تدرب وحل التمرينات

(5)- من الشكل المجاور، جد النسب المثلثية الآتية:

مربع الوتر هو حاصل مجموع مربعي المقابل والمجاور.

$\begin{array}{rl}& (AB{)}^2=(AC{)}^2-(BC{)}^2\\ & (AB{)}^2=(13{)}^2-(12{)}^2\\ & (AB{)}^2=169-144=25\\ & (AB{)}^2=25\stackrel{}{⟹}AB=5\end{array}$

i) cotA

$\cot A=\frac{5}{12}$

ii) cotC

$\cot C=\frac{12}{5}$

iii) secC

$\sec C=\frac{13}{12}$

iv) cscA

$\csc A=\frac{13}{12}$

(6)- في المثلث ABC القائم الزاوية في B، إذا كانت$\sqrt{2}$= secA جد:

$\begin{array}{rl}& \sec A=\frac{1}{\cos A}=\frac{1}{\frac{AB}{AC}}=\frac{AC}{AB}\\ & \frac{\sqrt{2}k}{k}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow AC=\sqrt{2}k , AB=k\end{array}$

$\begin{array}{rl}& (\mathrm{AC}{)}^2=(\mathrm{AB}{)}^2+(\mathrm{BC}{)}^2\\ & (\sqrt{2}k{)}^2=(\mathrm{k}{)}^2+(\mathrm{BC}{)}^2\Rightarrow (\mathrm{BC}{)}^2={\mathrm{k}}^2\Rightarrow \mathrm{BC}=\mathrm{k}\end{array}$

i) sinA

$\sin A=\frac{BC}{AC}=\frac{k}{\sqrt{2}k}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

ii) cotC

$\mathrm{cotC}=\frac{1}{\mathrm{tanC}}=\frac{1}{\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{k}}=1$

iii) cscA

$\csc A=\frac{1}{\sin A}=\frac{1}{\frac{BC}{AC}}=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{2}k}{k}=\sqrt{2}$

iv) cosC

$\cos C=\frac{BC}{AC}=\frac{k}{\sqrt{2}k}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

(7)- أثبت ما يأتي:

i) $cos{60}^{\circ }csc{60}^{\circ }+sin{60}^{\circ }sec{60}^{\circ }=\frac{4}{\sqrt{3}}$

$\begin{array}{rl}& (\frac{1}{2}\times \frac{1}{\sin {60}^{\circ }}+\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{1}{\cos {60}^{\circ }})\\ & (\frac{1}{2}\times \frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\times 2)\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{1+3}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\end{array}$

الطرف الأيمن = الطرف الأيسر.

ii) $sin{45}^{\circ }sec{45}^{\circ }+csc{45}^{\circ }sin{45}^{\circ }=2$

$$\begin{gathered} sin{45}^{\circ }sec{45}^{\circ }+csc{45}^{\circ }sin{45}^{\circ } \\ =\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{2}\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=1+1=2 \end{gathered}$$

الطرف الأيمن = الطرف الأيسر