مسائل الفصل الثالث

س1 مصدر للفولطية المتناوبة، ربطت بين طرفيه مقاومة صرف مقدارها 250Ω، فرق الجهد بين طرفي المصدر يعطى بالعلاقة التالية (V _R = 500 sin (200 π t

1. أكتب العلاقة التي يعطى بها التيار في هذه الدائرة.

$\begin{array}{r}\because V_R=500\sin \left(200\pi t\right)\\ \therefore I=I_m\sin \left(200\pi t\right)\\ \because I_m=\frac{V_m}{R}\\ I=\frac{500}{250}\sin \left(200\pi t\right)⟹I=2\sin \left(200\pi t\right)\end{array}$

2. احسب المقدار المؤثر للفولطية والمقدار المؤثر للتيار.

$\begin{array}{r}{V}_{eff}=0.707V_m=0.707\times 500=353.5\mathrm{V}\\ I_{eff}=0.707I_m=0.707\times 2=1.414\mathrm{A}\end{array}$

3. تردد المصدر والتردد الزاوي للمصدر.

$\begin{array}{r}{V}_R=V_m\sin \left(\omega t\right)\\ V_R=500\sin \left(200\pi t\right)\\ \omega =200\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\\ \omega =2\pi f\Rightarrow 200\pi =2\pi f\Rightarrow f=100\mathrm{Hz}\end{array}$

س2 مذبذب كهربائي مقدار فرق الجهد بين طرفيه ثابت 1.5V إذا تغير تردده من 1Hz إلى 1MHz.

أحسب مقدار كل من ممانعة الدائرة وتيار الدائرة عندما يربط بين طرفي المذبذب:

أولاً: مقاومة صرف فقط R = 30Ω

$\begin{array}{r}Z=R=30\mathrm{\Omega }\\ I=\frac{V}{Z}=\frac{1.5}{30}=0.05\mathrm{A}\end{array}$

ثانياً: متسعة ذات سعة صرف فقط سعتها C=1/πμF

$\begin{array}{r}Z=X_C=\frac{1}{2\pi fC}=\frac{1}{2\pi \times 1\times \frac{1}{\pi }\times {10}^{-6}}=0.5\times {10}^6\mathrm{\Omega }\\ I=\frac{V}{Z}=\frac{1.5}{0.5\times {10}^6}=3\times {10}^{-6}\mathrm{A}=3\mu A\end{array}$

عند التردد 1MHz

$\begin{array}{r}Z=X_C=\frac{1}{2\pi fC}=\frac{1}{2\pi \times 1\times {10}^6\times \frac{1}{\pi }\times {10}^{-6}}=0.5\mathrm{\Omega }\\ I=\frac{V}{Z}=\frac{1.5}{0.5}=3\mathrm{A}\end{array}$

ثالثاً: محث صرف فقط معامل حثه الذاتي L=50/πmh

$\begin{array}{r}Z=X_L=2\pi fL=2\pi \times 1\times \frac{50}{\pi }\times {10}^{-3}=0.1\mathrm{\Omega }\\ \\ I=\frac{V}{Z}=\frac{1.5}{0.1}=15\mathrm{A}\end{array}$

$\begin{array}{r}Z=X_L=2\pi fL=2\pi \times 1\times {10}^6\times \frac{50}{\pi }\times {10}^{-3}=0.1\times {10}^6\mathrm{\Omega }\\ I=\frac{V}{Z}=\frac{1.5}{0.1\times {10}^6}=15\times {10}^{-6}\mathrm{A}=15\mu \mathrm{A}\end{array}$

س3 ربط ملف بين قطبي بطارية فرق الجهد بينهما 20V كان تيار الدائرة 5A، فإذا فصل الملف عن البطارية وربط بين قطبي مصدر للفولطية المتناوبة المقدار المؤثر لفرق الجهد بين قطبيه 20V بتردد 700/22Hz كان تيار هذه الدائرة 4A أحسب مقدار:

1. معامل الحث الذاتي للملف.

$\begin{array}{r}R=\frac{V}{I_{dc}}=\frac{20}{5}=4\mathrm{\Omega }\\ \\ Z=\frac{V_t}{I_{ac}}=\frac{20}{4}=5\mathrm{\Omega }\\ \\ Z^2=R^2+X_L^2\\ \\ 5^2=4^2+X_L^2\\ \\ X_L^2=9\Rightarrow X_L=3\mathrm{\Omega }\\ \\ \therefore X_L=2\pi fL\\ \\ 3=2\times \frac{22}{7}\times \frac{700}{22}\times L\\ \\ L=\frac{3}{200}=15\times {10}^{-3}=15\mathrm{mH}\end{array}$

2. زاوية فرق الطور بين متجه الطور للفولطية الكلية ومتجه الطور للتيار مع رسم مخطط طوري للممانعة.

$\tan \mathrm{\Phi }=\frac{X_L}{R}=\frac{3}{4}\Rightarrow \mathrm{\Phi }={37}^{\circ }$

3. عامل القدرة.

$pf=\cos \mathrm{\Phi }=\frac{\kappa }{7}=\frac{4}{5}=0.8$

4. كل من القدرة الحقيقية والقدرة الظاهرية.

$\begin{array}{r}{P}_{\text{real }}={I_{ac}}^{2}R=4^2\times 4=16\times 4=64\mathrm{Watt}\\ P_{\text{app }}={I_{ac}}^{2}Z=4^2\times 5=16\times 5=80\mathrm{VA}\end{array}$

س4 مقاومة صرف مقدارها 150Ω ربطت على التوالي مع ملف مهمل المقاومة معامل حثه الذاتي 0.2H ومتسعة ذات سعة صرف، ربطت المجموعة بين قطبي مصدر للفولطية المتناوبة تردده $\frac{500}{\pi }\mathrm{Hz}$ وفرق الجهد بين طرفيه 300V، احسب مقدار:

1. سعة المتسعة التي تجعل الممانعة الكلية في الدائرة 150Ω.

$\begin{array}{r}{f}_r=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\\ \frac{500}{\pi }=\frac{1}{2\pi \sqrt{0.2\times C}}\\ 1000=\frac{1}{\sqrt{0.2\times C}}\\ =\frac{1}{C}{10}^6=\frac{1}{0.2\times C}\\ \stackrel{C}{0.2\times {10}^6}=5\times {10}^{-6}\mathrm{F}=5\mu \mathrm{F}\end{array}$

2. عامل القدرة في الدائرة، وزاوية فرق الطور بين الفولطية الكلية والتيار.

$pf=\cos \mathrm{\Phi }=\frac{K}{Z}=\frac{150}{150}=1⟹\mathrm{\Phi }=0$

3. ارسم المخطط الطوري للممانعة.

4. تيار الدائرة.

5. كل من القدرة الحقيقية (المستهلكة) والقدرة الظاهرية (المجهزة للدائرة).

$\begin{array}{r}{P}_{\text{real }}=I^{2}R\\ =(2{)}^2\times 150=4\times 150=600\mathrm{Watt}\\ P_{\text{app }}=I^{2}Z\\ =(2{)}^2\times 150=4\times 150=600\mathrm{VA}\end{array}$

س5 دائرة تيار متناوب متوازية الربط تحتوي مقاومة صرف ومتسعة ذات سعة صرف مقدارها (20μF)، ومحث صرف ومصدر للفولطية المتناوبة فرق الجهد بين طرفيه 100V بتردد $\frac{100}{\pi }\mathrm{Hz}$ وكانت القدرة الحقيقية في الدائرة (80W) وعامل القدرة فيها 0.8 وللدائرة خصائص حثية، احسب مقدار:

1. التيار في فرع المقاومة والتيار في فرع المتسعة.

$\begin{array}{r}{P}_{\text{real }}=I_{R}V\\ \\ 80=I_R\times 100\Rightarrow I_R=0.8\mathrm{A}\\ \\ X_C=\frac{1}{2\pi fC}=\frac{1}{2\pi \times \frac{100}{\pi }\times 20\times {10}^{-6}}=250\mathrm{\Omega }\\ \\ I_C=\frac{V}{X_C}=\frac{100}{250}=0.4\mathrm{A}\end{array}$

2. التيار الكلي.

$pf=\cos \mathrm{\Phi }=\frac{I_R}{I_t}\Rightarrow 0.8=\frac{0.8}{I_t}\Rightarrow I_t=1\mathrm{A}$

3. زاوية فرق الطور بين التيار الكلي والفولطية مع رسم مخطط المتجهات الطورية للتيارات.

$\begin{array}{r}(1{)}^2=(0.8{)}^2+{\left(I_L-I_C\right)}^2\Rightarrow 1-0.64={\left(I_L-0.4\right)}^2\\ \\ 0.36={\left(I_L-0.4\right)}^2\Rightarrow 0.6=I_L-0.4\Rightarrow I_L=1\mathrm{A}\\ \\ \tan \mathrm{\Phi }=\frac{I_C-I_L}{I_R}=\frac{0.4-1}{0.8}=\frac{-0.6}{0.8}=\frac{-3}{4}\\ \\ \mathrm{\Phi }=-{37}^{\circ }\end{array}$

4. معامل الحث الذاتي للمحث.

$\begin{array}{r}{X}_L=\frac{V}{I_L}=\frac{100}{1}=100\mathrm{\Omega }\\ \\ X_L=2\pi fL\\ \\ 100=2\pi \times \frac{100}{\pi }\times L\\ \\ L=\frac{1}{2}=0.5\mathrm{H}\end{array}$

س6 مصدر للفولطية المتناوبة تردده الزاوي 400rad / s وفرق الجهد بين قطبيه 500V ربط بين قطبيه على التوالي (متسعة سعتها 10μF) وملف معامل حثه الذاتي 0.125H ومقاومته 150 Ω ما مقدار:

1. الممانعة الكلية وتيار الدائرة.

$\begin{array}{r}{X}_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{400\times 10\times {10}^{-6}}=250\mathrm{\Omega }\\ \\ X_L=\omega L=400\times 0.125=50\mathrm{\Omega }\\ \\ Z=\sqrt{R^2+{\left(X_L-X_C\right)}^2}\\ \\ Z=\sqrt{{150}^2+(50-250{)}^2}\\ \\ =\sqrt{22500+40000}\\ \\ Z=\sqrt{62500}=250\mathrm{\Omega }\\ \\ I=\frac{V}{Z}=\frac{500}{250}=2A\end{array}$

2. فرق الجهد عبر كل من المقاومة والمحث والمتسعة.

$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}& V_R=IR=2\times 150=300\mathrm{V}\\ & \\ & V_L=I{X}_L=2\times 50=100\mathrm{V}\\ & \\ & V_C=I{X}_C=2\times 250=500\mathrm{V}\\ & \end{array}\\ \text{ (3) }\begin{array}{rl}\tan \mathrm{\Phi }=\frac{X}{R}& =\frac{X_L-X_C}{R}\\ & \\ & =\frac{50-250}{150}=\frac{-200}{150}=\frac{-4}{3}\\ & \end{array}\\ \mathrm{\Phi }=-{53}^{\circ }\end{array}$

3. زاوية فرق الطور بين متجه الطور للفولطية الكلية ومتجه الطور للتيار، ما هي خصائص هذه الدائرة؟

$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}& \tan \mathrm{\Phi }=\frac{X}{R}=\frac{X_L-X_C}{R}\\ & \\ & =\frac{50-250}{150}=\frac{-200}{150}=\frac{-4}{3}\\ & \\ & \mathrm{\Phi }=-{53}^{\circ }\end{array}\end{array}$

4. عامل القدرة.

$pf=\cos \mathrm{\Phi }=\frac{R}{Z}=\frac{150}{250}=0.6$

س6 دائرة تيار متناوب متوالية الربط الحمل فيها ملف مقاومته 500Ω ومتسعة متغيرة السعة، عندما كان مقدار سعتها 50nF ومصدر للفولطية المتناوبة مقدارها 400V بتردد زاوي 104rad/s، كانت القدرة الحقيقية (المستهلكة في هذه الدائرة تساوي القدرة الظاهرية (المجهزة)، احسب مقدار:

1. معامل الحث الذاتي للملف وتيار الدائرة.

$\begin{array}{r}{\omega }_r=\frac{1}{\sqrt{LC}}\Rightarrow {10}^4=\frac{1}{\sqrt{L\times 50\times {10}^{-9}}}\stackrel{1}{⟹}{10}^8=\frac{1}{L\times 50\times {10}^{-9}}\\ \\ L=\frac{1}{5}=0.2\mathrm{H}\end{array}$

$I_t=\frac{V}{Z}=\frac{400}{500}=0.8A(Z=R=500\mathrm{\Omega })$

2 كل من رادة الحث ورادة السعة.

$$\begin{gathered} X_L=\omega L={10}^4\times 0.2=2000\mathrm{\Omega } \\ {X}_C=X_L=2000\mathrm{\Omega } \end{gathered}$$

$pf=\cos 0=1$

3 زاوية فرق الطور بين متجه الطور للفولطية الكلية ومتجه الطور للتيار وما مقدار عامل القدرة.

$\tan \mathrm{\Phi }=\frac{X}{I_R}=\frac{X_L-X_C}{R}=0⟹\mathrm{\Phi }=0^{\circ }$

$pf=\cos 0=1$

4 عامل النوعية للدائرة.

$\begin{array}{r}Qf=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{1}{500}\sqrt{\frac{0.2}{50\times {10}^{-9}}}\\ \\ =\frac{1}{500}\sqrt{\frac{1}{25\times {10}^{-8}}}=\frac{1}{500}\times \frac{1}{5\times {10}^{-4}}=\frac{1}{0.25}=4\end{array}$

5. سعة المتسعة التي تجعل متجه الطور للفولطية الكلية يتأخر عن متجه الطور للتيار بزاوية فرق طور π/4.

$\begin{array}{c}\tan \frac{-\pi }{4}=\frac{X_L-X_C}{R}\Rightarrow -1=\frac{2000-X_C}{500}\Rightarrow -500=2000-X_C\Rightarrow X_C=2500\mathrm{\Omega }\\ \\ X_C=\frac{1}{\omega C}\Rightarrow 2500=\frac{1}{{10}^4\times C}\Rightarrow C=\frac{1}{25\times {10}^6}=0.04\times {10}^{-6}=0.04\mu F\end{array}$