الدرس: 1-5 جمع المتجهات

جمع المتجهات: بما أن للكمية المتجهة مقداراً واتجاهاً، فعملية جمع المتجهات لا تخضع لقاعدة الجمع الجيري كما هو الحال في الكميات القياسية، وهنالك طريقتين لجمع المتجهات هما:

الطريقة البيانية في جمع المتجهات (طريقة ذيل برأس):

من الممكن جمع متجهين بيانياً وذلك برسم المتجه الأول ثم تضع ذيل المتجه عند رأس المتجه الأول فالمستقيم المرسوم من ذيل المتجه الأول إلى رأس المتجه الثاني بمثل المتجه المحصل لهما، فمثلاً لجمع المتجهين null و null بيانياً نقوم بتركيب ذيل أحد المتجهين مثل المتجه null على رأس متجه آخر مثل المتجه null وبنفس مقياس الرسم مع المحافظة على اتجاهه ثم تصل بخط مستقيم بين ديل المتجه null ورأس المتجه null ويمثل الخط المستقيم متجه حاصل الجمع: null.

• (المتجه المحصل) ويسمى null وهو مجموع المتجهين null مقداراً واتجاهاً وهناك طريقة أخرى لعملية جمع المتجهين null وفيما نرسم المتجه الثاني null أولاً ثم نضع ذيل المتجه null عند رأس المتجه null لاحظ أن المتجه المحصل في هذه الحالة هو المتجه null نفسه مما يعني أن: null أي أن جمع المتجهات يمتاز بخاصية الإبدال وكذلك يمكن جمع المتجه null مع نفسه بطريقة الرسم، فإن متجه المحصلة في هذه الحالة هو: null.
• وهنا null هو المتجه المحصل مقداره يساوي ضعف مقدار المتجه null وله اتجاه null نفسه.

طرح المتجهات: إن حاصل طرح متجهين هو نفسه حاصل جمع متجه وسالب متجه آخر:

فمثلا عملية طرح المتجهين null وnull هي عملية جمع للمتجهين null وnull أي أن:

null.

جمع ثلاث متجهات أو أكثر: لجمع ثلاث متجهات أو أكثر نبدأ من نقطة تأثير واحدة نضع ذيل المتجه الثاني عند رسم المتجه الأول وذيل المتجه الثاني عند رأس المتجه الثالث فالمستقيم الذي ذيله عند ذيل المتجه الأول ورأسه عند رأس المتجه المحصل للمتجهات null.

ملاحظات:

• جمع المتجهات يمتاز بخاصية الإبدال أي أن: null.
• عند جمع أي متجه مع نفسه ينتج متجه محصل مقداره يساوي ضعف مقدار المتجه واتجاهه نفس اتجاه المتجهين، فمثلاً عند جمع المتجه null مع نفسه فإن مقدار المتجه المحصل null في هذه الحالة يساوي ضعف.
• مقدار المتجه null واتجاهه باتجاه null.
• إن جمع المتجهات بطريقة الرسم تعتمد على نقل المتجه إلى موقع آخر بحيث نحافظ على مقداره ويظل اتجاهه موازياً للاتجاه الأصلي لذلك سوف نحصل على نفس المتجه.

تحليل المتجه:

أي متجه يمكن أن يحلل إلى متجهين (مركبتين) متعامدتين إحداهما يوازي المحور (X) ويسمى المركبة الأفقية ويمثلها المتجه null والآخر يوازي المحور (Y) ويسمى بالمركبة الشاقولية ويمثله المتجه null.

وهذه تسمى عملية تحليل المتجه إلى مركباته، لذلك فإن المتجه المحصل null يحسب من الجمع الاتجاهي للمركبتين وكما يلي: null.

حيث أن null يمثلان ضلعان قائمان في مثلث قائم الزاوية والمتجه المحصل null يمثل الوتر في المثلث ويحسب مقداره طبقاً لنظرية فيثاغورس كما يأتي: null أما اتجاه null يحدد بمعرفة الزاوية null مع المحور (x) وذلك بتطبيق قانون الظل (nulltan) حيث أن:

null.

يمكن أن نحسب مقدار المركبتين الأفقية والشاقولية للمتجه من المعادلتين الآتيتين:

المركبة الأفقية:

null.

المركبة الشاقولية:

null.

إذا كان مقدار المتجه null يساوي 175m ويمثل بزاوية 50 عن المحور (x) جد مركبة المتجه null.

المركبة الأفقية:

null.

المركبة الشاقولية:

null.

إيجاد محصلة متجهين أو أكثر بطريقة التحليل المتعامد.

إن عملية تحليل المتجه إلى مركبتيه الأفقية على المحور (X) والشاقولية على المحور (Y) يسهل جمع المتجهات من الناحية الحسابية، فيمكن جمع متجہین أو أکثر مثل null وذلك بتحليل كل متجه إلى مركبتيه الأفقية والشاقولية أولاً، ثم تجمع المركبات الأفقية لكل متجه المتجهات المركبة الأفقية المحصلة على المحور (X) هي:

null.

وبالمثل تجمع المركبات الشاقولية (المركبات على المحور Y) للمتجهات لتكون المركبة الشاقولية المحصلة على المحور (Y):

null.

لإيجاد محصلة متجهين أو أكثر بطريقة التحليل المتعامدة تتبع الخطوات التالية:

• نحلل كل متجه إلى مركبتيه الأفقية والشاقولية.
• تقوم بجمع المركبات الأفقية لكل المتجهات فتحصل على متجه محصل null موازي للمحور (X).
• نقوم بجمع المركبات الشاقولية لكل المتجهات فنحصل على متجه محصل null موازي للمحور (Y).
• نحسب مقدار المتجه المحصل null للمتجهين المتعامدين null و null وذلك بتطبيق نظرية فيثاغورس.

null.

ونجد الزاوية التي يصنعها المتجه المحصل null مع المحور (X) من العلاقة الآتية: زاوية المتجه المحصل null تساوي الظل العكسي الناتج من قسمة المركبة null على المركبة null للمتجه المحصل.

null.

ملاحظة:

لإيجاد مقدار المتجه المحصل للمتجهين null و$\left(\overrightarrow{\mathit{B}}\right)$ يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس إذا كانت الزاوية بين المتجهين null و$\left(\overrightarrow{\mathit{B}}\right)$ تساوي null قائمة، أما إذا كانت الزاوية بين المتجهين null و$\left(\overrightarrow{\mathit{B}}\right)$ لا تساوي null يمكننا استعمال قانون جيب التمام (cosine) أو قانون الجيب (sine) كالآتي:

قانون الجيب تمام (cosine):

مربع مقدار المتجه المحصل مجموع مربعي مقداري المتجهين مطروحاً منه ضعف حاصل ضرب مقداري المتجهين مضروباً في (nullcos) الزاوية التي بينهما والمقابلة إلى null.

null.

عناصر المتجه المحصل:

مقدار المتجه المحصل null:

null.

اتجاه المتجه المحصل null:

null.

ملاحظة:

• إذا كانت الزاوية حادة أقل من null نضع إشارة موجب للقانون أعلاه وإذا كانت الزاوية منفرجة أكبر من null وأقل من null نضع إشارة سالبة للقانون.
• قانون الجيب (sine): مقدار المتجه المحصل مقسوماً على (sine) الزاوية التي تقابله يساوي مقدار أحد المتجهين مقسوماً على (sine) الزاوية التي تقابله.

null.

ملاحظات مهمة:

لإيجاد مقدار واتجاه المتجه المحصل null للمتجهين null و$\left(\overrightarrow{\mathit{B}}\right)$ عندما يكون المتجهان متوازیان (باتجاه واحد أو باتجاهين متعاكسين) أو متعامدين نستخدم العلاقات التالية:

عندما يكون المتجهين بنفس الاتجاه (متوازیان):

null.

عندما يكون المتجهين متعاكسين:

null.

عندما يكون المتجهين متعامدين:

null.

عندما يكون المتجهين بينهما زاوية null غير متعامدين:

null.

محصلة أي متجهين باتجاه واحد هي حاصل جمع المتجهين واتجاه المتجه المحصل باتجاه المتجهين، ومحصلة أي متجهين متعاكسين هي طرح المتجهين واتجاه المتجه المحصل باتجاه المتجه الأكبر.

المتجه null طوله 14 cm ويصنع زاوية قياسها 60 مع الاتجاه الموجب للمحور x، والمتجه $\left(\overrightarrow{\mathit{B}}\right)$ طوله 20 cm ويصنع زاوية قياسها 20 مع الاتجاه الموجب للمحور x حلل المتجهين null و$\left(\overrightarrow{\mathit{B}}\right)$ إلى مركباتهما ثم احسب مقدار واتجاه المتجه المحصل null.

المركبة الأفقية للمتجه null:

null.

المركبة الشاقولية للمتجه null:

null.

المركبة الأفقية للمتجه $\left(\overrightarrow{\mathit{B}}\right)$:

null.

المركبة الشاقولية للمتجه $\left(\overrightarrow{\mathit{B}}\right)$:

null.

مقدار محصلة المركبتين الأفقيتين null:

null.

مقدار محصلة المركبتين الشاقوليتين null:

null.

المتجه المحصل null:

null.

اتجاه المتجه المحصل null:

null.

تقطع سيارة مسافة 20 km باتجاه الشمال ثم تقطع 35 km باتجاه 60 غرب الشمال أوجد مقدار واتجاه محصلة إزاحة السيارة.

من ملاحظة الشكل فإن الزاوية null تساوي:

null.

يمكن الحصول على null من الشكل باستخدام قانون الجيب:

• null.
• null.

محصلة إزاحة السيارة هي null وباتجاه null غرب الشمال.