3^6+C_0^{10}\times C_4^6\\ & \frac{10\times 9}{2\times 1}\times \frac{6\times 5}{2\times 1}+10\times \frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}+1\times \frac{6\times 5\times 4\times 3}{4\times 3\times 2\times 1}=45\times 15+10\times 20+155\\ & 675+200+15=890 \mathrm{طريقة}\end{array}$

- استبعاد إحدى النساء من اللجنة وتحتوي على ثلاث نساء فقط.

استبعاد إحدى النساء من اللجنة أي يصبح عدد النساء الكلي 5 وتحتوي على ثلاث نساء

$C_3^5\times C_1^{10}=\frac{5\times 4\times 3}{3\times 2\times 1}\times 10=10\times 10=100 \mathrm{طريقة}$

- استبعاد أحد الرجال من اللجنة وتحتوي على رجلين فقط.

استبعاد أحد الرجال من اللجنة أي يصبح عدد الرجال الكلي 9 وتحتوي على رجلين فقط

$C_2^9\times C_2^6=\frac{9\times 8}{2\times 1}\times \frac{6\times 5}{2\times 1}=36\times 15=540 \mathrm{طريقة}$

12- جد قيمة n لكل مما يأتي:

- $2\left(\begin{array}{l}n\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n+1\\ 3\end{array}\right)$

$\begin{array}{rl}2\frac{P_2^n}{2!}& =\frac{P_3^{n+1}}{3!}⟹2\frac{n(n-1)}{2\times 1}=\frac{(n+1)n(n-1)}{3\times 2\times 1}\\ 1& =\frac{n+1}{6}⟹n+1=6⟹n=5\end{array}$

- $C_4^n=3P_2^n$

$\begin{array}{rl}& \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4\times 3\times 2\times 1}=2\times n(n-1)\\ & \frac{(n-2)(n-3)}{24}=2⟹\frac{n^2-3n-2n+6}{24}=2\\ & n^2-5n+6=72\Rightarrow n^2-5n+6-72=0\\ & n^2-5n-66=0\\ & (n-11)(n+6)=0\\ & \text{either }n-11=0⟹n=11\\ & \text{or }n+6=0\Rightarrow n=-6 \mathrm{تهمل}\end{array}$

- $C_3^n=2n-4$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{p_3^n}{3!}=2(n-2)\\ & \frac{n(n-1)(n-2)}{3\times 2\times 1}=2(n-2)\Rightarrow \frac{n(n-1)}{6}=2\end{array} \\ \begin{array}{rl}& n^2-n=12⟹(n-4)(n+3)=0\\ & \text{either }n-4=0⟹n=4\\ & \text{or }n=-3 \mathrm{تهمل}\end{array} \end{gathered}$$

- $12\left(\begin{array}{l}n\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n+1\\ 4\end{array}\right)$

$\begin{array}{rl}& 12\frac{P_3^n}{3!}=\frac{P_4^{n+1}}{4!}\\ & 12\frac{n(n-1)(n-2)}{3\times 2\times 1}=\frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{4\times 3\times 2\times 1}\\ & \frac{12}{6}=\frac{n+1}{24}⟹\frac{n+1}{24}=2\\ & n+1=48\Rightarrow n=47\end{array}$

- $2P_2^n=C_3^{n+1}$

$2\times n(n-1)=\frac{(n+1)n(n-1)}{3\times 2\times 1}⟹2=\frac{n+1}{6}⟹n+1=12⟹n=11$

- $3\left(\begin{array}{l}n\\ 4\end{array}\right)=14\left(\begin{array}{l}n\\ 2\end{array}\right)$

$\begin{array}{rl}& 3\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4\times 3\times 2\times 1}=14\frac{n(n-1)}{2\times 1}⟹\frac{n^2-3n-2n+6}{8}=7\\ & n^2-5n+6=56⟹n^2-5n+6-56=0⟹n^2-5n-50=0⟹(n-10)(n+5)=0\\ & \text{either }n-10=0⟹n=10,\text{or }n+5=0⟹n=-5 \mathrm{تهمل}\end{array}$

- $2C_2^{n+1}=C_3^{n+2}$

$2\frac{(n+1)n}{2\times 1}=\frac{(n+2)(n+1)n}{3\times 2\times 1}⟹1=\frac{n+2}{6}⟹n+2=6\Rightarrow n=4$

- $6\left(\begin{array}{l}n\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n+1\\ 4\end{array}\right)$

$6\times \frac{n(n-1)(n-2)}{3\times 2\times 1}=\frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{4\times 3\times 2\times 1}\Rightarrow 1=\frac{n+1}{24}⟹n+1=24⟹n=23$

- $3\left(\begin{array}{l}n\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n+1\\ 4\end{array}\right)$

$3\frac{n(n-1)(n-2)}{3\times 2\times 1}=\frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{4\times 3\times 2\times 1}\Rightarrow 1=\frac{n+1}{12}⟹n+1=12⟹n=11$

- $C_2^n=55$

$\begin{array}{rl}& \frac{n(n-1)}{2\times 1}=55⟹n(n-1)=110⟹n^2-n-110=0\Rightarrow (n-11)(n+10)=0\\ & \text{either }n-11=0⟹n=11\text{, or }n+10=0\Rightarrow n=-10 \mathrm{تهمل}\end{array}$

- $\left(\begin{array}{l}n\\ 2\end{array}\right)=10$

$\begin{array}{rl}& \frac{n(n-1)}{2\times 1}=10⟹n^2-n=20\Rightarrow n^2-n-20=0\Rightarrow (n-5)(n+4)=0\\ & \text{either }n-5=0\Rightarrow n=5, \text{or }n+4=0\Rightarrow n=-4 \mathrm{تهمل}\end{array}$

ملاحظة:

$C_r^n=C_{n-r}^n$ نستخدم هذه العلاقة لإيجاد قيمة n وكذلك عندما تكون الأعداد كبيرة.

13- جد قيمة n إذا كان:

- $\left(\begin{array}{c}n\\ 20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ 35\end{array}\right)$

$C_{20}^n=C_{n-35}^n⟹20=n-35\Rightarrow n=55$

- $\left(\begin{array}{c}100\\ 30\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}100\\ n\end{array}\right)$

$\begin{array}{rl}& C_r^n=C_{n-r}^n⟹C_{30}^{100}=C_{100-n}^{100}\\ & 30=100-n\\ & n=100-30⟹n=70\end{array}$

14- أثبت أن $\left(\begin{array}{c}70\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}70\\ 67\end{array}\right)$؟

$\begin{array}{rl}& C_r^n=C_{n-r}^n⟹C_3^{70}=C_{70-3}^{70}\\ & \therefore C_3^{70}=C_{67}^{70}\end{array}$