تمرينات (5 - 6)

(1)- ضع علامة (صح) إذا كانت العبارة صائبة وعلامة (خطأ) إذا كانت العبارة خاطئة فيما يأتي:

1. بعد نقطة الاصل عن المستقيم: y = 3 هو 3 وحدات. (صح)
2. بعد نقطة الاصل عن المستقيم: y = -5 هو 5 وحدات. (صح)
3. بعد نقطة الاصل عن المستقيم: x = -5 هو 5 وحدات. (صح)
4. البعد بين المستقيمين المتوازيين: y = 4، y = -1 هو 3 وحدات. (خطأ) إنما خمس وحدات.

(2)- 1- جد بعد النقطة (1,2-) عن المستقيم: 0 = 6x + 8y – 21

$\mathit{D}\mathbf{=}\frac{\mathbf{|}\mathbf{a}{\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{b}{\mathbf{y}}_{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{c}}\mathbf{|}}{\sqrt{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\left|}\mathbf{6}\mathbf{\right(}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{8}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{\left)}\mathbf{\right|}}{\sqrt{{\mathbf{6}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{8}}^{\mathbf{2}}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{25}}{\mathbf{10}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{.5}\mathbf{\text{units}}$

2- جد بعد نقطة الأصل عن المستقيم الذي ميله = $\frac{1}{3}$ ويقطع جزءاً موجباً من محور الصادات طوله 4 وحدات.

نجد نقطة التقاطع مع محور الصادات حيث x = 0 فإن y = 4 فالنقطة (4 ،0) والميل $\frac{1}{3}$ فالمعادلة هي:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \mathbf{y}\mathbf{-}{\mathbf{y}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{m}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{-}{\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{)}\mathbf{\Rightarrow }\\ & \mathbf{y}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{0}\mathbf{)}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{y}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{x}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{3}\mathbf{y}\mathbf{-}\mathbf{12}\mathbf{=}\mathbf{x}\end{array} \\ \mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathit{y}\mathbf{+}\mathbf{12}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{ }\mathbf{المطلوبة}\mathbf{ }\mathbf{المعادلة} \end{gathered}$$

3- جد البعد بين المستقيمين المتوازيين:

L1: 8x - 6y + 4 = 0

L2: 4x - 3y - 1 = 0

بقسمة طرفي المعادلة للمستقيم L₁ على 2 نحصل:

$\begin{array}{rl}& \overleftrightarrow{{\mathbf{L}}_{\mathbf{1}}}\mathbf{:}\mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{y}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{=}\mathbf{0}\\ & \mathbf{D}\mathbf{=}\frac{\mathbf{|}{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}\mathbf{|}}{\sqrt{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{|}\mathbf{2}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{\left)}\mathbf{\right|}}{\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{4}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{3}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{5}}\mathbf{\text{units }}\mathbf{\text{المستقيمين بين البعد}}\end{array}$

4- جد بعد النقطة (2- ,0) عن المستقيم المار بالنقطتين (5 ,A (1, -1)، B (3.

نجد معادلة المستقيم AB

$\begin{array}{rl}& \frac{\mathbf{Y}\mathbf{-}{\mathbf{Y}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{X}\mathbf{-}{\mathbf{X}}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{Y}}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{Y}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{X}}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{X}}_{\mathbf{1}}}\mathbf{\Rightarrow }\\ & \frac{\mathbf{y}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}}{\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{5}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}}{\mathbf{3}\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{\Rightarrow }\frac{\mathbf{y}\mathbf{+}\mathbf{1}}{\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{2}}\\ & \mathbf{6}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{(}\mathbf{y}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{3}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{y}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{على}\mathbf{ }\mathbf{بالقسمة}\\ & \mathbf{3}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{=}\mathbf{y}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{3}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{y}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{المطلوبة}\mathbf{ }\mathbf{المعادلة}\\ & \mathbf{D}\mathbf{=}\frac{\mathbf{|}\mathbf{a}{\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{b}{\mathbf{y}}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{c}\mathbf{|}}{\sqrt{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\left|}\mathbf{3}\mathbf{\right(}\mathbf{0}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{\left)}\mathbf{\right(}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{\left)}\mathbf{\right|}}{\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{3}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{|}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{|}}{\sqrt{\mathbf{10}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}}{\sqrt{\mathbf{10}}}\mathbf{\text{unit}}\end{array}$

5- جد مساحة المثلث ABC حيث A (-4, 6)، B (-3, -1)، C (5, -2)

نجد معادلة أحد أضلاع المثلث حيث $\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}$ ونجد بعد C عن $\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}$ (الارتفاع)

$\begin{array}{rl}& \overleftrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}}\mathbf{:}\frac{\mathbf{y}\mathbf{-}\mathbf{6}}{\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{4}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{6}}{\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{+}\mathbf{4}}\mathbf{\Rightarrow }\frac{\mathbf{y}\mathbf{-}\mathbf{6}}{\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{4}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{7}}{\mathbf{1}}\\ & \mathbf{y}\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{7}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{28}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{7}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{y}\mathbf{+}\mathbf{22}\mathbf{=}\mathbf{0}\overleftrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}}\mathbf{ }\mathbf{معادلة}\\ & \mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{+}\mathbf{4}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{6}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{49}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{50}}\mathbf{ }\mathbf{\text{units}}\end{array}$

$$\begin{gathered} \mathit{D}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\left|}\mathbf{7}\mathbf{\right(}\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{\left)}\mathbf{\right(}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{32}\mathbf{|}}{\sqrt{\mathbf{49}\mathbf{+}\mathbf{1}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{55}}{\sqrt{\mathbf{50}}}\overleftrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}}\mathbf{ }\mathbf{المثلث}\mathbf{ }\mathbf{ارتفاع}\mathbf{ }\mathbf{وهي}\mathbf{ }\mathbf{عن}\mathbf{ }\mathit{C}\mathbf{ }\mathbf{بعد} \\ \mathbf{\text{Area}}\mathbf{\Delta }\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\left(}\mathit{A}\mathit{B}\mathbf{\right)}\mathbf{\cdot }\mathbf{\text{D}} \\ \mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\times }\sqrt{\mathbf{50}}\mathbf{\times }\frac{\mathbf{55}}{\sqrt{\mathbf{50}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{55}}{\mathbf{2}}{\mathbf{\text{units}}}^{\mathbf{2}}\mathbf{\text{ المساحة}} \end{gathered}$$