غاية الدالة

قواعد الغاية:

1. غاية الدالة الثابتة = الثابت نفسه

${\mathrm{Lim}}_{x\to z}C=C$

1- جد الغاية لكل مما يأتي:

- ${\mathrm{Lim}}_{x\to z}100$

${\mathrm{Lim}}_{x\to z}100=100$

- ${\mathrm{Lim}}_{x\to -1}\frac{3}{2}$

${\mathrm{Lim}}_{x\to -1}\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

- ${\mathrm{Lim}}_{x\to 0}\sqrt{3}$

${\mathrm{Lim}}_{x\to 0}\sqrt{3}=\sqrt{3}$

2. غاية الدالة كثيرة الحدود (أي دالة لا كسرية ولا جذرية تسمى كثيرة الحدود) تعريض مباشر في قيمة الاقتراب.

2- جد الغاية لكل مما يأتي:

- $Li{m}_{x\to -1}(3x^2+6x+8)$

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{Lim}}_{x\to -1}(3x^2+6x+8)\\ & =3(-1{)}^2+6(-1)+8=3-6+8=5\end{array}$

- ${\mathrm{Lim}}_{x\to -3}(x^3+2x)$

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{Lim}}_{x\to -3}(x^3+2x)\\ & =(-3{)}^3+2(-3)=-27-6=-33\end{array}$

3. غاية الدالة الجذرية

- الجذرية ذات الدليل الزوجي: تدخل الغابة تحت الجذر بشرط أن القيمة التي تحت الجذر أكبر أو تساوي صفر.

3- جد الغاية لكل مما يأتي:

- ${\mathrm{Lim}}_{x\to -1}\sqrt{3x^2+6}$

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{Lim}}_{x\to -1}\sqrt{3x^2+6}\\ =& \sqrt{{\mathrm{Lim}}_{x\to -1}3x^2+6}=\sqrt{3(-1{)}^2+6}=\sqrt{3+6}\\ =& \sqrt{9}=3\end{array}$

- $\underset{x\to -2}{lim}\sqrt{x+2}$

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{Lim}}_{x\to -2}\sqrt{x+2}\\ & =\sqrt{{\mathrm{Lim}}_{x\to -2}x+2}=\sqrt{-2+2}=\sqrt{0}=0\end{array}$

- الجذرية ذات الدليل الفردي تعويض مباشر

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{Lim}}_{x\to 0}\sqrt[3]{3x^2+6x+8}\\ & =\sqrt[3]{3(0{)}^2+6(0)+8}=\sqrt[3]{8}=2\end{array}$

4. غاية الدالة الكسرية (هناك حالتان)

الحالة الأولى: المقام عند التعويض المباشر لا يساوي صفر، في هذه الحالة يحق لنا التعويض المباشر.

4- جد الغاية لكل مما يأتي:

- ${\mathrm{Lim}}_{x\to 0}\frac{x^4-1}{x+1}$

${\mathrm{Lim}}_{x\to 0}\frac{x^4-1}{x+1}=\frac{(0{)}^4-1}{0+1}=\frac{-1}{1}=-1$

- $Li{m}_{x\to -2}\frac{x^2+1}{x+1}$

$\begin{array}{rl}{\mathrm{Lim}}_{x\to -2}\frac{x^2+1}{x+1}& =\frac{(-2{)}^2+1}{-2+1}=\frac{4+1}{-1}=\frac{5}{-1}\\ & =-5\end{array}$

الحالة الثانية [مهمة جداً]:

المقام عند التعويض المباشر = 0 في هذه الحالة نذهب إلى طرق التحليل والاختصارات وهي:

- الفرق بين مربعين $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$

5- جد الغاية لكل مما يأتي:

- ${\mathrm{Lim}}_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}$

$\begin{array}{rl}{\mathrm{Lim}}_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}& ={\mathrm{Lim}}_{x\to 3}(x+3)\\ & =3+3=6\end{array}$

- ${\mathrm{Lim}}_{x\to 2}\frac{x^4-16}{x-2}$

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{Lim}}_{x\to 2}\frac{(x^2-4)(x^2+4)}{x-2}\\ & ={\mathrm{Lim}}_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)(x^2+4)}{x-2}\\ & \begin{array}{r}{\mathrm{Lim}}_{x\to 2}(x+2)(x^2+4)=(2+2)(4+4)\\ =4\left(8\right)=32\end{array}\end{array}$

- تحليل مجموع مكعبين والفرق بينهما

$$\begin{gathered} (x^3-y^3)=(x-y)(x^2+xy+y^2) \\ =\left(\sqrt[3]{\mathrm{الأول} \mathrm{الحد}} \pm \sqrt[3]{\mathrm{الثاني} \mathrm{الحد}}\right)\left(\mathrm{الأول} \mathrm{الحد} \mathrm{مربع} \mathrm{الإشارة} \mathrm{عكس} \mathrm{الأول} \times \mathrm{الثاني} + \mathrm{الثاني} \mathrm{الحد} \mathrm{مربع}\right) \end{gathered}$$

6- جد الغاية لكل مما يأتي:

- ${\mathrm{Lim}}_{x\to 2}\frac{x^3-8}{x-2}$

$\begin{array}{rl}{\mathrm{Lim}}_{x\to 2}\frac{x^3-8}{x-2}& ={\mathrm{Lim}}_{x\to 2}\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}\\ & ={\mathrm{Lim}}_{x\to 2}(x^2+2x+4)=(2{)}^2+2(2)+4=4+4+4=12\end{array}$

- ${\mathrm{Lim}}_{x\to 3}\frac{x^3-27}{x-3}$

$\begin{array}{rl}{\mathrm{Lim}}_{x\to 3}\frac{x^3-27}{x-3}& ={\mathrm{Lim}}_{x\to 3}\frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{x-3}\\ & ={\mathrm{Lim}}_{x\to 3}(x^2+3x+9)=(3{)}^2+3(3)+9=9+9+9=27\end{array}$

- تحليل الحدودية الثلاثية بطريقة التجربة واستخراج العامل المشترك إن وجد:

7- جد الغاية لكل مما يأتي:

- ${\mathrm{Lim}}_{x\to 1}=\frac{x^2+3x-4}{x^2-1}$

${\mathrm{Lim}}_{x\to 1}=\frac{x^2+3x-4}{x^2-1}={\mathrm{Lim}}_{x\to 1}\frac{(x+4)(x-1)}{(x-1)(x+1)}={\mathrm{Lim}}_{x\to 1}\frac{x+4}{x+1}=\frac{1+4}{1+1}=\frac{5}{2}$

- ${\mathrm{Lim}}_{x\to -2}\frac{x^2+2x}{x^2-x-6}$

${\mathrm{Lim}}_{x\to -2}\frac{x^2+2x}{x^2-x-6}={\mathrm{Lim}}_{x\to -2}\frac{x(x+2)}{(x-3)(x+2)}={\mathrm{Lim}}_{x\to -2}\frac{x}{x-3}=\frac{-2}{-2-3}=\frac{-2}{-5}=\frac{2}{5}$

- ${\mathrm{Lim}}_{x\to 3}\frac{x^2-2x-3}{x^2-9}$

${\mathrm{Lim}}_{x\to 3}\frac{x^2-2x-3}{x^2-9}={\mathrm{Lim}}_{x\to -3}\frac{(x-3)(x+1)}{(x-3)(x+3)}={\mathrm{Lim}}_{x\to 3}\frac{x+1}{x+3}=\frac{3+1}{3+3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

- ${\mathrm{Lim}}_{x\to 2}\frac{x^3-8}{x^2-4}$

${\mathrm{Lim}}_{x\to 2}\frac{x^3-8}{x^2-4}={\mathrm{Lim}}_{x\to 2}\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)}={\mathrm{Lim}}_{x\to 2}\frac{x^2+2x+4}{x+2}=\frac{(2{)}^2+2(2)+4}{2+2}=\frac{4+4+4}{4}=\frac{12}{4}=3$

- طريقة العامل المنسب

ملاحظة:

• إذا كانت صيغة السؤال دالة كسرية تحتوي على جذر تربيعي مقامها عند التعويض المباشر = 0 نحلل بطريقة العامل المنسب.

• عند ضرب الحدود المترافقة نطبق القانون الآتي: مربع الحد الأول - مربع الحد الثاني

8- جد الغاية لكل مما يأتي:

- ${\mathrm{Lim}}_{x\to 1}\frac{x^2-1}{\sqrt{x}-1}$

$\begin{array}{rl}{\mathrm{Lim}}_{x\to 1}\frac{x^2-1}{\sqrt{x}-1}={\mathrm{Lim}}_{x\to 1}& \frac{x^2-1}{\sqrt{x}-1}\times \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}={\mathrm{Lim}}_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)(\sqrt{x}+1)}{x-1}\\ & ={\mathrm{Lim}}_{x\to 1}(x+1)(\sqrt{x}+1)=(1+1)(\sqrt{1}+1)=\left(2\right)\left(2\right)=4\end{array}$

- ${\mathrm{Lim}}_{x\to 4}\frac{x-2\sqrt{x}}{x-4}$

$\begin{array}{rl}{\mathrm{Lim}}_{x\to 4}\frac{x-2\sqrt{x}}{x-4}& ={\mathrm{Lim}}_{x\to 4}\frac{x-2\sqrt{x}}{x-4}\times \frac{x+2\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}}={\mathrm{Lim}}_{x\to 4}\frac{x^2-4x}{(x-4)(x+2\sqrt{x})}={\mathrm{Lim}}_{x\to 4}\frac{x(x-4)}{(x-4)(x+2\sqrt{x})}\\ & =\frac{4}{4+2\sqrt{4}}=\frac{4}{4+2\left(2\right)}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\end{array}$

- $\text{Li}{\mathrm{mim}}_{x\to 3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}$

$\begin{array}{rl}{\mathrm{Lim}}_{x\to 3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}& ={\mathrm{Lim}}_{x\to 3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}\times \frac{\sqrt{x+1}+2}{\sqrt{x+1}+2}={\mathrm{Lim}}_{x\to 3}\frac{x+1-4}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}={\mathrm{Lim}}_{x\to 3}\frac{x-3}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}\\ & =\frac{1}{\sqrt{3+1}+2}=\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}\end{array}$

- ${\mathrm{Lim}}_{x\to 11}\frac{\sqrt{x-2}-3}{x-11}$

$\begin{array}{rl}{\mathrm{Lim}}_{x\to 11}\frac{\sqrt{x-2}-3}{x-11}& ={\mathrm{Lim}}_{x\to 11}\frac{\sqrt{x-2}-3}{x-11}\times \frac{\sqrt{x-2}+3}{\sqrt{x-2}+3}={\mathrm{Lim}}_{x\to 11}\frac{x-2-9}{(x-11)(\sqrt{x-2}+3)}={\mathrm{Lim}}_{x\to 11}\frac{x-11}{(x-11)(\sqrt{x-2}+3)}\\ & =\frac{1}{\sqrt{11-2}+3}=\frac{1}{\sqrt{9}+3}=\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}\end{array}$

9- إذا كانت ${\mathrm{Lim}}_{x\to 1}\frac{x^2+3x-1}{x+2}=2a+3$ جد قيمة a؟

$\begin{array}{rl}& \frac{1+3-1}{1+2}=2a+3\Rightarrow \frac{3}{3}=2a+3\\ & 1=2a+3\Rightarrow 2a=1-3\Rightarrow 2a=-2\Rightarrow a=-1\end{array}$

10- إذا كانت $f\left(x\right)=a{x}^2+b$ وكانت ${\mathrm{Lim}}_{x\to -2}f\left(x\right)=11 , {\mathrm{Lim}}_{x\to -1}f\left(x\right)=5$ فما قيمة a,b؟

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{Lim}}_{x\to -1}a{x}^2+b=5\Rightarrow a(-1{)}^2+b=5\Rightarrow a\Rightarrow b=5.....\left(1\right)\\ & {\mathrm{Lim}}_{x\to -2}a{x}^2+b=11\Rightarrow a(-2{)}^2+b=11\Rightarrow -4a+b=-11....\left(2\right)\\ & -3a=-6\Rightarrow a=2\end{array}$

نعوض قيمة a في معادلة (1):

$2+b=5\Rightarrow b=3$