تمرينات (3 - 6)

(1)- 1- جد ميل المستقيم المار بالنقطتين (0, 2)، (2-, 0).

الميل:

$\mathbf{\text{Slop}}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{Y}}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{Y}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{X}}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{X}}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}}{\mathbf{2}\mathbf{-}\mathbf{0}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{1}$

2- بين أن النقاط (6, 7- )، (4, 1-), (3, 2) على استقامة واحدة.

ميل $\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}$

$\mathit{m}\overleftrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{4}\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{-}\mathbf{3}}$

ميل $\overleftrightarrow{\mathrm{BC}}$

$$\begin{gathered} \mathit{m}\overleftrightarrow{\mathbf{B}\mathbf{C}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{6}\mathbf{-}\mathbf{4}}{\mathbf{-}\mathbf{7}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{6}}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}} \\ \mathit{m}\overleftrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}}\mathbf{=}\mathit{m}\overleftrightarrow{\mathbf{B}\mathbf{C}} \\ \mathit{A}\mathbf{,}\mathit{B}\mathbf{,}\mathit{C}\mathbf{ }\mathbf{واحدة}\mathbf{ }\mathbf{استقامة}\mathbf{ }\mathbf{على} \end{gathered}$$

3- إذا كانت (A (2 ,3) ،B (-3 ,h جد قيمة h بحيث يكون $\mathrm{m}\overline{\mathrm{AB}}=\frac{1}{2}$

$\begin{array}{c}\mathbf{m}\overleftrightarrow{\mathbf{AB}}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{Y}}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{Y}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{X}}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{X}}_{\mathbf{1}}}\mathbf{\Rightarrow }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{h}\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{\Rightarrow }\\ \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{h}\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{-}\mathbf{5}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{2}\mathbf{h}\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{2}\mathbf{h}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{h}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\end{array}$

ABC -4 مثلث رؤوسه A (1 ,6) ،B (-2 ,-8) ،C (7 ,-2).

جد ميل المستقيم المتوسط للمثلث ABC المار من B.

(المستقيم المتوسط هو القطعة المستقيمة الواصلة من رأس المثلث ومنتصف الضلع المقابل له) وليكن D منتصف $\overline{\mathbf{AC}}$

$\begin{array}{rl}\mathbf{D}& \mathbf{=}\mathbf{(}\frac{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{7}}{\mathbf{2}}\mathbf{,}\frac{\mathbf{6}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}}{\mathbf{2}}\\ & \mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{D}\mathbf{\text{نقطة }}\mathbf{\text{إحداثيات}}\end{array}$

$\mathit{m}\overline{\mathbf{B}\mathbf{D}}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{Y}}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{Y}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{X}}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{X}}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{8}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}}{\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{-}\mathbf{4}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{10}}{\mathbf{-}\mathbf{6}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{المتوسط}\mathbf{ }\mathbf{المستقيم}\mathbf{ }\mathbf{ميل}$

(2)- لكل فقرةً فيما يأتي أربع إجابات واحدة فقط منها صحيحة، حدد الإجابة الصحيحة لكل فقرةً:
1- إذا كان $\overleftrightarrow{\mathrm{H}}\leftrightarrow \mathrm{L}\perp \overleftrightarrow{\mathrm{H}}$ يمر بالنقطتين (3, 2)، (5, 1) فإن ميل $\overleftrightarrow{\mathrm{L}}$ يساوي:

أ) $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$

ميل $\overleftrightarrow{\mathrm{H}}$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{m}\overleftrightarrow{\mathbf{H}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}\mathbf{-}\mathbf{5}}{\mathbf{2}\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{2}}{\mathbf{1}}\\ & \mathbf{m}\overleftrightarrow{\mathbf{𝕃}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\end{array}$

ب) 2-

ج) $\frac{2}{3}$

د) $\frac{-2}{3}$

2- إذا كان $\overleftrightarrow{\mathrm{H}},\overrightarrow{\mathrm{L}}//\overrightarrow{\mathrm{H}}$ يمر بالنقطتين (2-, 3)، (2, 3-) فإن ميل L يساوي:

أ) $\frac{3}{2}$

ب) $\frac{3-}{2}$

ج) $\frac{2}{3}$

د) $\frac{\mathbf{2}\mathbf{-}}{\mathbf{3}}$

ميل $\overleftrightarrow{\mathrm{H}}$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{m}\overleftrightarrow{\mathbf{H}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{-}\mathbf{2}}{\mathbf{3}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{)}}\mathbf{=}\frac{\overleftrightarrow{\mathbf{-}\mathbf{4}}}{\mathbf{6}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\\ & \mathbf{m}\overleftrightarrow{\mathbf{L}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\end{array}$

3- إذا كان المستقيم $(3,4),(x,6)\in \overleftrightarrow{\mathrm{H}}، (-1,3),(-1,5) \in \overleftrightarrow{\mathrm{L}}\leftrightarrow \overleftrightarrow{\mathrm{L}}//\overleftrightarrow{\mathrm{H}}$ فإن قيمة X يساوي:

أ) 3-

ب) 3

ج) 1

د) ليس أياً مما سبق صحيح.

بما أن المستقيمان $\overleftrightarrow{\mathrm{L}},\overleftrightarrow{\mathrm{H}}$متوازيان فأن:

$\begin{array}{rl}& \mathbf{m}\overleftrightarrow{\mathbf{𝕃}}\mathbf{=}\mathbf{m}\overleftrightarrow{\mathbf{H}}\\ & \frac{\mathbf{5}\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{6}\mathbf{-}\mathbf{4}}{\mathbf{X}\mathbf{-}\mathbf{3}}\mathbf{\Rightarrow }\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{0}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{X}\mathbf{-}\mathbf{3}}\mathbf{\Rightarrow }\\ & \mathbf{X}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{X}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{\Rightarrow }\end{array}$

(3)- 1- باستخدام الميل بيّن أن النقاط (2-, A (5 ,2) ،B (-2 ,1) ،C (2 هي رؤوس Δ قائم الزاوية.

نجد ميل كل ضلع في المثلث (ABC) [إذا كان حاصل ضرب أي ميلين = 1- فإن المثلث قائم الزاوية]

$$\begin{gathered} \mathit{m}\overline{\mathbf{A}\mathbf{B}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{-}\mathbf{5}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{-}\mathbf{7}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{7}}\overline{\mathbf{A}\mathbf{B}}\mathbf{ }\mathbf{ميل} \\ \mathit{m}\overline{\mathbf{A}\mathbf{C}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{-}\mathbf{2}}{\mathbf{2}\mathbf{-}\mathbf{5}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{4}}{\mathbf{-}\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\overline{\mathbf{A}\mathbf{C}}\mathbf{ }\mathbf{ميل} \\ \mathit{m}\overline{\mathbf{B}\mathbf{C}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{2}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\overline{\mathbf{B}\mathbf{C}}\mathbf{ }\mathbf{ميل} \\ \mathit{m}\overline{\mathbf{A}\mathbf{C}}\mathbf{\times }\mathit{m}\overline{\mathbf{B}\mathbf{C}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}\mathbf{\times }\frac{\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{4}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1} \\ \mathit{C}\mathbf{ }\mathbf{في}\mathbf{ }\mathbf{الزاوية}\mathbf{ }\mathbf{قائم}\mathbf{ }\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathbf{ }\mathbf{المثلث} \end{gathered}$$

2- لتكن (2, A (-1 ,5) ،B (5 ,1) ،C (6 ,-2) ،D (0 بيّن أن الشكل ABCD متوازي أضلاع.

$$\begin{gathered} \mathit{m}\overline{\mathbf{AB}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{5}}{\mathbf{5}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{4}}{\mathbf{6}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{2}}{\mathbf{3}} \\ \mathit{m}\overline{\mathbf{A}\mathbf{D}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}\mathbf{-}\mathbf{5}}{\mathbf{0}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{1}} \\ \mathit{m}\overline{\mathbf{B}\mathbf{C}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{6}\mathbf{-}\mathbf{5}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{1}} \\ \mathit{m}\overline{\mathbf{C}\mathbf{D}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}}{\mathbf{0}\mathbf{-}\mathbf{6}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{-}\mathbf{6}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{2}}{\mathbf{3}} \\ \overline{\mathbf{A}\mathbf{B}}\mathbf{/}\mathbf{/}\overline{\mathbf{C}\mathbf{D}}\mathbf{,}\overline{\mathbf{A}\mathbf{D}}\mathbf{/}\mathbf{/}\overline{\mathbf{B}\mathbf{C}} \end{gathered}$$

الشكل ABCD متوازي أضلاع (لتوازي كل ضلعين متقابلين فيه).

3- لتكن (5, A (5 ,2) ،B (2 ,-1) ،C (-1 ,2) ،D (2 بيّن أن الشكل ABCD مربع.

$\begin{array}{c}\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{-}\mathbf{5}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{2}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{13}}\mathbf{\text{units}}\\ \mathbf{B}\mathbf{C}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{-}\mathbf{3}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{13}}\mathbf{\text{units}}\\ \mathbf{D}\mathbf{C}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{-}\mathbf{2}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{4}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{13}}\mathbf{\text{units}}\\ \mathbf{A}\mathbf{D}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{-}\mathbf{5}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{4}\mathbf{-}\mathbf{2}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{13}}\mathbf{\text{units}}\end{array}$

أضلاع الشكل ABCD متساوية بالطول نثبت أن إحدى زواياه قائمة:

$$\begin{gathered} \mathit{m}\overline{\mathbf{A}\mathbf{D}}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{Y}}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{Y}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{X}}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{X}}_{\mathbf{1}}}\frac{\mathbf{4}\mathbf{-}\mathbf{2}}{\mathbf{2}\mathbf{-}\mathbf{5}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{2}}{\mathbf{3}} \\ \mathit{m}\overline{\mathbf{D}\mathbf{C}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{4}}{\mathbf{0}\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}} \\ \mathit{m}\mathit{A}\mathit{D}\mathbf{\times }\mathit{m}\mathit{D}\mathit{C}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{-}\mathbf{3}}\mathbf{\times }\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1} \\ \overline{\mathbf{A}\mathbf{D}}\mathbf{\perp }\overline{\mathbf{D}\mathbf{C}} \end{gathered}$$

قياس الزاوية D قائمة فالشكل الراعي هو مربع.

ABC -4 مثلث رؤوسه (3-, A (2 ،4) ،B (6 ,0) ،C (-2 جد:

أ) ميل العمود المرسوم من A على $\overline{\mathrm{BC}}$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{m}\overline{\mathbf{B}\mathbf{C}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{-}\mathbf{0}}{\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{-}\mathbf{6}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{-}\mathbf{8}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{8}}\\ & \mathbf{m}\mathbf{ }\mathbf{\text{العمود}}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{8}}{\mathbf{3}}\mathbf{A}\mathbf{ }\mathbf{من}\mathbf{ }\mathbf{المرسوم}\mathbf{ }\mathbf{العمود}\mathbf{ }\mathbf{ميل}\end{array}$

ب) ميل المستقيم المرسوم من B وموازياً $\overline{\mathrm{AC}}$

$$\begin{gathered} \mathit{m}\overline{\mathbf{AC}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{-}\mathbf{4}}{\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{7}}{\mathbf{-}\mathbf{4}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{4}} \\ \frac{\mathbf{7}}{\mathbf{4}}\mathbf{=}\overline{\mathbf{A}\mathbf{C}}\mathbf{ }\mathbf{الموازي}\mathbf{ }\mathit{B}\mathbf{ }\mathbf{من}\mathbf{ }\mathbf{المرسوم}\mathbf{ }\mathbf{المستقيم}\mathbf{ }\mathbf{ميل} \end{gathered}$$

5- بين أن الشكل الرباعي الذي رؤوسه (4, A (-2 ,2) ،B (2 ,-2) ،C (4 ,2) ،D (2 يمثل شبه منحرف متعامد القطرين.

$\left|\begin{array}{rl}& m\overline{AB}=\frac{{\displaystyle -2-2}}{{\displaystyle 2-(-2)}}=\frac{{\displaystyle -4}}{{\displaystyle 4}}=-1\\ & m\overline{DC}=\frac{{\displaystyle 4-2}}{{\displaystyle 2-4}}=\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle -2}}=1\end{array}\right|\mathit{m}\overline{\mathbf{A}\mathbf{B}}\mathbf{=}\mathit{m}\overline{\mathbf{D}\mathbf{C}}\mathbf{\Rightarrow }\overline{\mathbf{A}\mathbf{B}}\mathbf{/}\mathbf{/}\overline{\mathbf{D}\mathbf{C}}$

$\left|\begin{array}{rl}& m\overline{AD}=\frac{4-2}{2-(-2)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\\ & m\overline{BC}=\frac{2-(-2)}{4-2}=\frac{4}{2}=2\end{array}\right|\mathbf{ }\mathit{m}\overline{\mathbf{A}\mathbf{D}}\mathbf{\ne }\mathit{m}\overline{\mathbf{B}\mathbf{C}}\mathbf{\Rightarrow }\overline{\mathbf{A}\mathbf{D}}\mathbf{\times }\overline{\mathbf{B}\mathbf{C}}$

الشكل شبه منحرف.

$$\begin{gathered} \mathit{m}\overline{\mathbf{A}\mathbf{C}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}\mathbf{-}\mathbf{2}}{\mathbf{4}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0}}{\mathbf{6}}\mathbf{=}\mathbf{0} \\ \mathit{m}\overline{\mathbf{B}\mathbf{D}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{4}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}}{\mathbf{2}\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{0}}\mathbf{ }\mathbf{معرف}\mathbf{ }\mathbf{غير}\mathbf{ }\mathbf{الميل} \end{gathered}$$

• محور السينات $\Rightarrow \overline{\mathrm{BD}}\perp$ فلا يوجد ميل
• $\Rightarrow \overline{\mathrm{AC}}\perp \overline{\mathrm{BD}}$ محور السينات $\overline{\mathrm{AC}}//$

6- جد قيمة x التي تجعل المستقيم المار بالنقطتين (9-, 2-)، (x ,4) عموداً على المستقيم المار بالنقطتين (3, 0)، (1, 4).

$$\begin{gathered} \mathbf{متعامدان}\mathbf{ }\overleftrightarrow{{\mathbf{L}}_{\mathbf{1}}}\mathbf{:}\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathit{x}\mathbf{+}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{\cdot }\overleftrightarrow{{\mathbf{L}}_{\mathbf{2}}}\mathbf{:}\mathbf{2}\mathit{y}\mathbf{=}\mathit{a}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{6} \\ \begin{array}{rl}& \overleftrightarrow{{\mathbf{L}}_{\mathbf{1}}}\mathbf{:}\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{y}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{=}\mathbf{0}\\ & \overleftrightarrow{{\mathbf{L}}_{\mathbf{2}}}\mathbf{:}\mathbf{2}\mathbf{y}\mathbf{-}\mathbf{a}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{=}\mathbf{0}\end{array} \\ \mathbf{m}\overleftrightarrow{{\mathbf{L}}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{معامل}\mathbf{ }\mathbf{-}}{\mathbf{\text{y معامل}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{)}}{\mathbf{1}} \\ \begin{array}{rl}& \mathbf{m}\overleftrightarrow{{\mathbf{L}}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{a}\mathbf{)}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}}\\ & \mathbf{m}\overleftrightarrow{{\mathbf{L}}_{\mathbf{1}}}\mathbf{\cdot }\mathbf{m}\overleftrightarrow{{\mathbf{L}}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{متعامدان}\mathbf{ }\mathbf{لأنهما}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \frac{\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{)}}{\mathbf{1}}\mathbf{\cdot }\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1}\\ & \mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{a}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{2}\\ & \mathbf{(}\mathbf{-}{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{)}\mathbf{\times }\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}\\ & {\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{=}\mathbf{0}\\ & \mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{0}\\ & \mathbf{\text{أما }}\mathbf{a}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{a}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{2}\\ & \mathbf{أو}\mathbf{ }\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{a}\mathbf{=}\mathbf{1}\end{array} \end{gathered}$$