التباديل

هو سحب كمية صغيرة r من كمية كبيرة n بالترتيب.

قوانين التباديل:

القانون الأول: $P_r^n=n!$

نستخدم هذا القانون إذا كان n=r.

1- جد قيمة كل مما يأتي:

- $P_6^6$

$P_6^6=6!=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720$

- $P_5^5$

$P_5^5=5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=12$

- ${\mathrm{P}}_4^4$

${\mathrm{P}}_4^4=4!=4\times 3\times 2\times 1=24$

القانون الثاني: $P_r^n=1$

نستخدم هذا القانون إذا كانت 0=r.

2- جد قيمة كل مما يأتي:

- ${\mathrm{P}}_0^{15}$

${\mathrm{P}}_0^{15}=1$

- ${\mathrm{P}}_0^{100}$

${\mathrm{P}}_0^{100}=1$

- ${\mathrm{P}}_0^6$

${\mathrm{P}}_0^6=1$

القانون الثالث: $P_r^n=n(n-1)(n-2)(n-3)\dots (n-r+1)$

نستخدم هذا القانون اذا كانت r<n.

3- احسب كل مما يأتي:

- ${\mathrm{P}}_3^6$

${\mathrm{P}}_3^6=6\times 5\times 4=120$

- $P_5^8$

$P_5^8=8\times 7\times 6\times 5\times 4=6720$

- ${\mathrm{P}}_4^{10}$

${\mathrm{P}}_4^{10}=10\times 9\times 8\times 7=5040$

4- إذا كان $P_2^n=42$ جد قيمة n؟

$\begin{array}{rl}& n(n-1)=42\Rightarrow n^2-n-42=0\\ & (n-7)(n+6)=0\Rightarrow \mathrm{إما} n=7\\ & \mathrm{أو} n+6=0\Rightarrow n=-6 \mathrm{تهمل}\end{array}$

5- إذا كان $P_2^{n+1}=42$ جد قيمة n؟

$\begin{array}{rl}& n(n+1)=42\Rightarrow n^2+n-42=0\\ & (n+7)(n-6)=0\\ & \mathrm{إما} n+7=0\Rightarrow n=-7 \mathrm{تهمل}\\ & \mathrm{أو} n-6=0\Rightarrow n=6\end{array}$

6- إذا كان $\frac{P(n,4)}{P(n+1,5)}=\frac{1}{15}$ جد قيمة n؟

$\begin{array}{rl}& \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)}=\frac{1}{15}\\ & \frac{1}{n+1}=\frac{1}{15}\Rightarrow n+1=15\Rightarrow n=15-1\\ & n=14\end{array}$

7- إذا كان $P_3^{n+1}=90n+90$ جد قيمة n؟

$\begin{array}{rl}& (n+1)n(n-1)=90(n+1)\Leftarrow \mathrm{مشترك} \mathrm{عامل} \mathrm{سحب}\\ & n(n-1)=90\Rightarrow n^2-n-90=0\\ & (n-10)(n+9)=0\\ & \text{either }n-10=0\Rightarrow n=10\\ & \text{or }n+9=0\Rightarrow n=-9 \mathrm{يهمل}\end{array}$

8- جد قيمة n إذا علمت أن $\frac{n!}{(n-2)!}=P_2^3$

$\begin{array}{rl}& \frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!}=3\ast 2⟹n(n-1)=6\\ & (n-3)(n+2)=0⟹\text{either }n-3=0\\ & n=3,\text{or }n=-2 \mathrm{تهمل}\end{array}$

9- جد قيمة n إذا كان: $P(n,5)=6P(n,4)$

$\begin{array}{rl}& n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)=6\ast n(n,-1)(n-2)(n-3)\\ & n-4=6⟹n=6+4⟹n=10\end{array}$

10- جد قيمة n إذا علمت أن $2P_2^n=4!$

$\begin{array}{rl}& 2\ast n(n-1)=4\ast 3\ast 2\ast 1⟹2n(n-1)=24]÷2\\ & n(n-1)=12⟹n^2-n-12=0\\ & (n-4)(n+3)=0\\ & \text{either }n-4=0⟹n=4\\ & \text{or }n+3=0⟹n=-3 \mathrm{تهمل}\end{array}$

القانون الرابع: $P_r^n=\frac{n!}{(n-r)!}$

11- جد قيمة r لكل مما يأتي:

- $P_3^6=P_r^6$

$$\begin{gathered} \frac{6!}{(6-3)!}=\frac{6!}{(6-r)!}⟹r=\frac{1}{3!}=\frac{1}{(6-r)!} \\ 3=6-r⟹r=3=3 \end{gathered}$$

- $P_4^{10}=P_r^{10}$

$$\begin{gathered} \frac{10!}{(10-6)!}=\frac{10!}{(10-r)!}⟹\frac{1}{6!}=\frac{1}{(10-r)!} \\ 6=10-r⟹r=10-6=4 \end{gathered}$$

- $P(5,r)=60$

$\begin{array}{rl}& P_r^5=5\ast 4\ast 3\\ & P_r^5=P_3^5\\ & \frac{5!}{(5-r)!}=\frac{5!}{(5-3)!}\\ & \frac{1}{(5-r)!}=\frac{1}{2!}\\ & 2=5-r⟹r=5-2=3\end{array}$

ملاحظات:

1. مسائل الكلمات حل بالتباديل ومبدأ العد.

2. الاسئلة الامتحانية التي يكون فيها الترتيب ضروري تحل بالتباديل.

3. مسائل الأعداد التي فيها التكرار غير مسموح تحل بطريقة مبدأ العد أو التباديل.

12- كم كلمة بمعنى أو بدون معنى يمكن تكوينها من كلمة (سنكفيكهم) مكونة من أربعة حروف على أن لا يسمح بتكرار الحرف في الكلمة الواحدة؟

{ س ، ن ، ك ، ف ، ي ، ه ، م }

$P_4^7=7\ast 6\ast 5\ast 4=840 \mathrm{كلمة}$

13- ما عدد طرق ترتيب جلوس (5) طلاب:

- على شكل صف مستقيم؟

$P_5^5=5!=5\ast 4\ast 3\ast 2\ast 1=120 \mathrm{طريقة}$

- على شكل دائري؟

$P_4^4=4!=4\ast 3\ast 2\ast 1=24 \mathrm{طريقة}$

أو طريقة ثانية للتباديل الدائري نستخدم القانون الآتي:

$(n-1)!⟹(5-1)!=4!=24 \mathrm{طريقة}$

14- بكم طريقة يمكن أن يجلس سبعة طلاب على سبعة كراسي:

- على شكل صف مستقيم؟

$P_7^7=7!=7\ast 6\ast 5\ast 4\ast 3\ast 2\ast 1=5040 \mathrm{طريقة}$

- على شكل مائدة مستديرة؟

$(7-1)!=6!=6\ast 5\ast 4\ast 3\ast 2\ast 1=720 \mathrm{طريقة}$