الدرس 1-7 الطاقة المختزنة في المجال الكهربائي للمتسعة

لشحن المتسعة يتطلب إنجاز شغل لنقل الشحنات على صفيحتبها فيتولد فرق جهد $\left(\mathrm{\Delta }V\right)$ بين صفيحتيها وهذا الشغل يختزن بشكل طاقة مختزنة $\left(P{E}_{elec}\right)$ في المجال الكهربائي المتولد بين الصفيحتين، وإذا عبرنا عن العلاقة بين الشحنة المختزنة على صفيحتيها وفرق الجهد $\left(\mathrm{\Delta }V\right)$ بمخطط بياني كما في الشكل المجاور، نستنتج منه أن مساحة المثلث المظلل يمثل الطاقة المختزنة في المجال الكهربائي، ولحساب هذه الطاقة نحسب مساحة المثلث في الرسم البياني:

(مساحة المثلث = 1/2 مساحة القاعدة × الارتفاع) أي أن:

$PE=\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }V\times Q$

معلوم لدينا (Q = CAV) وبالتعويض بالعلاقة أعلاه نستنتج أن:

$PE=\frac{1}{2}C\cdot (\mathrm{\Delta }V{)}^2$

أو بالتعويض عن$\left(\mathrm{\Delta }V=\frac{Q}{C}\right)$ في العلاقة الأولى لتحصل على:

$PE=\frac{1}{2}\times \frac{Q^2}{C}$

ما مقدار الطاقة المختزنة في المجال الكهربائي لمتسعة سعتها $\mu F$2 إذا شحنت لفرق جهد كهربائي 5000 وما مقدار القدرة التي تحصل عليها عند تفريغها بزمن $\mu s$10؟

نحسب الطاقة المختزنة في المجال الكهربائي:

$PE=\frac{1}{2}C\cdot (\mathrm{\Delta }V{)}^2=\frac{1}{2}\times \left(2\times {10}^{-6}\right)\times {\left(5\times {10}^3\right)}^2=25J$

نحسب القدرة الكهربائية:

$P=\frac{PE}{t}=\frac{25}{10\times {10}^{-6}}=2.5\times {10}^6\mathrm{Watt}$

متسعاتان من ذوات الصفيحتين المتوازيتين $\left(C_1=6\mu F,C_2=3\mu F\right)$ مربوطتان على التوالي، ربطت المجموعة بين قطبي بطارية فرق الجهد بين قطبيها 24v، وكان الهواء عازل بين الصفيحتين لكل منهما، ثم أدخل بين صفيحتي كل منهما مادة عازلة ثابت عزلها 2 يملئ الدير بينهما (ومازالت المجموعة متصلة بالبطارية)، فما مقدار الجهد بين صفيحتي كل متسعة والطاقة المختزنة في المجال الكهربائي بين صفيحتي كل متسعة في الحالتين 1، قبل إدخال العازل، 2. بعد إدخال العازل.

1. قبل إدخال العازل.

نحسب السعة المكافئة أولاً:

$\begin{array}{r}\frac{1}{C_{eq}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\Rightarrow C_{eq}=2\mu F\\ \\ Q=C_{eq}\times \mathrm{\Delta }V=2\times 24=48\mu \mathrm{C}=Q_1=Q_2\\ \\ \mathrm{\Delta }{V}_1=\frac{Q}{C_1}=\frac{48}{6}=8\mathrm{V}\\ \\ \mathrm{\Delta }{V}_2=\frac{Q}{C_2}=\frac{48}{3}=16\mathrm{V}\end{array}$

نحسب الطاقة المختزنة في المجال الكهربائي:

$\begin{array}{r}P{E}_1=\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }{V}_1\times Q=\frac{1}{2}\times 8\times 48\times {10}^{-6}=192\times {10}^{-6}J\\ \\ P{E}_2=\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }{V}_2\times Q=\frac{1}{2}\times 16\times 48\times {10}^{-6}=384\times {10}^{-6}J\end{array}$

2. بعد إدخال العازل.

$\begin{array}{r}{C}_{1k}=k{C}_1=2\times 6=12\mu F\\ \\ C_{2k}=k{C}_2=2\times 3=6\mu F\\ \\ \frac{1}{C_{eqk}}=\frac{1}{C_{1k}}+\frac{1}{C_{2k}}=\frac{1}{12}+\frac{1}{6}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\Rightarrow C_{eq}=4\mu F\\ \\ Q=C_{eq}\times \mathrm{\Delta }V=4\times 24=96\mu c=Q_1=Q_2\\ \\ \mathrm{\Delta }{V}_{1k}=\frac{Q}{C_{1k}}=\frac{96}{12}=8\mathrm{V}\\ \\ \mathrm{\Delta }{V}_{2k}=\frac{Q}{C_{2k}}=\frac{96}{6}=16\mathrm{V}\\ \\ P{E}_{k1}=\frac{1}{2}\times C_{k1}\times {\left(\mathrm{\Delta }{V}_1\right)}^2=\frac{1}{2}\times 12\times {10}^{-6}\times (8{)}^2=\frac{1}{2}\times 12\times {10}^{-6}\times 64\\ \\ \therefore P{E}_{k1}=384\times {10}^{-6}\mathrm{J}\\ \\ P{E}_{k2}=\frac{1}{2}\times C_{k2}\times {\left(\mathrm{\Delta }{V}_2\right)}^2=\frac{1}{2}\times 6\times {10}^{-6}\times (16{)}^2=\frac{1}{2}\times 6\times {10}^{-6}\times 256\\ \\ \therefore P{E}_{k2}=768\times {10}^{-6}\mathrm{J}\end{array}$

متسعة سعتها $\mu F$2 والبعد بين لوحيها 0.1mm شحنت بمصدر فرق جهده 30v.

1. احسب شحنة المتسعة والمجال الكهربائي بين صفيحتيها.

$Q=C\cdot \mathrm{\Delta }V=2\times 30=60\mu cE=\frac{\mathrm{\Delta }V}{d}=\frac{30}{3\times {10}^{-3}}=10\times {10}^{-3}\mathrm{V}$

2. إذا فصلت المتسعة عن المصدر وأدخل عازل بين صفيحتيها أصبحت الطاقة المختزنة في المجال الكهربائي للمتسعة 3x10^-4J احسب فرق الجهد للمتسعة بعد وضع العازل وثابت العزل للمادة العازلة؟

$\begin{array}{r}PE=\frac{1}{2}Q\times \mathrm{\Delta }V\\ \\ \begin{array}{rl}& 3\times {10}^{-4}=\frac{1}{2}\times 60\times {10}^{-6}\times \mathrm{\Delta }{V}_k\\ & \\ & \mathrm{\Delta }{V}_k=\frac{3\times {10}^{-4}}{30\times {10}^{-6}}=1\times {10}^{-4+5}=10\mathrm{V}\\ & \\ & \mathrm{K}=\frac{\mathrm{\Delta }V}{\mathrm{\Delta }{V}_k}=\frac{30}{10}=3\end{array}\end{array}$

أربع متسعات $\mu F$c1=4$\mu F$, c2=12$\mu F$, c3=8$\mu F$, c4=6 مربوطة على التوازي وكانت الطاقة المختزنة في المتسعة الثالثة 256x10^-6J، احسب:

1. السعة المكافئة للمجموعة.

$C_{eq}=C_1+C_2+C_3+C_4=4+12+8+6=30\mu F$

2. فرق جهد كل متسعة وفرق الجهد الكلي.

$\begin{array}{r}P{E}_3=\frac{1}{2}{C}_3\times {\left(\mathrm{\Delta }{V}_3\right)}^2\\ \\ 256\times {10}^{-6}=\frac{1}{2}\times 8\times {10}^{-6}\times {\left(\mathrm{\Delta }{V}_3\right)}^2\\ \\ \begin{array}{r}{\left(\mathrm{\Delta }{V}_3\right)}^2=\frac{256\times {10}^{-6}\times 2}{8\times {10}^{-6}}=32\times 2=64\\ \\ \mathrm{\Delta }{V}_1=8V=\mathrm{\Delta }{V}_2=\mathrm{\Delta }{V}_3=\mathrm{\Delta }{V}_4=\mathrm{\Delta }{V}_T\end{array}\end{array}$

3. مقدار الشحنة المختزنة على أي من صفيحتي كل متسعة والشحنة الكلية.

$\begin{array}{r}{Q}_1=C_1\mathrm{\Delta }{V}_1=4\times 8=32\mu c\\ \\ Q_2=C_2\mathrm{\Delta }{V}_2=12\times 8=96\mu c\\ \\ Q_3=C_3\mathrm{\Delta }{V}_3=8\times 8=64\mu c\\ \\ Q_4=C_4\mathrm{\Delta }{V}_4=6\times 8=48\mu c\\ \\ Q_T=C_{eq}\mathrm{\Delta }{V}_T=30\times 8=240\mu c\end{array}$

متسعتان $\mu F$c₁=12$\mu F$, c₂=8 مربوطة على التوازي فاذا شحنت مجموعتهما بشحنة كلية مقدارها $uC$400 بواسطة مصدر للفولطية المستمرة، ثم فصلت عنه، احسب لكل متسعة:

1. الشحنة المختزنة على أي من صفيحتيها والطاقة الكهربائية المختزنة في المجال الكهربائي بين صفيحتيها.

$\begin{array}{r}{C}_{eq}=C_1+C_2\\ \\ C_{eq}=12+8=20\mu \mathrm{F}\end{array}$

2. أدخل لوح من مادة عازلة كهربائياً ثابت عزلها K بين صفيحتي المتسعة الأولى فانخفض فوق الجهد المجموعه إلى 5v، فما مقدار ثابت العزل الكهربائي k.

$\begin{array}{r}\mathrm{\Delta }{V}_T=\frac{Q_T}{C_{eq}}=\frac{400}{20}=20\mathrm{V}=\mathrm{\Delta }{V}_1=\mathrm{\Delta }{V}_2\\ \\ Q_1=C_1\mathrm{\Delta }{V}_1=12\times 20=240\mu \mathrm{c}\\ \\ Q_2=C_2\mathrm{\Delta }{V}_2=8\times 20=160\mu \mathrm{c}\\ \\ P{E}_1=\frac{1}{2}{Q}_1\times \mathrm{\Delta }{V}_1\\ \\ P{E}_1=\frac{1}{2}\times 240\times {10}^{-6}\times 20=2400\times {10}^{-6}\mathrm{J}\\ \\ P{E}_2=\frac{1}{2}{Q}_2\times \mathrm{\Delta }{V}_2\\ \\ P{E}_2=\frac{1}{2}\times 160\times {10}^{-6}\times 20=1600\times {10}^{-6}\mathrm{J}\end{array}$

$\begin{array}{r}{C}_{eqk}=\frac{Q_t}{\mathrm{\Delta }{V}_{tk}}=\frac{400}{5}=80\mu \mathrm{F}\\ \\ C_{eqk}=C_{1k}+C_2\\ \\ 80=C_{1k}+8\\ \\ C_{1k}=80-8=72\mu F\\ \\ K=\frac{C_{1k}}{C_1}=\frac{72}{12}=6\end{array}$