تمارين (1-3)

(1)- بين أي من المعادلات الآتية تمثل معادلة دائرة.

أ- ${\mathrm{x}}^2+3{\mathrm{y}}^2-2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=0$

لا تمثل معادلة دائرة لأن المعامل x لا يساوي المعامل y

ب- ${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+4\mathrm{x}-6\mathrm{y}=12$

تمثل معادلة دائرة

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+{\mathrm{y}}^2-6\mathrm{y}=12\\ & {\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+4+{\mathrm{y}}^2-6\mathrm{y}+9=12+4+9\\ & (\mathrm{x}+2{)}^2+(\mathrm{y}-3{)}^2=25\mathrm{r}=5 \text{units }\mathrm{C}(-2,3)\end{array}$

ج- ${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+2\mathrm{xy}=1$

لا تمثل معادلة دائرة لأن تحتوي الحد xy

د- ${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2=0$

لا تمثل معادلة دائرة لأن r=0 فهي معادلة نقطة الأصل.

هـ- $\mathrm{y}=-2\mathrm{x}$

لا تمثل معادلة دائرة لأنها معادلة من الدرجة الأولى.

(2)- جد معادلة الدائرة في كل حالة من الحالات الآتية:

أ- مركزها (2-,c(3 ونصف قطرها 5 وحدات.

$(\mathrm{x}-3{)}^2+(\mathrm{y}+2{)}^2=25$

ب- مركزها نقطة الأصل وتمر بالنقطة (4,3-)p

$\begin{array}{rl}& \mathrm{Pc}\sqrt{(-4-0{)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\\ & {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2=25\end{array}$

ج- مركزها (1,5-) وتمر بالنقطة (4,3)p

$\begin{array}{rl}& \mathrm{Pc}=\sqrt{(4-(-1){)}^2+(3-5{)}^2}\to \mathrm{Pc}=\sqrt{(4+1{)}^2+(-2{)}^2}\\ & \mathrm{Pc}=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}\\ & (\mathrm{x}+1{)}^2+(\mathrm{y}-5{)}^2=29\end{array}$

(3)- جد معادلة الدائرة التي نهايتي القطر فيها ${\mathrm{p}}_2(4,1) , {\mathrm{p}}_1(2,-3)$ بثلاثة طرق مختلفة.

الطريقة الأولى:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{h}=\frac{{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2}{2} , \mathrm{k}=\frac{{\mathrm{y}}_1+{\mathrm{y}}_2}{2}\mathrm{C}(\mathrm{h},\mathrm{k})\\ & \mathrm{h}=\frac{2+4}{2} , \mathrm{k}=\frac{-3+1}{2}\to \mathrm{h}=\frac{6}{2} , \mathrm{k}=\frac{-2}{2}\\ & \mathrm{C}(3,-1) , {\mathrm{P}}_2(4,1),{\mathrm{P}}_2\mathrm{C}=\sqrt{(4-3{)}^2+(1-(-1){)}^2}\\ & {\mathrm{P}}_2\mathrm{C}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\\ & (\mathrm{x}-3{)}^2+(\mathrm{y}+1{)}^2=5\to {\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+9+{\mathrm{y}}^2+2\mathrm{y}+1=0\to {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-6\mathrm{x}+2\mathrm{y}+5=0\end{array}$

الطريقة الثانية:

$\begin{array}{rl}& P_1{P}_2=\sqrt{(4-2{)}^2+(1-(-1){)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4\left(5\right)}\\ & \text{ diameter}=2\sqrt{5}\text{radius}=\frac{\text{diameter}}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}\\ & h=\frac{4+2}{2}=3 , k=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{3}=-1 , C(3,-1)\\ & (x-3{)}^2+(y+1{)}^2=5\\ & x^2-6x+9+y^2+2y+1=5\\ & x^2+y^2-6x+2y+10-5=0\to x^2+y^2-6x+2y+5=0\end{array}$

الطريقة الثالثة:

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-\mathrm{x}({\mathrm{x}}_1^{}+{\mathrm{x}}_2^{})-\mathrm{y}({\mathrm{y}}_1+{\mathrm{y}}_2)+{\mathrm{x}}_1{\mathrm{x}}_2+{\mathrm{y}}_1^{-2}{\mathrm{y}}_2=0\Rightarrow {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-\mathrm{x}\left(6\right)-\mathrm{y}(1-3)+8-3=0\\ & {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-6\mathrm{x}+2\mathrm{y}+5=0\end{array}$

(4)- جد إحداثيات المركز ونصف قطر الدوائر الآتية:

أ- $(\mathrm{x}+5{)}^2+(\mathrm{y}-4{)}^2=36$

$\mathrm{C}(-5,4) , \mathrm{r}=6$

ب- $(\mathrm{x}-2{)}^2+{\mathrm{y}}^2=9$

$\mathrm{C}(2,0) , \mathrm{r}=3$

ج- $2{\mathrm{x}}^2+2{\mathrm{y}}^2+3\mathrm{x}+4\mathrm{y}=0$

$c(-\frac{3}{2},-1 , r=\frac{5}{4}$

(5)- جد معادلة الدائرة التي تمس المستقيم 4=y ومركزها (3-,2-) c

$\begin{array}{rl}\mathrm{r}& =|\mathrm{k}-{\mathrm{y}}_1|=|{\mathrm{y}}_1-\mathrm{k}|\\ & =|-3-4|=|4-(-3\left)\right|\\ & =|-7|=\left|7\right|=7\\ & (\mathrm{x}+2{)}^2+(\mathrm{y}+3{)}^2=49\end{array}$

(6)- جد معادلة الدائرة التي تمس المحورين الإحداثيين وتمس المستقيم 6=y

قطر الدائرة:

$\mathrm{r}=\frac{\mathrm{D}}{2}$

$r=\frac{|6-0|}{2}=\frac{0-6\mid }{2}=3$

نقطة المنتصف

$\mathrm{k}=\frac{6+0}{2}=3$

$\begin{array}{rl}& h=\mp \mathrm{r}=\mp 3\\ & {\mathrm{C}}_1(3,3) , {\mathrm{C}}_2(-3,3) , \mathrm{r}=3\end{array}$

$$\begin{gathered} (\mathrm{x}-3{)}^2+(\mathrm{y}-3{)}^2=9 \\ (\mathrm{x}+3{)}^2+(\mathrm{y}-3{)}^2=9 \end{gathered}$$

(7)- جد معادلة الدائرة التي تمر بالنقطة (3,6-) وتمس المحورين الإحداثيين.

$\begin{array}{rl}\mathrm{C}& (-\mathrm{r},\mathrm{r})\\ & (\mathrm{x}+\mathrm{r}{)}^2+(\mathrm{y}-\mathrm{r}{)}^2={\mathrm{r}}^2\\ & (-3,6)\in \text{circle}\therefore (-3+\mathrm{r}{)}^2+(6-\mathrm{r}{)}^2={\mathrm{r}}^2\\ & (-3+\mathrm{r}{)}^2+(6-\mathrm{r}{)}^2={\mathrm{r}}^2\to 2{\mathrm{r}}^2-{\mathrm{r}}^2-18\mathrm{r}+45=0\\ & {\mathrm{r}}^2-18\mathrm{r}+45=0\end{array}$

$\begin{array}{rl}& (\mathrm{r}-3)(\mathrm{r}-15)=0\\ & \mathrm{r}-3=0\to \mathrm{r}=3\\ & \mathrm{r}-15=0\to \mathrm{r}=15\\ & \mathrm{C}(-15,15) , {\mathrm{C}}_2(-3,3)(\mathrm{r}=3)\end{array}$

$\begin{array}{rl}& (\mathrm{x}+15{)}^2+(\mathrm{y}-15{)}^2=225\\ & (\mathrm{x}+3{)}^2+(\mathrm{y}-3{)}^2=9\end{array}$

(8)- جد معادلة الدائرة التي نصف قطرها 5 وحدات وتمس المحورين الإحداثيين والواقعة:

أولاً: في الربع الثاني.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{C}(-5,5) , \mathrm{r}=5\\ & (\mathrm{x}+5{)}^2+(\mathrm{y}-5{)}^2=25\end{array}$

ثانياً: في الربع الرابع.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{C}(5,-5) , \mathrm{r}=5\\ & (\mathrm{x}-5{)}^2+(\mathrm{y}+5{)}^2=25\end{array}$

ثالثاً: في الربع الأول.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{C}(5,5) , \mathrm{r}=5\\ & (\mathrm{x}-5{)}^2+(\mathrm{y}-5{)}^2=25\end{array}$

(9)- اكتب المعادلة العامة للدائرة التي مركزها (3-,2) ونصف قطرها 4 وحدات.

$\begin{array}{rl}& (\mathrm{x}-2{)}^2+(\mathrm{y}+3{)}^2=16\\ & {\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+4+{\mathrm{y}}^2+6\mathrm{y}+9=16\\ & {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-4\mathrm{x}+6\mathrm{y}+13-16=0\\ & {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-4\mathrm{x}+6\mathrm{y}-3=0\end{array}$

(10)- جد معادلة الدائرة التي تمر بالنقطتين $p_2(5,1) ,\hspace{0.17em}{p}_1(3,-1)$ ويقع مركزها على محور السينات.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{C}\in \mathrm{X}\text{-axis}\to \mathrm{C}(\mathrm{h},0)\\ & {\mathrm{P}}_1\mathrm{C}=\mathrm{r}{\mathrm{P}}_2\mathrm{C}=\mathrm{r}\\ & {\mathrm{P}}_1\mathrm{C}={\mathrm{P}}_2\mathrm{C}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \sqrt{(\mathrm{h}-3{)}^2+(0-(-1){)}^2}=\sqrt{(\mathrm{h}-5{)}^2+(0-(-1){)}^2}\\ & {\mathrm{h}}^2-6\mathrm{h}+9+1={\mathrm{h}}^2-10\mathrm{h}+25+1\\ & -6\mathrm{h}+10\mathrm{h}=25-9\\ & 4\mathrm{h}=16\\ & \mathrm{h}=4\mathrm{C}(4,0),{\mathrm{P}}_2(5,1)\\ & {\mathrm{P}}_2\mathrm{C}=\mathrm{r}=\sqrt{(5-4{)}^2+(1-0{)}^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\\ & \mathrm{C}(4,0) ,\hspace{0.17em}\mathrm{r}=\sqrt{2}, (\mathrm{x}-4{)}^2+(\mathrm{y}-0{)}^2=2\\ & (\mathrm{x}-4{)}^2+{\mathrm{y}}^2=2\end{array}$

(11)- جد معادلة الدائرة التي تمر بالنقاط ${\mathrm{p}}_3(3,4) , {\mathrm{p}}_2(0,1) , {\mathrm{p}}_1(1,0)$

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+\mathrm{Ax}+\mathrm{By}+\mathrm{C}=0...\left(1\right)\\ & {\mathrm{P}}_4(1,0)\end{array}$

$\begin{array}{rl}& 1+0+\mathrm{A}+0+\mathrm{C}=0\\ & \mathrm{A}+\mathrm{C}+1=0\\ & {\mathrm{P}}_2(0,1)\end{array}$

$\begin{array}{rl}& 0+1+0+B+C=0\\ & \begin{array}{rl}& B+C+1=0\dots \dots \dots \left(3\right)\\ & A+C+1=0\dots \dots \left(2\right)\end{array}\end{array}$

$$\begin{gathered} \mathrm{A}-\mathrm{B}=0 \\ \mathrm{A}=\mathrm{B}....\left(4\right) \\ {\mathrm{P}}_3(3,4) \\ \begin{array}{rl}& 9+16+3\mathrm{A}+4\mathrm{B}+\mathrm{C}=0\\ & 25+3\mathrm{B}+4\mathrm{B}+\mathrm{C}=0\\ & 7\mathrm{B}+\mathrm{C}+25=0...\left(5\right)\\ & -\mathrm{B} , \mathrm{C}\pm 1=0...\left(3\right)\end{array} \end{gathered}$$

$\begin{array}{rl}6B+24& =0\to 6B=-24\\ B=\frac{-24}{6}& =-4\to B\\ A& =BA=-4\end{array}$

$$\begin{gathered} \mathrm{A}+\mathrm{C}+1=0 \\ \begin{array}{r}-4+\mathrm{C}+1=0\\ \mathrm{C}=4-1=3\end{array} \end{gathered}$$

${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-4\mathrm{x}-4\mathrm{y}+3=0$

(12)- أوجد معادلة المماس للدائرة $(\mathrm{x}-3{)}^2+(\mathrm{y}-2{)}^2=5$ عند النقطة (1,1) p

$\begin{array}{rl}& \mathrm{y}-{\mathrm{y}}_1={\mathrm{m}}_2(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_1)\\ & \mathrm{y}-1=-2(\mathrm{x}-1)\\ & \mathrm{y}-1=-2\mathrm{x}+2\\ & 2\mathrm{x}+\mathrm{y}-3=0\end{array}$

(13)- أوجد معادلة مماس الدائرة 5=x²+y²، العمودي على المستقيم 2x-y=0

$\begin{array}{rl}& \mathrm{y}-{\mathrm{y}}_1={\mathrm{m}}_2(\mathrm{x}-{\mathrm{X}}_1),2\mathrm{k}\\ & \mathrm{y}-2=-\frac{1}{2}(\mathrm{x}-1)\\ & [\mathrm{y}-2=-\frac{1}{2}\mathrm{x}+\frac{1}{2}]\times 2\\ & 2\mathrm{y}-4=-\mathrm{x}+1\\ & \mathrm{x}+2\mathrm{y}-5=0\end{array}$

ومعادلة المماس الثاني:

$$\begin{gathered} \mathrm{y}+2=-\frac{1}{2}(\mathrm{x}+1) \\ [\mathrm{y}+2=-\frac{1}{2}\mathrm{X}-\frac{1}{2}]\times 2\to 2\mathrm{y}+4=-\mathrm{x}-1\to \mathrm{x}+2\mathrm{y}+5=0 \end{gathered}$$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{d}=\frac{\left|\right(1\times 0)+(2\times 0)+5|}{\sqrt{(1{)}^2+(2{)}^2}}\\ & \mathrm{d}=\frac{\left|5\right|}{\sqrt{5}}\to \mathrm{d}=\frac{5}{\sqrt{5}}\to \mathrm{d}=\frac{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}{\sqrt{5}}\to \mathrm{d}=\sqrt{5}\\ & \mathrm{d}=\sqrt{5} , \mathrm{r}=\sqrt{5}\end{array}$