تمرينات (1 - 6)

(1)- جد المسافة بين كل زوج من النقاط الآتية:

أ) (4, 3)، (0, 0).

$\begin{array}{rl}& \mathbf{d}\mathbf{=}\sqrt{{\mathbf{(}{\mathbf{X}}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{X}}_{\mathbf{1}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{(}{\mathbf{y}}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{y}}_{\mathbf{1}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\\ & \mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{-}\mathbf{0}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{4}\mathbf{-}\mathbf{0}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{9}\mathbf{+}\mathbf{16}}\mathbf{=}\mathbf{5}\mathbf{ }\mathbf{طول}\mathbf{ }\mathbf{وحدة}\mathbf{ }\mathbf{\text{(units )}}\end{array}$

ب) (4, 6)، (2, 1).

$\mathit{d}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{6}\mathbf{-}\mathbf{1}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{4}\mathbf{-}\mathbf{2}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{25}\mathbf{+}\mathbf{4}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{29}}\mathbf{ }\mathbf{طول}\mathbf{ }\mathbf{وحدة}\mathbf{\text{( units )}}$

ج) (5 -, 3-)، (1-, 5).

$\mathit{d}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{-}\mathbf{5}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{+}\mathbf{1}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{64}\mathbf{+}\mathbf{16}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{80}}\mathbf{ }\mathbf{طول}\mathbf{ }\mathbf{وحدة}\mathbf{ }\mathbf{\text{(units)}}$

د) (4, 1-)، (3, 2-).

$\mathit{d}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{2}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{4}\mathbf{-}\mathbf{3}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{1}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{طول}\mathbf{ }\mathbf{وحدة}\mathbf{ }\mathbf{\left(}\mathit{u}\mathit{n}\mathit{i}\mathit{t}\mathit{s}\mathbf{\right)}$

(2)- جد محيط المثلث الذي رؤوسه النقاط (8-, A (5 ,7) ،B (1 ,10) ،C (-3.

$\begin{array}{rl}& \mathbf{AB}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{5}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{10}\mathbf{-}\mathbf{7}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{16}\mathbf{+}\mathbf{9}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{25}}\mathbf{=}\mathbf{5}\mathbf{\text{ طول وحدة}}\mathbf{\text{ (units)}}\\ & \mathbf{AC}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{-}\mathbf{5}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{8}\mathbf{-}\mathbf{7}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{64}\mathbf{+}\mathbf{225}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{289}}\mathbf{=}\mathbf{17}\mathbf{ }\mathbf{طول}\mathbf{ }\mathbf{وحدة}\mathbf{ }\mathbf{\text{(units)}}\\ & \mathbf{B}\mathbf{C}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{-}\mathbf{1}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{8}\mathbf{-}\mathbf{10}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{340}}\mathbf{=}\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{85}}\mathbf{ }\mathbf{طول}\mathbf{ }\mathbf{وحدة}\mathbf{ }\mathbf{\text{( units )}}\\ & \mathbf{ }\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{85}}\mathbf{+}\mathbf{17}\mathbf{+}\mathbf{5}\mathbf{=}\mathbf{AC}\mathbf{+}\mathbf{BC}\mathbf{+}\mathbf{AB}\mathbf{=}\mathbf{المثلث}\mathbf{ }\mathbf{محيط}\\ & \mathbf{طول}\mathbf{ }\mathbf{وحدة}\mathbf{ }\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{85}}\mathbf{+}\mathbf{22}\mathbf{=}\end{array}$

(3)- رؤوس شكل رباعي هي A (4 ,-3) ،B ( 7 ,10) ،C (-8 ,2) ،D (-1 ،-5) جد طول قطريه.

$\begin{array}{rl}& \mathbf{AC}\mathbf{=}\sqrt{{\mathbf{(}{\mathbf{X}}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{X}}_{\mathbf{1}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{(}{\mathbf{y}}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{y}}_{\mathbf{1}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\\ & \mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{8}\mathbf{-}\mathbf{4}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{3}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{144}\mathbf{+}\mathbf{25}}\\ & \mathbf{=}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{169}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{13}\mathbf{ }\mathbf{طول}\mathbf{ }\mathbf{وحدة}\mathbf{ }\mathbf{u}\mathbf{n}\mathbf{i}\mathbf{t}\mathbf{s}\mathbf{ }\mathbf{طول}\mathbf{ }\mathbf{وحدة}\\ & \mathbf{B}\mathbf{D}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{7}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{-}\mathbf{10}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\\ & \mathbf{=}\sqrt{\mathbf{64}\mathbf{+}\mathbf{225}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{289}}\mathbf{=}\mathbf{17}\mathbf{ }\mathbf{طول}\mathbf{ }\mathbf{وحدة}\mathbf{\text{ units }}\mathbf{\text{الثاني القطر}}\end{array}$

(4)- أثبت أن النقاط (9-, A (3 ,-2) ،B (-5 ,0) ،C (0 ,-7) ،D (8 هي رؤوس متوازي الأضلاع.

$\begin{array}{rl}& \mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{-}\mathbf{3}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{+}\mathbf{2}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{64}\mathbf{+}\mathbf{4}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{68}}\mathbf{\text{units}}\\ & \mathbf{B}\mathbf{C}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{+}\mathbf{5}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{7}\mathbf{-}\mathbf{0}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{25}\mathbf{+}\mathbf{49}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{74}}\mathbf{\text{units}}\\ & \mathbf{C}\mathbf{D}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{8}\mathbf{-}\mathbf{0}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{9}\mathbf{+}\mathbf{7}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{64}\mathbf{+}\mathbf{4}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{68}}\mathbf{\text{units}}\\ & \mathbf{A}\mathbf{D}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{8}\mathbf{-}\mathbf{3}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{9}\mathbf{+}\mathbf{2}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{25}\mathbf{+}\mathbf{49}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{74}}\mathbf{\text{units}}\\ & \mathbf{ }\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{=}\mathbf{C}\mathbf{D}\mathbf{,}\mathbf{B}\mathbf{C}\mathbf{=}\mathbf{A}\mathbf{D}\end{array}$

الشكل ABCD متوازي أضلاع (لتساوي كل ضلعين متقابلين بالقياس) ويمكن الحل باستخدام المتجهات (كما ورد في المثال السابق).

(5)- إذا كانت A (-2 ,5) ،B (3 ,3) ،C (-4 ,2) ثلاث رؤوس من متوازي الأضلاع ABCD جد إحداثي نقطة D.

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}}\mathbf{=}\overrightarrow{\mathbf{D}\mathbf{C}}\\ & \overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{-}\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{=}\overrightarrow{\mathbf{C}}\mathbf{-}\overrightarrow{\mathbf{D}}\\ & \mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{X}\mathbf{,}\mathbf{Y}\mathbf{)}\\ & \mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{X}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{Y}\mathbf{)}\\ & \mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{3}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{-}\mathbf{X}\mathbf{,}\mathbf{2}\mathbf{-}\mathbf{Y}\mathbf{)}\\ & \mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{-}\mathbf{X}\mathbf{=}\mathbf{5}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{X}\mathbf{=}\mathbf{4}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{9}\\ & \mathbf{كذلك}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{-}\mathbf{Y}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{◻}\mathbf{Y}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{=}\mathbf{4}\\ & \mathbf{D}\mathbf{(}\mathbf{X}\mathbf{,}\mathbf{Y}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{9}\mathbf{,}\mathbf{4}\mathbf{)}\end{array}$

طريقة ثانية: بما أن الشكل متوازي أضلاع فالقطران $\overrightarrow{\mathbf{B}\mathbf{D}}\mathbf{,}\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{C}}$ متناصفان في0 $\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{C}}$

${}^{\mathbf{O}}\overrightarrow{\mathbf{AC}}\mathbf{ }\mathbf{إحداثي}\mathbf{=}\mathbf{(}\frac{\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{-}\mathbf{4}}{\mathbf{2}}\mathbf{,}\frac{\mathbf{5}\mathbf{+}\mathbf{2}}{\mathbf{2}}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{,}\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{2}}\mathbf{)}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& {}^{\mathbf{O}}\overrightarrow{\mathbf{BD}}\mathbf{ }\mathbf{إحداثي}\mathbf{=}\mathbf{(}\frac{\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{3}}{\mathbf{2}}\mathbf{,}\frac{\mathbf{y}\mathbf{+}\mathbf{3}}{\mathbf{2}}\mathbf{)}\\ & \frac{\mathbf{X}\mathbf{+}\mathbf{3}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{X}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{X}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{9}\end{array} \\ \mathbf{\text{كذلك }}\frac{\mathbf{Y}\mathbf{+}\mathbf{3}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{2}}\mathbf{⟼}\mathit{y}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{=}\mathbf{7}\mathbf{⟹}\mathit{Y}\mathbf{=}\mathbf{4} \\ \mathit{D}\mathbf{(}\mathit{X}\mathbf{,}\mathit{Y}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{9}\mathbf{,}\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{المربع}\mathbf{ }\mathbf{الرأس}\mathbf{ }\mathbf{إحداثي} \end{gathered}$$

(6)- بين أن المثلث الذي رؤوسه A (2 ,3) ،B (-1 ,-1) ،C (3 ,-4) هو مثلث متساوي الساقين.

نستخدم قانون المسافات لإيجاد أضلاع المثلث:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathbf{AB}}& \mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{2}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{3}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\\ & \mathbf{=}\sqrt{\mathbf{9}\mathbf{+}\mathbf{16}}\mathbf{=}\mathbf{5}\mathbf{\text{units}}\\ \overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{C}}& \mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{-}\mathbf{2}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{-}\mathbf{3}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\\ & \mathbf{=}\sqrt{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{49}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{50}}\mathbf{=}\mathbf{5}\sqrt{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{\text{units}}\\ \overrightarrow{\mathbf{B}\mathbf{C}}& \mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{+}\mathbf{1}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{+}\mathbf{1}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{25}}\mathbf{=}\mathbf{5}\mathbf{\text{units}}\end{array} \\ \mathit{A}\mathit{B}\mathbf{=}\mathit{B}\mathit{C}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{ }\mathbf{الساقين}\mathbf{ }\mathbf{متساوي}\mathbf{ }\mathbf{المثلث} \end{gathered}$$

(7)- أثبت أن النقط (0, 0)، (8, 6)، (4-, 3-) تقع على استقامة واحدة.

$\begin{array}{rl}& \mathbf{d}\mathbf{\left(}\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{6}\mathbf{+}\mathbf{3}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{8}\mathbf{+}\mathbf{4}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{225}}\mathbf{=}\mathbf{15}\mathbf{\text{units}}\\ & \mathbf{d}\mathbf{\left(}\mathbf{A}\mathbf{C}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{-}\mathbf{0}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{+}\mathbf{0}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{25}}\mathbf{=}\mathbf{5}\mathbf{\text{units}}\\ & \mathbf{d}\mathbf{\left(}\mathbf{B}\mathbf{C}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{-}\mathbf{6}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{-}\mathbf{8}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{100}}\mathbf{=}\mathbf{10}\mathbf{\text{units}}\\ & \mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{=}\mathbf{A}\mathbf{C}\mathbf{+}\mathbf{B}\mathbf{C}\\ & \mathbf{15}\mathbf{=}\mathbf{5}\mathbf{+}\mathbf{10}\end{array}$

• A, B, C تقع على استقامة واحدة.
• ويمكن إثبات النقاط على استقامة واحدة باستخدام المتجهات.

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{\mathbf{AB}}\mathbf{=}\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{-}\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{9}\mathbf{,}\mathbf{12}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{4}\mathbf{)}\\ & \overrightarrow{\mathbf{BC}}\mathbf{=}\overrightarrow{\mathbf{C}}\mathbf{-}\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0}\mathbf{)}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{4}\mathbf{)}\\ & \overrightarrow{\mathbf{AC}}\mathbf{=}\overrightarrow{\mathbf{C}}\mathbf{-}\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0}\mathbf{)}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{4}\mathbf{)}\end{array}$

• نلاحظ أن الزوج (4 ،3) مشترك في كل المتجهات يعني ذلك أن النقاط على استقامة واحدة.