بعض تطبيقات التكامل الغير محدد

أولاً: التطبيق الهندسي للتكامل (إيجاد معادلة المنحني)

ملاحظة:

إذا أعطى في السؤال ميل المنحني وكان المطلوب إيجاد معادلة عند الحل نتبع ما يلي:

1. تكامل الميل حسب القانون الآتي $y=\int \overline{f}\left(x\right)dx$

2. يعطي مع الميل نقطة كاملة (x,y) نعوض بها بعد التكامل إيجاد ثابت التكامل C.

3. نعيد كتابة المعادلة.

1- انا كان ميل المنحني عند كل نقطة (x,y) من نقاطه هو $(3x^2-2x+1)$ جد معادلة المنحني الذي يمر بالنقطة (2,3)؟

$\begin{array}{rl}& y=\int \overline{f}\left(x\right)dx\Rightarrow y=\int (3x^2-2x+1)dx\Rightarrow y=\frac{3x^3}{3}-\frac{2x^2}{2}+x+C\\ & y=x^3-x^2+x+C\end{array}$

نعوض النقطة (2,3)

$\begin{array}{rl}& 3=(2{)}^3-(2{)}^2+2+C\Rightarrow 3=8-4+2+C\Rightarrow 3=6+C\Rightarrow C=-3\\ & \therefore y=x^3-x^2+x-3\end{array}$

2- منحني عند أية نقطة (x,y) يساوي $x\sqrt{x^2+9}$ جد معادله إذا كان يمر بالنقطة (0,7)؟

$\begin{array}{rl}& y\int x\sqrt{x^2+9}dx\\ & y=\frac{1}{2}\int {(x^2+9)}^{\frac{1}{2}}2xdx,\overline{y}=2x\Rightarrow y=\frac{1}{2}\frac{{(x^2+9)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C\Rightarrow y=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}{(x^2+9)}^{\frac{3}{2}}+C\\ & y=\frac{1}{3}{(x^2+9)}^{\frac{3}{2}}+C\Rightarrow y=\frac{1}{3}\sqrt{{(x^2+9)}^3}+C\end{array}$

نعوض النقطة (0,7) في الدالة

$\begin{array}{rl}& 7=\frac{1}{3}\sqrt{{(6^2+9)}^3}+C\Rightarrow 7=\frac{1}{3}(3{)}^3+C\Rightarrow 7=\frac{1}{3}(27)+C\Rightarrow C=7-9=-2\\ & \therefore y=\frac{1}{3}\sqrt{{(x^2+9)}^3}-2\end{array}$

ملاحظة:

إذا كانت صيغة السؤال أن للدالة نهاية عظمى أو نهاية صغرى قيمتها عدد معين فإن هذا العدد يمثل قيمة y لتلك النهاية عند الحل مساواة الميل بالصفر ثم نستخرج قيمة x فيتكون لدينا نقطة كاملة (x,y) نعوض بها بعد التكامل لإيجاد ثابت التكامل C.

ملاحظة:

إذا أعطى في السؤال المشتقة الثانية عند الحل نكامل مرتين حسب القانون الآتي:

$$\begin{gathered} \overline{y}=\int \overline{\overline{f}}\left(x\right)dx \\ y=\int \overline{f}\left(x\right)dx \end{gathered}$$

3- جد معادلة المنحني الذي مشتقته الثانية (6x) ويمر بالنقطتين (1,6),(1,6-)؟

$\begin{array}{rl}& \overline{y}=\int \overline{f}\left(x\right)dx\Rightarrow \overline{y}=\int \left(6x\right)dx\Rightarrow \overline{y}=\frac{6x^2}{2}+C1⟹\overline{y}=3x^2+C1\\ & y=\int \overline{f}\left(x\right)dx⟹y=\int (3x^2+C1)dx\\ & y=\frac{3x^3}{3}+C1x+C2⟹y=x^3+C1x+C2 \\ & 6=1+C1+C2⟹C1+C2=5\dots \dots \dots (1 \left(\mathrm{الدالة} \mathrm{في} (1,6) \mathrm{النقطة} \mathrm{نعوض}\right)\\ & 6=-1-C1+C2⟹-C1+C2=7\dots \dots .(2 \left(\left(-1,6\right) \mathrm{النقطة} \mathrm{نعوض}\right)\\ & C1+C2=5\dots \dots \dots ..(1\\ & -C1+C2=7\dots \dots (2\\ & 2C2=12]÷2⟹C2=6\Rightarrow C1+6=5\Rightarrow C2=-1⟹y=x^3-x+6\end{array}$

4- إذا كان ميل منحني عند (x,y) هو $(ax-3x^2)$ وكان المستقيم $9x-y-4=0$ مماساً له عند (1,5) جد معادلة؟

$m=\frac{x \mathrm{معامل} -}{y \mathrm{معامل}}=\frac{-9}{-1}=9$

$\begin{array}{rl}& \overline{y}=m=ax-3x^2,\overline{y}=9,x=1\\ & 9=a\left(1\right)-3(1{)}^2\Rightarrow 9=a-3\Rightarrow a=12\Rightarrow \Rightarrow \overline{y}=12x-3x^2\\ & y=\int \overline{f}\left(x\right)dx\Rightarrow y=\int (12x-3x^2)dx\\ & y=\frac{12x^2}{2}-\frac{3x^3}{3}+C\Rightarrow y=6x^2-x^3+C\end{array}$

نعوض النقطة (1,5)

$\begin{array}{rl}& 5=6(1{)}^2-(1{)}^3+C\Rightarrow 5=5+C\Rightarrow C=0\\ & \therefore y=6x^2-x^3\end{array}$