التغير الطردي

التغير الطردي

عندما يكون نسبة a الى b تساوي كمية ثابتة يعني ان تغير a يقابله تغير للكمية b فاذا رمزنا للتغير بالرمز $\mathrm{\alpha }$ يمكن وضع هذا التغير بصورة رياضية.

$\begin{array}{r}a\alpha ab\to a=kbm\\ \frac{a_1}{b_1}=\text{ constant }\to \frac{a}{b}=k\end{array}$

حيث k ثابت التناسب ونقول ان النسبة بين b،a طردي اي عند زيادة a يقابله زيادة في b.

مثال 1

قطار يتحرك بالطلاق ثابت (v) وان المسافة التي يقطعها القطار (d) تتغير طرديا مع الزمن (d) الذي يستغرقه القطار لقطع تلك المسافة. فاذا كانت المسافة المقطوعة في ساعتين ( 160km) ما الزمن اللازم للقطار لقطع مسافة (400km).

المسافة تتغير مع الزمن: $d\alpha t\iff d=kt$

حيث k تمثل ثابت التناسب وهنا يمثل انطلاق القطار الثابت العلاقة توضح ان المسافة التي يقطعها القطار تساوي حاصل ضرب الزمن في كمية ثابتة ( الكمية الثابتة في هذا المثال هو انطلاق القطار ).

$\begin{array}{r}\frac{d_1}{t_1}=\frac{d_2}{t_2}\Rightarrow \frac{160}{2}=\frac{400}{t_2}\\ t_2=\frac{400\times 2}{160}\Rightarrow t_2=5h\end{array}$

طريقة ثانية للحل:

$160\mathrm{km}=k\times 2h$

$k=\frac{160km}{2h}=80\mathrm{km}/\mathrm{h}$

ولايجياد الزمن اللازم لقطع (400km) نطبق العلاقة:

$\begin{array}{c}d=kt\\ 400=80t\\ t=\frac{400}{80}=5h\end{array}$

مثال 2

يتغير حجم اسطوانة قائمة (V) تبعًا لمربع نصف قطر قاعدتها (r²) بثبوت الارتفاع (h) و يتغير حجمها تبعًا للارتفاع بثبوت نصف القطر، فاذا كان نصف قطر القاعدة(14cm) والارتفاع (10cm) يصيرحجم الاسطوانة (6160cm³). جد ارتفاع الاسطوانة عندما يكون حجم الاسطوانة (3080cm³) ونصف قطر قاعدتها (7cm).

بثبوت الارتفاع (h):

$V\alpha r^2$

بثبوت نصف القطر (r):

$V\alpha h$

$V\alpha r^{2}h\iff V=k{r}^{2}h$

حيث k تمثل ثابت التناسب.

تجد قيمة k بالتعويض:

$\begin{array}{r}6160{\mathrm{cm}}^3=k\times 14\mathrm{cm}\times 14\mathrm{cm}\times 10\mathrm{cm}\\ \therefore k=\frac{6160}{14\times 14\times 10}=\frac{22}{7}=\pi \end{array}$

فثابت التناسب k هو النسبة الثابتة وهذا معناه ان

حجم الاسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع

$$\begin{gathered} \mathrm{V}=\pi {\mathrm{r}}^2\mathrm{h} \\ 3080{\mathrm{cm}}^3=\frac{22}{7}=(7\mathrm{cm}{)}^2\times h \end{gathered}$$

ارتفاع الاسطوانة: $h=20\mathrm{cm}$