تأكد من فهمك

(1)- من الشكل المجاور، جد النسب المثلثية الآتية:

مربع الوتر هو حاصل مجموع مربعي المقابل والمجاور.

$\begin{array}{rl}& (AC{)}^2=(AB{)}^2+(BC{)}^2\\ & (AC{)}^2=(4{)}^2+(3{)}^2\\ & (AC{)}^2=16+9=25\\ & (AC{)}^2=25\stackrel{}{⟹}AC=5\end{array}$

i) sinA

$\sin A=\frac{3}{5}$

ii) cosC

$\cos C=\frac{3}{5}$

iii) cotC

$\cot C=\frac{3}{4}$

iv) secA

$\sec A=\frac{5}{4}$

(2)- في المثلث ABC القائم الزاوية في B، إذا كانت $\sqrt{3}$= cotA جد:

$\cot A=\sqrt{3}\Rightarrow \cot A=\frac{\sqrt{3}}{1}$

مربع الوتر هو حاصل مجموع مربعي المقابل والمجاور.

$\begin{array}{rl}& (AC{)}^2=(AB{)}^2+(BC{)}^2\\ & (AC{)}^2=(\sqrt{3}{)}^2+(1{)}^2\\ & (AC{)}^2=3+1=4\\ & (AC{)}^2=4\stackrel{}{⟹}AC=2\end{array}$

i) tanA

$\tan A=\frac{1}{\sqrt{3}}$

ii) sinA

$\sin A=\frac{1}{2}$

iii) cscA

$\csc A=\frac{2}{1}=2$

iv) cosA

$\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$

(3)- أثبت ما يأتي:

i) $(cos{30}^{\circ }-csc{45}^{\circ })(sin{60}^{\circ }+sec{45}^{\circ })=-\frac{5}{4}$

$\begin{array}{rl}& (\cos {30}^{\circ }-\csc {45}^{\circ })(\sin {60}^{\circ }+\sec {45}^{\circ })\\ & =(\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{2})\\ & ={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2-(\sqrt{2}{)}^2=\frac{3}{4}-2=\frac{3}{4}-\frac{2}{1}=\frac{3-8}{4}=\frac{-5}{4}\end{array}$

الطرف الأيمن = الطرف الأيسر.

ii) $2sin{30}^{\circ }sec{30}^{\circ }=csc{60}^{\circ }$

$$\begin{gathered} 2\sin {30}^{\circ }\sec {30}^{\circ } \\ =2\frac{1}{2}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=\frac{2}{\sqrt{3}} \\ \csc {60}^{\circ }=\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle \sqrt{3}}} \end{gathered}$$

الطرف الأيمن = الطرف الأيسر.

iii) $(cos{45}^{\circ }-csc{45}^{\circ })\left(tan{45}^{\circ }\right)\left(csc{90}^{\circ }\right)=-cos{45}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}& (\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sin {45}^{\circ }})\left(1\right)\left(\frac{1}{\sin {90}^{\circ }}\right)\stackrel{?}{=}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ & (\frac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{2})\left(1\right)\left(1\right)\stackrel{?}{=}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ & \frac{1-2}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ & -\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}$

الطرف الأيمن = الطرف الأيسر.

iv) $\sqrt{\frac{1-cos{60}^{\circ }}{2}}=sin{30}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}& \sqrt{\frac{1-\cos {60}^{\circ }}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{\frac{1}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\\ & \sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}\end{array}$

الطرف الأيمن = الطرف الأيسر.

(4)- طائرة ورقية ارتفاعها $3\sqrt{3}\mathrm{m}$ عن سطح الأرض، إذا كان الخيط المتصل بها يصنع زاوية مقدارها °60 مع الأرض، جد طول الخيط.

نقوم بإيجاد إحدى العلاقات المثلثية التي تلائم إيجاد طول الخيط شرط أن يكون الوتر في هذه العلاقة وهي إما cos أو sin ولكن علاقة cos لا تفيدنا في إيجاد طول الوتر لأن المجاور مجهول وبذلك سنستخدم sin.

$\begin{array}{rl}& \sin {60}^{\circ }=\frac{3\sqrt{3}}{x}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{x}\\ & \sqrt{3}x=6\sqrt{3}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}x}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\Rightarrow x=6\end{array}$