تمارين (2-5)

(1)- $\mathrm{f}:\mathrm{R}\to \mathrm{R}$

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\{\begin{array}{ll}6-{\mathrm{x}}^2 ,& \mathrm{x}\ge 1\\ 4\mathrm{x}+1 ,& \mathrm{x}<1\end{array}$

ابحث استمرارية الدالة عند 1=x=-1 , x

$\begin{array}{rl}& \mathrm{f}\left(1\right)=6-{\mathrm{x}}^2=6-1^2=6-1=5\\ & \underset{\mathrm{x}\to 1}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\{\begin{array}{c}\underset{\mathrm{x}\to 1}{lim}(6-{\mathrm{x}}^2)=6-1=5={\mathrm{L}}_1\\ \underset{\mathrm{x}\to 1}{lim}(4\mathrm{x}+1)=4+1=5={\mathrm{L}}_2\end{array}\\ & {\mathrm{L}}_1={\mathrm{L}}_2\iff \underset{\mathrm{x}\to 1}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=5\\ & \underset{\mathrm{x}\to 1}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(1\right)(\mathrm{x}=1)\end{array}$

$\begin{array}{rl}f(-1)& =4x+1\\ & =4(-1)+1\\ & =-4+1=-3\\ \underset{x\to -1}{lim}f\left(x\right)& =\underset{x\to -1}{lim}(4x+1)=\left(4\right(-1)+1)=-3\\ & f(-1)=\underset{x\to -1}{lim}f\left(x\right)\to x=-1\end{array}$

الدالة مستمرة عند 1=x=-1 , x

(2)- $\mathrm{f}:\mathrm{R}\to \mathrm{R}$

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{{\mathrm{x}}^2-4}{\mathrm{x}-2}& , \mathrm{x}\ne 2\\ 3& , \mathrm{x}-2\end{array}$

ابحث استمرارية الدالة عند 2=x

$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}\underset{\mathrm{x}\to 2}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)& =\underset{\mathrm{x}\to 2}{lim}\frac{{\mathrm{x}}^2-4}{\mathrm{x}-2}\\ & =\underset{\mathrm{x}\to 2}{lim}\frac{(\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}+2)}{(\mathrm{x}-2)}\ne \\ & =\underset{\mathrm{x}\to 2}{lim}(\mathrm{x}+2)=2+2=4\\ \mathrm{f}\left(2\right)& \ne \underset{\mathrm{x}\to 2}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\end{array}\end{array}$

الدالة غير مستمرة عند 2=x

(3)- إذا كان $\mathrm{f}:\mathrm{R}\to \mathrm{R}$

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=|2\mathrm{x}-6|$

ابحث استمرارية الدالة على R.

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(3\right)=(2\times 3)-6=6-6=0 \\ \underset{\mathrm{x}\to 3}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\{\begin{array}{l}\underset{\mathrm{x}\to 3}{lim}(2\mathrm{x}-6)=6-6=0={\mathrm{L}}_1\\ \underset{\mathrm{x}\to 3}{lim}(6-2\mathrm{x})=6-6=0={\mathrm{L}}_2\end{array} \end{gathered}$$

$\begin{array}{rl}& \therefore {\mathrm{L}}_1={\mathrm{L}}_2\iff \underset{\mathrm{x}\to 3}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0\\ & \therefore \underset{\mathrm{x}\to 3}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(3\right)\end{array}$

الدالة غير مستمرة عند 3=x

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2\mathrm{a}+6 ,\hspace{0.17em}\mathrm{\forall }\mathrm{a}>3\text{(2)} \\ \begin{array}{rl}& \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}(2\mathrm{x}-6)=2\mathrm{a}-6\\ & \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\end{array} \end{gathered}$$

الدالة غير مستمرة عند x=a

3<x

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=6-2\mathrm{a}\hspace{0.17em}, \mathrm{\forall }\mathrm{a}<3\left(3\right) \\ \begin{array}{rl}& \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}(6-2\mathrm{x})=6-2\mathrm{a}\\ & \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\end{array} \end{gathered}$$

الدالة غير مستمرة عند x=a

3>x

الدالة مستمرة في R

(4)- لتكن

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\{\begin{array}{ll}5-{\mathrm{x}}^2& , \mathrm{x}<\sqrt{2}\\ {\mathrm{x}}^2+1& , \mathrm{x}>\sqrt{2}\\ 4& , \mathrm{x}=\sqrt{2}\end{array}$

ابحث استمرارية الدالة عند $\mathrm{x}=\sqrt{2 }, \mathrm{x}=-1$

$\begin{array}{rl}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=& 5-{\mathrm{x}}^2\\ \mathrm{f}(-1)=& 5-(-1{)}^2\\ =& 5-1\\ & =4\end{array}$

$\begin{array}{rl}\underset{\mathrm{x}\to -1}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)& =\underset{\mathrm{x}\to -1}{lim}(5-{\mathrm{x}}^2)\\ & =5-(-1{)}^2\\ & =5-1\\ & =4\end{array}$

الدالة مستمرة عند ${\mathrm{F}}_{(-1)}=\underset{\mathrm{x}\to -1}{lim}{\mathrm{F}}_{\left(\mathrm{x}\right)}\to \mathrm{x}=-1$

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\sqrt{2}\right)=4 \\ \underset{\mathrm{x}\to \sqrt{2}}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\{\begin{array}{ll}\underset{\mathrm{x}\to \sqrt{2}}{lim}{\mathrm{x}}^2+1 ,& \mathrm{x}>\sqrt{2}\\ \underset{\mathrm{x}\to \sqrt{2}}{lim}5-{\mathrm{x}}^2 ,& \mathrm{x}<\sqrt{2}\end{array}=\{\begin{array}{l}(\sqrt{2}{)}^2+1=3\\ 5-(\sqrt{2}{)}^2=3\end{array} \end{gathered}$$

الدالة غير مستمرة عند ${\mathrm{F}}_{\left(\sqrt{2}\right)}\ne \underset{\mathrm{x}\to \sqrt{2}}{lim}{\mathrm{F}}_{\left(\sqrt{2}\right)}$

(5)- لتكن $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2-9}$

ابحث استمرارية الدالة عند $\mathrm{x}=1 , \mathrm{x}=-3 , \mathrm{x}=3$

${\mathrm{x}}^2-9=0\Rightarrow {\mathrm{x}}^2=9\to \mathrm{x}=\mp 3$

أوسع مجال للدالة الكسرية هو $\{-3,3\}/\mathrm{R}$

الدالة غير مستمرة عند $(\mathrm{x}=-3) , (\mathrm{x}=3)$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2-9}\\ & \mathrm{f}\left(1\right)=\frac{1}{1^2-9}=\frac{1}{1-9}=\frac{1}{-8}=-\frac{1}{8}\\ & \begin{array}{c}\underset{\mathrm{x}\to 1}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 1}{lim}\frac{1}{{\mathrm{x}}^2-9}\\ =\frac{1}{1^2-9}=\frac{1}{1-9}=-\frac{1}{8}\end{array}\end{array}$

الدالة مستمرة عند $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 1}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$

(6)- إذا كانت الدالة مستمرة عند 1=f(-1)=5 , x جد قيمة $\mathrm{a},\mathrm{b}\in \mathrm{R}$

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\{\begin{array}{ll}2\mathrm{a}+{\mathrm{x}}^2& , \mathrm{x}\ge 1\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{b}& , \mathrm{x}<1\end{array}$

$\begin{array}{ll}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2\mathrm{x}+\mathrm{b}& \mathrm{b}-2=5\\ \mathrm{f}(-1)=2(-1)+\mathrm{b}& \mathrm{b}=5+2\\ \mathrm{f}(-1)=-2+\mathrm{b}& \mathrm{b}=7\\ \mathrm{f}(-1)=\mathrm{b}-2& \end{array}$

الدالة مستمرة عند 1=x , ${\mathrm{L}}_1={\mathrm{L}}_2$

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{L}}_1=\underset{\mathrm{x}\to 1}{lim}(2\mathrm{a}+{\mathrm{x}}^2)=2\mathrm{a}+1^2=2\mathrm{a}+1\\ & {\mathrm{L}}_2=\underset{\mathrm{x}\to 1}{lim}(2\mathrm{x}+\mathrm{b})=2\times 1+\mathrm{b}=2+\mathrm{b}=2+7=9\end{array}$

$2\mathrm{a}+1=9\Rightarrow 2\mathrm{a}=9-1\to 2\mathrm{a}=8\Rightarrow \mathrm{a}=\frac{8}{2}=4$

$\mathrm{b}=7 , \mathrm{a}=4$