جمع وطرح الأعداد المركبة

جمع وطرح الأعداد المركبة

$\mathrm{\forall }{\mathrm{C}}_1,{\mathrm{C}}_2,{\mathrm{C}}_3\in \mathrm{C}$ وكان $C_2=c+d,{\mathrm{C}}_1=a+bi$ فإن:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}1) & C_1+C_2=C_2+C_1\\ 2) & C_1+(C_2+C_3)=(C_1+C_2)+C_3\end{array} \\ \text{3) }{C}_1+C_2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i \end{gathered}$$

النظير الجمعي للعدد المركب:

$\text{4) }C=a+bi\mathrm{\exists }-C=-a-bi , C+(-C)=0$

العنصر المحايد لعملية الجمع هو الصفر:

$\text{5) }0+C=C+0 , 0=0+0i$

ملاحظة: إذا كان $c=a+bi$ فإن نظيره الجمعي $-c=-a-bi$

(1)- جد ناتج ما يأتي:

$(2+3i)+(1-5i)$

$(2+3i)+(1-5i)=(2+1)+(3-5)i=3-2i$

$(3-i)+(-4+6i)$

$(3-i)+(-4+6i)=(3-4)+(-1+6)i=-1+5i$

$(4+5i)-(2-7i)$

$\begin{array}{rl}(4+5i)-(2-7i)=(4+5i)+(-2+7i)& =(4-2)+(5+7)i\\ & =2+12i\end{array}$

$-2i-(3i^2-4i^3)$

$\begin{array}{rl}-2i-(3i^2-4i^3)=(0-2i)-(-3+4i)& =(0-2i)+(3-4i)\\ & =(0+3)+(-2-4)i=3-6i\end{array}$

(2)- حل المعادلة:

$x\in C , (2-4i)+x=-5+i$

بإضافة النظير الجمعي $(2-4i)$ للطرفين لأن جمع عدد مع نظيره يساوي صفر:

$\begin{array}{rl}& (2-4i)+x=-5+i\\ & (2-4i)+(-2+4i)+x=(-5+i)+(-2+4i)\\ & 0+0i+x=(-5-2)+(1+4)i\\ & x=-7+5i\end{array}$

ملاحظة: إن طرح أي عدد مركب من آخر يساوي حاصل جمع العدد المركب الأول مع النظير الجمعي للعدد المركب الآخر.

(3)- جد ناتج:

$(3-2i)-(8+5i)$

$(3-2i)+(-8-5i)=(3-8)+(-2-5)i=-5+(-7)i=-5-7i$

ملاحظة: مجموعة الأعداد الحقيقة R هي مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد المركبة C أي أن $\mathrm{R}\subset \mathrm{C}$.

(4)- جد ناتج:

$(7-13i)-(9+4i)$

$\begin{array}{rl}& (7-13i)-(9+4i)\\ =& (7-13i)+(-9-4i)=(7-9)+(-13-4)i=-2-17i\end{array}$

(5)- جد مجموع العددين في كل مما يأتي:

$3+4\sqrt{2}i , 5-2\sqrt{2}i$

$(3+4\sqrt{2}i)+(5-2\sqrt{2}i)=(3+5)+(4\sqrt{2}i-2\sqrt{2}i)=8+2\sqrt{2}i$

$3 , 2-5i$

$(3+0i)+(2-5i)=(3+2)+(0-5)i=5-5i$

$m=1+5i , w=3+7i , z=-1-i$

$m+w+z=(1+5i)+(3+7i)+(-1-i)=(1+3-1)+(5+7-1)i=3+11i$

(6)- إذا كان $c=1+2i , w=-1-7i , z=-1-11i$ فأوجد ما يلي:

$-2c-4w+3z$

$\begin{array}{rl}-2c-4w+3z& =-2(1+2i)-4(-1-7i)+3(-1-11i)\\ & =(-2-4i)+(4+28i)+(-3-33i)\\ & =(-2+4-3)+(-4+28-33)i=-1-9i\end{array}$