أمثلة إضافية محلولة

(1)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه تنتميان لمحور السينات ومساحته $24\pi$ والنسبة بين طول محوريه $\frac{3}{8}$

$\begin{array}{rl}& A=ab\pi \Rightarrow 24\pi =ab\pi \Rightarrow a=\frac{24}{b}\\ & \frac{2a}{2b}=\frac{3}{8}\Rightarrow 3a=8b\Rightarrow a=\frac{8b}{3}\Rightarrow \frac{24}{b}=\frac{8b}{3}\Rightarrow 8b^2=72\Rightarrow b^2=9\\ & \therefore b=3\Rightarrow a=\frac{24}{b}=\frac{24}{3}=8\Rightarrow a^2=64\\ & \frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{9}=1 \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array}$

(2)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل ومحوراه ينطبقان على المحورين الإحداثيين وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته $(x^2-12y=0)$ وطول محوره الكبير ضعف طول محوره الصغير.

من القطع المكافئ:

$\begin{array}{rl}& x^2=4ay\\ & x^2=12y\Rightarrow 4p=12\Rightarrow p=3\Rightarrow (0,3) \left(\mathrm{البؤرة}\right)\end{array}$

من القطع الناقص:

$\begin{array}{rl}& \frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1⟸c=3⟸(0,3) , (0,-3) \left(\mathrm{البؤرتان}\right)\\ & \because 2a=2\left(2b\right)\Rightarrow a=2b\Rightarrow a^2=b^2+c^2\Rightarrow (2b{)}^2=b^2+9\Rightarrow 4b^2=b^2+9\Rightarrow 3b^2\\ & =9\Rightarrow b^2=3\\ & \therefore a^2=4b^2=4\left(3\right)=12\\ & \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{12}=1 \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array}$

(3)- جد معادلة القطع الناقص الذي يمر بالنقطة $\left(0,3\right)$ والمسافة بين بؤرتيه $6$ وحدات.

$\begin{array}{rl}& \because 2c=6\Rightarrow c=3\\ & \because a>c\Rightarrow b=3\\ & \because a^2=b^2+c^2\Rightarrow a^2=9+9\Rightarrow a^2=18\\ & \therefore \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{18}=1 \left(\mathrm{الأولى} \mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\\ & or \frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1 \left(\mathrm{الثانية} \mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array}$

(4)- لتكن $M{x}^2+N{y}^2=400$ معادلة قطع ناقص إحدى بؤرتيه $\left(3,0\right)$ والنسبة بين طول محوره الكبير ومحوره الصغر $\frac{4}{5}=$ فجد قيم كل من $M,N\in R$

$M{x}^2+N{y}^2=400]÷400\Rightarrow \frac{M{x}^2}{400}+\frac{N{y}^2}{400}=1\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{400}{M}}+\frac{y^2}{\frac{400}{N}}=1$

البؤرة تنتمي لمحور السينات فإن $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& a^2=\frac{400}{M} , b^2=\frac{400}{N} , c=3\\ & \because \frac{2b}{2a}=\frac{4}{5}\Rightarrow b=\frac{4}{5}a\Rightarrow b^2=\frac{16}{25}{a}^2\\ & \because a^2=b^2+c^2\Rightarrow [a^2=\frac{16}{25}{a}^2+9]\times 25\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 25a^2=16a^2+225\Rightarrow 9a^2=225\Rightarrow a^2=25 , b^2=\frac{16}{25}.25=16\\ & a^2=\frac{400}{M}\Rightarrow M=\frac{400}{a^2}=\frac{400}{25}=16\\ & b^2=\frac{400}{N}\Rightarrow N=\frac{400}{b^2}=\frac{400}{16}=25\\ & \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array} \end{gathered}$$

(5)- جد معادلة القطع الناقص الذي مساحته $80\pi$ والذي يكون البعد بين بؤرتيه مساوياً للبعد بين بؤرة القطع المكافئ $(y^2+24x=0)$ ودليله.

القطع المكافئ:

$\begin{array}{rl}& y^2=4px\\ & y^2=-24x\\ & \therefore 4p=-24\Rightarrow p=-6\Rightarrow \left|2p\right|=12\\ & 2c=12\Rightarrow c=6\Rightarrow c^2=36\end{array}$

القطع الناقص:

$\begin{array}{rl}& A=ab\pi \Rightarrow 80\pi =ab\pi \Rightarrow ab=80\Rightarrow b=\frac{80}{a}\Rightarrow b^2=\frac{6400}{a^2}\\ & \because a^2=b^2+c^2\Rightarrow a^2=\frac{6400}{a^2}+36\stackrel{(\times a^2)}{⟹}{a}^4=6400+36a^2\\ & a^4-36a^2-6400=0\Rightarrow (a^2-100)(a^2+64)=0\\ & \text{either }{a}^2=100\Rightarrow b^2=\frac{6400}{100}=64\\ & \text{or}{b}^2=-64 \left(\mathrm{يهمل}\right)\\ & \frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1 \left(\mathrm{الأول} \mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\\ & \frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{100}=1 \left(\mathrm{الثاني} \mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array}$

(6)- إذا كانت $\frac{y^2}{3M-2}-x=0$ معادلة قطع مكافئ دليله يمر بالنقطة $\left(-1,2\right)$ جد معادلة القطع الناقص الذي أحد بؤرتيه $(0,M)$ ومربع طول النسبة بين محوريه $\frac{3}{4}=$

من القطع المكافئ:

نلاحظ أن القطع المكافئ من النوع السيني لذا فإن معادلة الدليل له

$\begin{array}{rl}& x=-p=-(-1)\Rightarrow x=1 \left(\mathrm{السيني} \mathrm{المحور} \mathrm{على} \mathrm{يقع} \mathrm{لأنه}\right)\\ & y^2=(3M-2)x\\ & y^2=4px\Rightarrow 3M-2=4p\Rightarrow 3M-2=4\Rightarrow M=2\end{array}$

من القطع الناقص:

بؤرتاه $(0,-2) , (0,2)$ والقانون $\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$

$\begin{array}{rl}& \because \frac{4b^2}{4a^2}=\frac{3}{4}\Rightarrow b^2=\frac{3}{4}{a}^2,c^2=4\\ & \because a^2=b^2+c^2\Rightarrow a^2=\frac{3}{4}{a}^2+4\stackrel{\times 4}{⟹}4a^2=3a^2+16\Rightarrow a^2=16 , b^2=12\\ & \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{16}=1 \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array}$

(7)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه $F_1(-\sqrt{6},0),F_2(\sqrt{6},0)$ ويمر من خلال بؤرة القطع المكافئ $y^2-12x+2y-11=0$

من القطع المكافئ:

نرتب المعادلة بحيث تكون حدود y في طرف وحدود y في الطرف الآخر.

$y^2+2y=12x+11$

نضيف 1 إلى طرفي معادلة القطع المكافئ حتى تكون حدود y بشكل مربع كامل.

$y^2+2y+1=12x+11+1\Rightarrow (y+1{)}^2=12x+12\Rightarrow (y+1{)}^2=12(x+1)$

بالمقارنة مع المعادلة القياسية للقطع المكافئ $(y-k{)}^2=4p(x-h)$ نحصل على:

$\begin{array}{rl}& h=-1,k=-1\Rightarrow (h,k)=(-1,-1) \mathrm{الرأس}\\ & \because 4p=12\Rightarrow p=3\Rightarrow F(p+h,k)=F(3-1,-1)=F(2,-1)\end{array}$

من القطع الناقص:

بؤرتي القطع الناقص $(-\sqrt{6},0),(\sqrt{6},0)$ فإن $c^2=6,\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

النقطة (1-,2) تحقق معادلة القطع الناقص لأنه يمر بها (بؤرة القطع المكافئ)

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1\stackrel{(\times a^2{b}^2)}{⟹}4b^2+a^2=a^2{b}^2.....\left(1\right)\\ & \because a^2=b^2+c^2\Rightarrow a^2=b^2+6\dots \dots \dots \left(2\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 4b^2+b^2+6=(b^2+6)b^2\Rightarrow 5b^2+6=b^4+6b^2\Rightarrow b^4+b^2-6=0\\ & (b^2+3)(b^2-2)=0\end{array} \\ \begin{array}{rl}& either b^2=2\Rightarrow a^2=8\\ & or b^2=-3 \mathrm{يهمل}\end{array} \end{gathered}$$

معادلة القطع الناقص $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$

(8)- جد إحداثي البؤرتين والرأسين والقطبين وطول ومعادلة كل من المحورين ومقدار الاختلاف المركزي ومعادلة القطع الناقص الذي مركزه $(1,-4)$ ومحوره الكبير يوازي محور الصادات وإحدى بؤرتيه تبعد عن الرأسين بالبعدين 2,10 وحدة طول.

• مجموع البعدين = 2a
• الفرق بين البعدي = 2c

$2a=2+10\Rightarrow 2a=12\Rightarrow a=6,2c=10-2\Rightarrow 2c=8\Rightarrow c=4$

محوره الكبير يوازي محور الصادات $\frac{(x-h{)}^2}{b^2}+\frac{(y-k{)}^2}{a^2}=1$

$\begin{array}{rl}& \because a^2=b^2+c^2\Rightarrow b^2=a^2-c^2\Rightarrow b^2=36-16=20\Rightarrow b^2=20,h=1,k=-4\\ & \frac{(x-1{)}^2}{20}+\frac{(y+4{)}^2}{36}=1\end{array}$

$\begin{array}{rl}& 2c=2\left(4\right)=8 \mathrm{البؤرتين} \mathrm{بين} \mathrm{المسافة}\\ & x=h\Rightarrow x=1 \mathrm{الكبير} \mathrm{المحور} \mathrm{معادلة}\\ & y=k\Rightarrow y=-4 \mathrm{الصغير} \mathrm{المحور} \mathrm{معادلة}\\ & {\overline{F}}_1(h,k+c)={\overline{F}}_1(1,0),{\overline{F}}_2(h,k-c)={\overline{F}}_2(1,-8) \mathrm{البؤرتان}\\ & {\overline{V}}_1(h,k+a)={\overline{V}}_1(1,2),{\overline{V}}_2(h,k-a)={\overline{V}}_2(1,-10) \mathrm{الرأسان}\end{array}$