تمارين (1-8)

(1)- في معرض للسيارات توجد (5) أنواع من السيارات ومن كل نوع (3) نماذج ومن كل نموذج توجد (4) سيارات فما عدد السيارات في المعرض؟

$5\times \times 3\times 4=60$

(2)- كم عدد زوجي يمكن تكوينه من أربع مراتب مأخوذة من الأرقام {5,1,6,2,7,4,8}

أ- التكرار مسموح به في العدد نفسه.

• عدد اختيارات رقم الآحاد=7
• عدد اختيارات رقم العشرات=7
• عدد اختيارات رقم المئات=7
• عدد اختيارات رقم الآلاف=7

$7\times 7\times 7\times 7=2401$

ب- التكرار غير مسموح به في العدد نفسه.

• عدد اختيارات رقم الآحاد=4
• عدد اختيارات رقم العشرات=5
• عدد اختيارات رقم المئات=6
• عدد اختيارات رقم الآلاف=7

$7\times 6\times 5\times 4=840$

(3)- صندوق يحتوي على عشرة مصابيح (4) منها عاطلة سحبت ثلاثة مصابيح جد عدد طرق سحب:

أ- اثنان صالحة وواحد عاطل.

${\mathrm{C}}_{\mathrm{r}1}^{\mathrm{n}1}\times {\mathrm{C}}_{\mathrm{r}2}^{\mathrm{n}2}={\mathrm{C}}_2^6\cdot {\mathrm{C}}_1^4=\frac{6\times 5}{2\times 1}\times \frac{4}{1}=60$

ب- على الأقل مصباح صالح.

${\mathrm{C}}_3^{10}-{\mathrm{C}}_3^4=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}-\frac{4\times 3\times 2\times 1}{3\times 2\times 1}=116$

(4)- إذا كان عدد أسئلة امتحان مادة ما هو (8) أسئلة وكان المطلوب حل خمسة أسئلة منها فقط بشرط أن تكون ثلاثة منها من الأسئلة الأربعة الأولى، فبكم طريقة يمكن الإجابة؟

عدد الطرق عند ترك سؤال واحد من الأربعة أسئلة الأولى هو:

$C_3^4=\frac{4\times 3\times 2}{3\times 2\times 1}=4$

عدد الطرق عند حل سؤالين من الأربعة الثانية:

${\mathrm{C}}_2^4=\frac{4\times 3}{2\times 1}=6$

عدد الطرق الإجمالي:

$C_3^4\cdot C_2^4=4\times 6=24$

(5)- ما عدد الطرق لاختيار فريق لكرة الطائرة من (6) لاعبين من بين (11) لاعب، [الاختيار دون إرجاع وعدم مراعاة الترتيب]

${\mathrm{C}}_6^{11}=\frac{11\times 10\times 9\times 8\times 7\times 6}{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}=462$

(6)- كم طريقة يمكن اختيار لجنة مؤلفة من خمسة أشخاص على شرط أن تحتوي على (3) طلاب و(2) طالبة من بين (7) طلاب و(6) طالبات.

أ- استبعاد أحد الطلاب من اللجنة.

${\mathrm{C}}_3^6\times {\mathrm{C}}_2^6=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}\times \frac{6\times 5}{2\times 1}=300$

ب- إحدى الطالبات لا يحق لها المشاركة في اللجنة.

${\mathrm{C}}_3^7\times {\mathrm{C}}_2^5=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}\times \frac{5\times 4}{2\times 1}=350$

(7)- جد قيمة (n) إذا كان

1) ${\mathrm{P}}_2^{\mathrm{n}}=72$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{n}(\mathrm{n}-1)72\\ & {\mathrm{n}}^2-\mathrm{n}-72=0\to (\mathrm{n}-9)(\mathrm{n}+8)=0\\ & \to \mathrm{n}=9 , \mathrm{n}=-8\end{array}$

2) ${(}_2^{\mathrm{n}})=10$

$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)}{2\times 1}=10\\ & \mathrm{n}(\mathrm{n}-1)=20\\ & {\mathrm{n}}^2-\mathrm{n}-20=0\to (\mathrm{n}-5)(\mathrm{n}+4)=0\to \mathrm{n}=5 , \mathrm{n}=-4\end{array}$

3) $2{(}_2^{\mathrm{n}})-{(}_3^{\mathrm{n}+1})$

$\begin{array}{rl}& 2\times \frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)}{2\times 1}=\frac{(\mathrm{n}+1)\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)}{3\times 2\times 1}\\ & \mathrm{n}(\mathrm{n}-1)=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}+1)}{6}\\ & 6\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)=\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}+1)\\ & \mathrm{n}(\mathrm{n}+1)=6\mathrm{n}\to {\mathrm{n}}^2\mathrm{n}-6\mathrm{n}=0\\ & {\mathrm{n}}^2-5\mathrm{n}=0\to \mathrm{n}(\mathrm{n}-5)=0\to \mathrm{n}=0\\ & \begin{array}{c}\mathrm{n}=5\\ \mathrm{n}=0 \mathrm{n}\ge \mathrm{r}\end{array}\end{array}$

(8)- كم عدد رمزه مكون من ثلاثة مراتب وأصغر من 600 يمكن تكوينه من الأرقام {5,3,6,2,7,9}

أ- يسمح بتكرار الرقم في العدد نفسه.

• عدد اختيارات رقم المئات=3
• عدد اختيارات رقم العشرات=6
• عدد اختيارات رقم الآحاد=6

$3\times 6\times 6=108$

ب- لا يسمح بتكرار الرقم في العدد نفسه.

• عدد اختيارات رقم المئات=3
• عدد اختيارات رقم العشرات=5
• عدد اختيارات رقم الآحاد=4

$3\times 5\times 4\equiv 60$

(9)- إذا كان {1,2,3,4,5,6,7,8,9}=x فكم عدد رمزه مكون من (5) أرقام مختلفة يمكن تكوينه من عناصر x؟

$\begin{array}{rl}\mathrm{P}(\mathrm{n},\mathrm{r})=\mathrm{P}(9,5)& =9\times 8\times 7\times 6\times 5\\ & =15120\end{array}$