الدرس: 6-13 الحركة المركبة (حركة انتقالية وحركة دورانية)

اذا تدحرج جسم بدون انزلاق (دحرجة صرفة) مثل کرة أو حركة عجلة الدراجة أو السيارة على سطح خشن فإن لهذا الجسم حركتين في آن واحد (حركة انتقالية وحركة دورانية) ومنها تكون الطاقة الحركية الكلية للجسم الجاسئ يساوي مجموع الطاقتين الحركية الخطية والحركية الدورانية.

$KE=\frac{1}{2}m{V}^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2$

ملاحظات:

• عند دوران قرص حول محور معين فإنه يمتلك طاقة حركية دورانية فقط..
• عند دحرجة قرص على سطح أفقي أملس فإنه يمتلك طاقة حركية خطية فقط.
• عند دحرجة فرص على سطح خشن دحرجة صرف فإنه يمتلك طاقة حركية دورانية وخطية في نفس الوقت.
• قوة الاحتكاك تسبب ضياع أو نقص في الطاقة الحركية الخطية فقط.
• عند دحرجة قرص من قمة سطح مائل خشن دحرجة صرف ارتفاعه h فإن الطاقة الحركية الكلية عند أسفل السطح = الطاقة الكاملة عند قمة السطح.

$\text{ P.E }=\text{ K.E }\Rightarrow mgh=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}I{w}^2$

كرة صلدة متجانسة تتدحرج دحرجة صرفة (من غير انزلاق) على سطح مائل فإن نسبة الطاقة الحركية الدورانية للكرة إلى الطاقة الحركية الكلية عند أسفل السطح تساوي: أثبت ذلك.

$\begin{array}{r}\frac{{\mathrm{KE}}_R}{\mathrm{KE}}=\frac{\frac{1}{2}I{w}^2}{\frac{1}{2}\mathrm{m}{v}^2+\frac{1}{2}I{w}^2}\\ \\ =\frac{\frac{1}{2}I{w}^2}{\frac{1}{2}\left(m{v}^2+I{w}^2\right)}=\frac{I{w}^2}{m{v}^2+I{w}^2}=\frac{\frac{2}{5}{m{r}^2}^{\frac{v^2}{r^2}}}{m{v}^{2+\frac{2}{5}}m{r}^2\frac{v^2}{r^2}}\\ \\ =\frac{\frac{2}{5}m{v}^2}{m{v}^{2+}\frac{2}{5}m{v}^2}=\frac{\frac{2}{5}m{v}^2}{\left(1+\frac{2}{5}\right)m{v}^2}=\frac{\frac{2}{5}}{7}=\frac{2}{7}\\ \end{array}$

تدحرجت كرة صلدة على سطح أفقي خشن دحرجة صرف بانطلاق خطي (1.5m/s) لمركز كتلتها وكان نصف قطرها (0.1m) وكتلتها (0.2Kg) أحسب مقدار:

1. عزم قصورها الذاتي حول محورها الهندسي المار من مركزها.

$\begin{array}{r}I=\frac{2}{5}{\mathrm{mr}}^2\\ \\ I=\frac{2}{5}\times 0.2\times (0.1{)}^2\Rightarrow I=\frac{2\times 0.2\times 0.01}{5}=\frac{0.004}{5}=8\times {10}^{-4}\mathrm{Kg}\cdot {\mathrm{m}}^2\\ I=0.0008\mathrm{Kg}\cdot {\mathrm{m}}^2\end{array}$

طاقتها الحركية الكلية علماً أن: I_{solid spharo}) =2/5 mr²) (كرة صلدة).

$\begin{array}{r}\omega =\frac{V}{r}=\frac{1.5}{0.1}=15\mathrm{rad}/\mathrm{s}\\ \\ \mathrm{KE}={\mathrm{KE}}_T+K{E}_R\\ \\ \mathrm{KE}=\frac{1}{2}{\mathrm{mV}}^2+\frac{1}{2}\mathrm{I}{\omega }^2=\frac{1}{2}\times 0.2\times (1.5{)}^2+\frac{1}{2}\times 0.0008\times {15}^2\\ \begin{array}{r}\mathrm{KE}=0.315\mathrm{J}\mathrm{KE}=\frac{1}{2}{\mathbf{mV}}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{IW}}^2\end{array}\end{array}$

طريقة أخرى:

$\begin{array}{r}\because \mathrm{I}=\frac{2}{5}m{r}^2,W^2=\frac{v^2}{r^2}\\ \\ \therefore \mathrm{KE}=\frac{1}{2}\mathbf{mV}+\frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}m{r}^2\right)\frac{v^2}{r^2}\\ \\ \mathrm{KE}=\frac{1}{2}{\mathbf{mV}}^2+\frac{1}{5}{\mathbf{mV}}^2=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{5}\right)m{V}^2\\ \\ =\frac{7}{10}{\mathrm{mV}}^2\\ \\ =\frac{7}{10}\times 0.2\times (1.5{)}^2=0.315\text{ joul }\end{array}$