قوى i

قوى i

$\begin{array}{rl}& i=\sqrt{-1}\\ & i^2=(\sqrt{-1}{)}^2=-1\\ & i^3=i^2\cdot i=(-1)\cdot i=-i\\ & i^4=i^2\cdot i^2=(-1)\cdot (-1)=1\\ & i^5=i^4\cdot i=\left(1\right)\cdot i=i\\ & i^{17}=i^{16}\cdot i={\left(i^2\right)}^8\cdot i=(-1{)}^8\cdot i=1\cdot i=i\\ & i^{15}=i^{14}\cdot i={\left(i^2\right)}^7\cdot i=(-1{)}^7\cdot i=-1\cdot i=-i\\ & i^{-15}=\frac{1}{i^{15}}=\frac{i^{16}}{i^{15}}=i\\ & i^{-7}=\frac{1}{i^7}=\frac{i^8}{i^7}=i\end{array}$

بصورة عامة: عند رفع i لعدد صحيح موجب فالناتج يكون أحد عناصر المجموعة {1,1-,i,1-} حيث نقسم أس (i) على 4 وباقي القسمة يكون أس جديد ل i.

ملاحظة: في حالة الكسور التي تحتوي في المقام i يجب أن يكون أس العدد الذي نأخذه في البسط أكبر من أس العدد الذي في المقام، ويجب أن يكون أسه من مضاعفات العدد (4).

(1)- اكتب ما يلي في أبسط صورة:

- $i^{20}$

$i^{20}=1$

- $i^{58}$

$i^{58}={\left(i^4\right)}^{14}\cdot i^2=(1{)}^{14}{i}^2=-1$

[56=14×4] (i² باقي القسمة)

- $i^{12n+93}$

$i^{12n+93}={\left(i^4\right)}^{3n}\cdot i^{93}=(1{)}^{3n}\cdot (i^{92}\cdot i)=(1)\cdot ({\left(i^4\right)}^{23}\cdot i)=i$

- $i^{-13}$

$i^{-13}=\frac{1}{i^{13}}=\frac{i^{16}}{i^{13}}=i^3=-i$

- $i^8$

$i^8=i^4\cdot i^4=1\times 1=1\Rightarrow i^8=1$

ملاحظة: إن كل 1=i⁴ أي أن $i^8=i^4\cdot i^4=1\times 1=1\Rightarrow i^8=1$

بصورة عامة: فإن كل أس من مضاعفات العدد 4 هو 1

ملاحظة: يمكننا كتابة الجذر لأي عدد حقيق سالب بدلالة (i) فمثلاً:

$\begin{array}{rl}& \sqrt{-16}=\sqrt{16}\cdot \sqrt{-1}=4i\\ & \sqrt{-15}=\sqrt{15}\cdot \sqrt{-1}=\sqrt{15}i\\ & \sqrt{-12}=\sqrt{12}\cdot \sqrt{-1}=2\sqrt{3}i\end{array}$

(2)- اكتب كلاً مما يأتي بالصيغة $bi$:

- $\sqrt{-3}$

$\sqrt{-3}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{-1}=\sqrt{3}i$

- $\sqrt{-a}$

$\sqrt{-a}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{-1}=\sqrt{a}i$

(3)- اكتب الأعداد التالية على صورة $a+bi$:

- $-1-\sqrt{-3}$

$-1-\sqrt{-3}=-1-\sqrt{3}\cdot \sqrt{-1}=-1-\sqrt{3}i$

- $\frac{1+\sqrt{-25}}{4}$

$\frac{1+\sqrt{-25}}{4}=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{25}i}{4}=\frac{1}{4}+\frac{5i}{4}$

(4)- اكتب الأعداد التالية بالصيغة الجبرية للعدد المركب:

- $i^{16}$

$i^{16}={\left(i^4\right)}^4=(1{)}^4=1=1+0i$

- $i^{15}$

$i^{15}=i^{12}\cdot i^3=\left(1\right)\cdot (-i)=-i=0-i$

- $i^{-13}$

$i^{-13}=\frac{1}{i^{13}}=\frac{i^{16}}{i^{13}}=i^3=-i=0-i$

- $i^{-23}$

$i^{-23}=\frac{1}{i^{23}}=\frac{i^{24}}{i^{23}}=i=0+i$

(5)- اكتب بالصيغة العادية للعدد المركب ل مما يأتي:

- $i^2-\sqrt{-36}$

$i^2-\sqrt{-36}=-1-6i$

- $i^5+\sqrt{12}$

$i^5+\sqrt{12}=i+2\sqrt{3}=2\sqrt{3}+i$

مصطلحات عامة: مجموعة الأعداد الطبيعية N، مجموعة الأعداد الصحيحة Z، مجموعة الأعداد الحقيقة R، مجموعة الأعداد المركبة C، الجزء الحقيق للعدد المركب R(z)، الجزء الحقيق للعدد المركب I(z).