مقاييس التشتت

إن لكل مجموعة من الأعداد وسطاً حسابياً وإن أعداد هذه المجموعة ربما تكون متجمعة بالقرب منه أو مبتعدة عنه فإذا كانت هذه الأعداد متجمعة بالقرب منه (وسطها الحسابي) فإن مقدار تشتتها ضئيل وإذا كانت هذه الأعداد مبتعدة عن وسطها الحسابي فإن تشتتها كبير.

مثلاً: أن الوسط الحسابي الأعداد 30، 40، 50، 60، 70 هو 50 والوسط الحسابي الأعداد 10 20، 90، 100 هو 50 أيضاً عند تأمل أعداد المجموعة الأولى تشاهد أن تشتتها من الوسط الحسابي ضئيل، بينما تشتت أعداد المجموعة الثانية عن الوسط الحسابي كبير.

مقاييس التشتت:

1. المدى: وهو الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة للمتغير + 1.
2. الانحراف المعياري.

(1)- ما هو المدى في مجموعة القيم التالية؟ 12، 35، 68، 24، 98.

المدى 87=1+12-98

(2)- ما هو المدى في التوزيع التكراري الآتي:

المدى 50=5-55

الانحراف المعياري: هو القيمة الموجبة للجذر التربيعي لمتوسط مربعات انحرافات قيم مفردات التوزيع عن وسطها الحسابي ويرمز له بالرمز (S).

حساب الانحراف المعياري لقيم غير التكرارية أو في توزيع تكراري:

1. نستخرج الوسط الحسابي $\overline{x}$ لتلك القيم.
2. نستخرج انحراف كل قيمة عن وسطها الحسابي $(x-\overline{x})$
3. نربع الانحرافات $(x-\overline{x}{)}^2$
4. نجمع مربعات الانحرافات $(x-\overline{x}{)}^2$
5. نقسم الناتج على عدد القيم $\frac{\sum (x-\overline{x}{)}^2}{n}$
6. نأخذ الجذر التربيعي الموجب للناتج الأخير فيكون الانحراف المعياري $s=\sqrt{\frac{\sum (x-\overline{x}{)}^2}{n}}$
7. أما في القيم المتجمعة في توزيع تكراري فيوجد قانون آخر هو:

$\begin{array}{rl}& s=\sqrt{\frac{\sum (\mathrm{x}{)}^2}{\mathrm{\Sigma }n}-{\overline{x}}^2}\\ & s=\sqrt{\frac{\sum x^{2}f}{\mathrm{\Sigma }f}-{\overline{x}}^2}\end{array}$

(3)- احسب الانحراف المعياري للقيم التالية:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \overline{x}=\frac{216}{8}=27 \mathrm{الحسابي} \mathrm{الوسط}\\ & s=\sqrt{\frac{\sum (x-\overline{x}{)}^2}{n}}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& s=\sqrt{\frac{144}{8}}\\ & s=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\\ & \therefore s=3\times 1.525=4.242 \mathrm{المعياري} \mathrm{الانحراف}\end{array} \end{gathered}$$

(4)- احسب الانحراف المعياري للبيانات التالية 1، 3، 5، 7، 9

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \overline{x}=\frac{25}{5}=5 \mathrm{الحسابي} \mathrm{الوسط}\\ & s=\sqrt{\frac{\sum (x{)}^2}{n}-{\overline{x}}^2}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& s=\sqrt{\frac{165}{5}-25}\\ & =\sqrt{33-25}=\sqrt{8}\\ & \therefore s=\sqrt{2}=2.83 \mathrm{المعياري} \mathrm{الانحراف}\end{array} \end{gathered}$$

(5)- أطرح (20) من كل قيمة من القيم الموجودة في المثال السابق ثم احسب الانحراف المعياري القيم الجديدة وقارن الناتج.

بعد طرح (20) من كل قيمة تصبح القيم 3، 8، 9، 12، 16، 5، 14

$\begin{array}{rl}& \overline{x}=\frac{56}{8}=7 \mathrm{الحسابي} \mathrm{الوسط}\\ & s=\sqrt{\frac{\sum x^2}{n}-{\overline{x}}^2}\\ & =\sqrt{\frac{536}{56}-49}=\sqrt{67-49}=\sqrt{18}\\ & \therefore s=3\sqrt{2}=4.242 \mathrm{المعياري} \mathrm{الانحراف}\end{array}$

نلاحظ من المثالين أن قيمة الانحراف المعياري متساوية، نستنتج أن طرح كمية ثابتة من جميع القيم لا تؤثر على قيمة الانحراف المعياري.

(6)- احسب الانحراف المعياري من الجدول التكراري الآتي:

$\begin{array}{rl}\overline{x}& =\frac{5080}{100}=50.8\\ s& =\sqrt{\frac{\sum x^{2}f}{\mathrm{\Sigma }f}-{\overline{x}}^2}=\sqrt{\frac{284000}{100}-(50.8{)}^2}=16.1\end{array}$