مراجعة الفصل

[4-1] حل المعادلات من الدرجة الأولى بمتغير واحد بخطوتين في R

(1)- حل المعادلات التالية باستعمال الجمع والطرح:

$2y-8=3y-|-10|\Rightarrow$

$2y-8=3y-|-10|\Rightarrow 2y-3y=8-10\Rightarrow -y=-2\Rightarrow y=2$

$|-4|h=9-\sqrt[3]{-27}h\Rightarrow$

$|-4|h=9-\sqrt[3]{-27h}\Rightarrow 4h=9+3h\Rightarrow 4h-3h=9\Rightarrow h=9$

(2)- حل المعادلات التالية باستعمال الضرب والقسمة:

$\frac{3y}{4}=\frac{9}{16}\Rightarrow$

$\frac{3y}{4}=\frac{9}{16}\Rightarrow \frac{3y}{4}\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{9}{16}\left(\frac{4}{3}\right)\Rightarrow y=\frac{3}{4}$

$7x-8=5x-3^2\Rightarrow$

$7x-8=5x-3^2\Rightarrow 7x-5x=8-9\Rightarrow 2x=-1\Rightarrow x=\frac{-1}{2}$

[4-2] حل المعادلات من الدرجة الأولى بمتغير واحد بخطوات متعددة في R

(1)- حل المعادلات التالية باستعمال خواص الأعداد الحقيقية:

$4(x-5\sqrt{3})=3x-2\sqrt{3}\Rightarrow$

$4(x-5\sqrt{3})=3x-2\sqrt{3}\Rightarrow 4x-20\sqrt{3}=3x-2\sqrt{3}\Rightarrow x=18\sqrt{3}$

$\frac{1}{2}(3y+20)-6=\frac{1}{4}(16-6y)\Rightarrow$

$\begin{array}{rl}& \frac{1}{2}(3y+20)-6=\frac{1}{4}(16-6y)\Rightarrow \frac{3}{2}y+10-6=4-\frac{6}{4}y\\ & \Rightarrow \frac{3}{2}y+\frac{3}{2}y-6=4-10\Rightarrow 3y=0\Rightarrow y=0\end{array}$

(2)- حل المعادلة الآتية: $|\mathrm{z}-7|=3\Rightarrow$

$|z-7|=3\Rightarrow \{\begin{array}{l}z-7=3\Rightarrow z=10\\ z-7=-3\Rightarrow z=4\end{array}$

[4-3] حل المعادلات من الدرجة الثانية بمتغير واحد في R

(1)- حل المعادلات التالية باستعمال الجذر التربيعي:

$16{\mathrm{z}}^2=4\Rightarrow$

$16z^2=4\Rightarrow z^2=\frac{4}{16}\Rightarrow z^2=\frac{1}{4}\Rightarrow z=\frac{1}{2} or z=-\frac{1}{2}$

$z^2-1=11\Rightarrow$

$\begin{array}{rl}{z}^2-1=11\Rightarrow z^2=12& \Rightarrow z=\sqrt{12} or z=-\sqrt{12}\\ & \Rightarrow z=2\sqrt{3} or z=-2\sqrt{3}\end{array}$

(2)- حل المعادلات التالية باستعمال خاصية الضرب الصفري:

$(x-\sqrt{3})(x-\sqrt{2})=0\Rightarrow$

$\begin{array}{rl}(\mathrm{x}-\sqrt{3})(\mathrm{x}+\sqrt{3})=0\Rightarrow \mathrm{x}-\sqrt{3}& =0 or \mathrm{x}+\sqrt{3}=0\\ \mathrm{x}& =\sqrt{3} or x=-\sqrt{3}\end{array}$

$5{\mathrm{z}}^2+16\mathrm{z}=0\Rightarrow$

$\begin{array}{rl}& 5z^2+16z=0\Rightarrow z(5z+16)=0\Rightarrow z=0 or 5z+16=0\\ & \Rightarrow z=0 or z=\frac{-16}{5}\end{array}$

[4-4] حل المتباينات الجبرية ذات الخطوتين في R

(1)- حل المتباينات التالية في R باستعمال خواص الجمع والطرح:

$5\mathrm{t}+\sqrt[3]{-8}\ge 6\mathrm{t}-\sqrt[3]{27}\Rightarrow$

$\begin{array}{rl}& 5t+\sqrt[3]{-8}\ge 6t-\sqrt[3]{27}\Rightarrow 5t-2\ge 6t-3\\ & \Rightarrow 5t-6t\ge 2-3\Rightarrow -t\ge -1\Rightarrow t\le 1\end{array}$

$3(\frac{1}{3}y+\frac{1}{15})<0\Rightarrow$

نفس حل المثال.

(2)- حل المتباينات التالية في R باستعمال خواص المتباينات على الأعداد الحقيقية:

$6(n-3)<4(n-5)\Rightarrow$

$\begin{array}{rl}& 6(n-3)<4(n-5)\Rightarrow 6n-18<4n-20\\ & \Rightarrow 6n-4n<18-20\Rightarrow 2n<-2\Rightarrow n<-1\end{array}$

$\frac{-2x}{9}\le \frac{x}{7}\Rightarrow$

$\begin{array}{rl}& \frac{-2x}{9}\le \frac{x}{7}\Rightarrow \frac{-2x}{9}-\frac{x}{7}\le 0\Rightarrow \frac{-14x-9x}{63}\le 0\\ & \Rightarrow -23x\le 0\Rightarrow x\ge 0\end{array}$

[4-5] حل المتباينات الجبرية متعددة الخطوات في R

(1)- حل المتباينات التالية في R باستعمال خواص المتباينات على الأعداد الحقيقية:

$\frac{1}{5}n+\sqrt[3]{-27}-\frac{11}{5}n<|-3|\Rightarrow$

$\begin{array}{rl}& \frac{1}{5}n+\sqrt[3]{-27}-\frac{11}{5}n<|-3|\Rightarrow \frac{1}{5}n-3-\frac{11}{5}n<3\\ & \Rightarrow \frac{1}{5}n-\frac{11}{5}n<6\Rightarrow \frac{-10}{5}n<6\Rightarrow -2n<6\Rightarrow -n<3\Rightarrow n>-3\end{array}$

$\frac{-4}{3}(\frac{3}{2}z-\frac{12}{8})\ge 0\Rightarrow$

نفس حل المثال.

(2)- حل المتباينة التالية في R باستعمال خواص المتباينات على الأعداد الحقيقية: $\frac{1}{3}(y+6)>\frac{1}{3}(\sqrt{3}-y)\Rightarrow$

$\begin{array}{rl}& \frac{1}{3}(y+6)>\frac{1}{3}(\sqrt{3}-y)\Rightarrow \frac{1}{3}y+2>\frac{1}{3}\sqrt{3}-\frac{1}{3}y\\ & \Rightarrow \frac{1}{3}y+\frac{1}{3}y>\frac{1}{3}\sqrt{3}-2\Rightarrow \frac{2}{3}y>1-\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\ & \Rightarrow y>\left(\frac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)\times \frac{3}{2}\Rightarrow y>\frac{3-6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\end{array}$