تمارين (3-6)

(1)- إذا كانت المساحة الكلية المتوازي المستطيلات = $724{\mathrm{cm}}^2$ ومساحة قاعدته = $132{\mathrm{cm}}^2$ ومساحة أحد أوجهه الجانبية = $110{\mathrm{cm}}^2$ جد أبعاده وحجمه.

المعطيات:

• متوازي المستطيلات.
• مساحته الكلية = $724{\mathrm{cm}}^2$، ومساحة أحد أوجهه الأربعة = $110{\mathrm{cm}}^2$ ومساحة القاعدة = $132{\mathrm{cm}}^2$

المطلوب إثباته: إيجاد أبعاده وحجمه

البرهان:

• $x$ = طول قاعدة متوازي المستطيلات.
• $y$ = عرض قاعدته.
• $h$ = ارتفاعه.

المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات = المساحة الجانبية + (2) (مساحة القاعدة).

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& L.A=2(x+y)\left(h\right)+2xy\\ & [724=2xh+2yh+2xy]\stackrel{÷2}{\Rightarrow }362=xh+yh+xy\\ & \because xy=132 , \because yh=110\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 362=xh+110+132\Rightarrow 362=xh+242\Rightarrow xh=362-242=120\\ & xh=120\Rightarrow x=\frac{120}{h}\dots \dots .\left(1\right)\\ & yh=110\Rightarrow y=\frac{110}{h}\dots \dots .\left(2\right)\\ & xy=132\Rightarrow \frac{120}{h}\cdot \frac{110}{h}=132\Rightarrow \frac{13200}{h^2}=132\Rightarrow 132h^2=13200\\ & h^2=\frac{13200}{132}=100\Rightarrow h^2=100\Rightarrow h=10\mathrm{cm}\\ & x=\frac{120}{h}=\frac{120}{10}=12\mathrm{cm}\\ & y=\frac{110}{h}=\frac{110}{10}=11\mathrm{cm}\end{array} \end{gathered}$$

حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع = $x y h$

$v=\left(12\right)\cdot \left(11\right)\cdot \left(10\right)=1320{\mathrm{cm}}^3$

(2)- أسطوانة دائرية قائمة مساحتها الجانبية $400\pi {\mathrm{cm}}^2$ وحجمها $2000\pi {\mathrm{cm}}^2$ أوجد ارتفاعها ونصف قطر قاعدتها.

• المعطيات: المساحة الجانبية = $400\pi {\mathrm{cm}}^2$، الحجم = $2000\pi {\mathrm{cm}}^2$
• المطلوب إثباته: إيجاد نصف قطر $r$، الارتفاع $h$
• البرهان: حجم الاسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع.

$\begin{array}{rl}& v=\pi r^{2}h\\ & 2000\pi =r^2\pi h\stackrel{(÷\pi )}{⟹}{r}^{2}h=2000\Rightarrow h=\frac{2000}{r^2}\dots \dots \left(1\right)\end{array}$

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع.

$\begin{array}{rl}& L.A=2r\pi h\\ & 400\pi =2r\pi h\stackrel{(÷2\pi )}{⟹}400\pi =2\pi r\frac{2000}{r^2}\Rightarrow 400=\frac{4000}{r}\\ & 400r=4000\Rightarrow r=\frac{4000}{400}=10\mathrm{cm}\\ & h=\frac{2000}{r^2}\Rightarrow h=\frac{2000}{100}=20\mathrm{cm}\end{array}$

(3)- برهن على أن حجم ذو الوجوه الأربعة المنتظم والذي طول حرفه = $l$ هو $\frac{\sqrt{2}{l}^3}{12}$ وحدة مكعبة.

المعطيات: $A-DBC$ ذو الوجوه الأربعة المنتظم طول كل حرف من أحرفه = $l$

المطلوب إثباته:

$v=\frac{\sqrt{2}{l}^3}{12}$

البرهان: نرسم $AG\perp BC , DF\perp BC$ وتلتقي في $E$.

• (المستوي الواحد يمكن رسم مستقيم وحيد عمودي على مستقيم معلوم من نقطة معلومة).
• $AG$ ينصف زاوية $A$.
• $DB$ ينصف زاوية $AC$ (العمود النازل من رأس مثلث متساوي الساقين على القاعدة ينصفها وينصف زاوية الرأس).
• لتكن $E$ منتصفات الأعمدة (الأعمدة المنصفة لأضلاع مثلث متساوي الساقين تلتقي في نقطة واحدة).
• $EF\perp \left(ABC\right)$ (يمكن رسم مستقيم وحيد على مستو معلوم من نقطة معلومة).
• $\mathrm{EF}\perp \mathrm{EA}$ (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي).

في $\mathrm{△}AED$ القائم الزاوية في $D$:

$\cos 30=\frac{\frac{1}{2}l}{AE}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{1}{2}l}{AE}\Rightarrow AE=\frac{l}{\sqrt{3}}$

في $\mathrm{△}\mathrm{AFE}$ القائم الزاوية في $\mathrm{E}$ وحسب مبرهنة فيثاغورس:

$l^2=h^2+{\left(\frac{l}{\sqrt{3}}\right)}^2\Rightarrow l^2=h^2+\frac{l^2}{3}\Rightarrow h^2=l^2-\frac{l^2}{3}\Rightarrow h^2=\frac{2}{3}{l}^2\Rightarrow h=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}l$

مساحة القاعدة المثلثة متساوية الأضلاع = $\frac{\sqrt{3}}{4}{l}^2$

حجم الهرم = $\frac{1}{3}$ مساحة القاعدة × الارتفاع.

$\therefore v=\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{4}{l}^2\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}l\right)=\frac{\sqrt{2}}{12}{l}^3 \left(\mathrm{مكعبة} \mathrm{وحدة}\right)$

ملاحظة: مساحة قاعدة الهرم = مساحة مثلث متساوي الأضلاع = $\frac{\sqrt{3}}{4}{l}^2$ حيث $\left(l\right)$ طول الحرف للهرم.

(4)- مخروط دائري قائم مر برأسه مستوي فقطع قاعدته بقطعة مستقيم تبعد عن مركز القاعدة بمقدار $8cm$ فإذا كانت مساحة القطع = $102{\mathrm{cm}}^2$ وارتفاعه $15\mathrm{cm}$.

احسب حجمه ومساحته الجانبية ومساحته الكلية.

المعطيات:

• مخروط دائري قائم مركزه $E$ قطعه المستوى $ABC$ بحيث $\mathrm{ED}\perp \mathrm{BC}E\mathrm{ED}=8\mathrm{cm}$
• مساحة المقطع $102{\mathrm{cm}}^2=\mathrm{ABC}$، ارتفاع المخروط = $15cm$

المطلوب إثباته: إيجاد حجم المخروط ومساحته الجانبية والسطحية.

البرهان: نرسم $\perp \mathrm{AE}$الدائرة BC محتوى في الدائرة، $ED\perp BC$ معطى.

• $\mathrm{AD}\perp \mathrm{BC}$ (مبرهنة الأعمدة الثلاثة).
• $AE\perp ED$ (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره).
• في المثلث $ADE$ القائم الزاوية في $D$ (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي).
• في المثلث $ADE$ القائم الزاوية في $E$ (وحسب مبرهنة فيثاغورس).
• $\begin{array}{rl}& (AD{)}^2=(AE{)}^2+(ED{)}^2\\ & (AD{)}^2=(15{)}^2+(8{)}^2=225+64\Rightarrow (AD{)}^2=289\Rightarrow AD=17\mathrm{cm}\end{array}$
• مساحة (المقطع) المثلث $ABC$ = $\frac{1}{2}$ × القاعدة × الارتفاع.
• $102=\frac{1}{2}\times BC\times AD\Rightarrow 102=\frac{1}{2}\times BC\times 17\Rightarrow BC=12\mathrm{cm}$
• في المثلث $EDB$ القائم الزاوية في $D$ (وحسب مبرهنة فيثاغورس).
• $\begin{array}{rl}& (EB{)}^2=(ED{)}^2+(BD{)}^2\\ & (EB{)}^2=64+36\Rightarrow (EB{)}^2=100\Rightarrow EB=10\mathrm{cm}\end{array}$
• اي أن نصف قطر قاعدة المخروط = $10cm$
• في المثلث $AEB$ القائم الزاوية في $E$ (وحسب مبرهنة فيثاغورس).
• $\begin{array}{rl}& (AB{)}^2=(AE{)}^2+(EB{)}^2\\ & (AB{)}^2=225+100\Rightarrow (AB{)}^2=325\Rightarrow AB=5\sqrt{13}\mathrm{cm}\end{array}$
• حيث يمثل الضلع $AB$ طول الحرف الجانبي (المولد) للمخروط.
• المساحة الجانبية للمخروط = $\frac{1}{2}$ محيط القاعدة × طول المولد.
• $L\cdot A=\frac{1}{2}\left(2\right)\left(10\right)\pi \left(5\sqrt{13}\right)=50\sqrt{13}\pi {\mathrm{cm}}^2$
• المساحة الكلية للمخروط = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة.
• $T\cdot A=50\sqrt{13}\pi +(10{)}^2\pi =50\pi (\sqrt{13}+2){\mathrm{cm}}^2$
• حجم المخروط = $\frac{1}{3}$ مساحة القاعدة × الارتفاع.
• $v=\frac{1}{3}\left(10{)}^2\pi \right(15)=500\pi {\mathrm{cm}}^3$

(5)- إذا علمت أن يمكن رسم كرة خارج ذي الوجود الأربعة المنتظم برهن أن نصف قطر الكرة = $\frac{3}{4}$ الارتفاع.

المعطيات:

• $A-BCD$ هرم ذو الوجود الأربعة مرسوم داخل دائرة مركزها $E$ ونصف قطرها $AE$
• رسمت الكرة التي مركزها $C$ خارج ذي الوجوه الأربعة المنتظم.

المطلوب إثباته:

$AE=\frac{3}{4}AF$

البرهان: نرسم $AF\perp \left(BCD\right)$ (يمكن رسم مستقيم وحيد عمودي على مستو معلوم من نقطة معلومة).

نصل $\overleftrightarrow{\mathrm{ED}},\overleftrightarrow{\mathrm{EC}},\overleftrightarrow{\mathrm{EB}}$ أصبحت لدينا الأهرامات التي رؤوسها $\left(E\right)$ وقواعدها المتساوية بالمساحة هي:

$\left(\mathrm{BCD}\right),\left(\mathrm{ACD}\right),\left(\mathrm{ABC}\right),\left(\mathrm{ABD}\right)$ (الوجوه الأربعة في ذي الوجوه الأربعة تكون متساوية).

قسم الهرم الأصلي إلى أربع أهرامات من ذي الوجود الأربعة متساوية بالحجم وهي:

$(\mathrm{E}-\mathrm{BCD}),(\mathrm{E}-\mathrm{ACD}),(\mathrm{E}-\mathrm{ABC}),(\mathrm{E}-\mathrm{ABD})$

(يتساوى حجما شكلين إذا تطابقت قاعدتيهما وتساوي ارتفاعها)

حجم الهرم الأصلي = 4 × حجم الهرم الصغير

حجم الهرم الكبير = 4 × $\mathrm{E}-\mathrm{BCD}$

$\begin{array}{rl}& \frac{1}{3}\left(BCD\right)\left(AF\right)=4\left(\frac{1}{3}\right)\left(BCD\right)\left(EF\right)\\ & \text{AF}=4\left(EF\right)\\ & AF=4(AF-AE)\\ & AF=4AF-4AE\\ & 4AE=3AF\Rightarrow AE=\frac{3}{4}AF\end{array}$