حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

القطع الناقص

القطع الناقص: هو مجموعة من النقط في المستوي التي يكون مجموع بعديها عن نقطتين ثابتتين تسميان (البؤرتان) تساوي عدداً ثابتاً تساوي (2a)

PF1+PF2=2a

البؤرتان على المحور السيني والمركز نقطة الأصل O(0,0)

x2a2+y2b2=1

الشكل

حيث (a>c) , (a>b)

البؤرتان على المحور الصادي والمركز نقطة الأصل O(0,0)

x2b2+y2a2=1

الشكل

إذا وقع المحور الكبير على محور السينات فإن البؤرتان والرأسان هما على محور السينات.

جدول يبين مفردات القطع الناقص في الحالتين:

القطع الناقص البؤرتان الرأسان القطبان المعادلة
شكل 1 F1(c,0)F2(c,0) V1(a,0)V2(a,0) (0,b)(0,b) x2a2+y2b2=1
شكل 2 F1(0,c)F2(0,c) V1(0,a)V2(0,a) (b,0)(b,0) x2b2+y2a2=1

خواص القطع الناقص:

  1. a>b,c حيث (a,b,c>0)
  2. c2=a2b2a2=b2+c2a>b,c
  3. طول المحور الكبير 2a= (العدد الثابت).
  4. طول المحور الصغير 2b=
  5. المسافة بين البؤرتين 2c= (البعد البؤري).
  6. مساحة القطع الناقص: (وحدة مربعة A=abπ)
  7. محيط القطع الناقص: (π=227 حيث P=2πa2+b22)
  8. الاختلاف المركزي: e=ca=a2b2a<1 , (0<e<1) أي أن c=a2b2
  9. النسبة بين طولي محوريه 2a2b=
  10. إذا مر القطع بنقطة أحد إحداثياتها صفر فالإحداثي الثاني هو إما (a) أو (b) والأكبر هو (a) والأصغر هو (b)

ملاحظات:

  1. إذا كان مقام الـ x2 أكبر فالبؤرتان سينيتان وتكون المعادلة القياسية x2a2+y2b2=1
  2. إذا كان مقام الـ y2 فالبؤرتان صاديتان وتكون المعادلة القياسية x2b2+y2a2=1
  3. الطرف الأيمن في معادلة القطع الناقص دائماً = 1
  4. كل نقطة تنتمي إلى القطع الناقص تحقق معادلة القطع.

(1)- باستخدام التعريف جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه F2(2,0) , F1(2,0) والعدد الثابت 6

  • القطع الناقص P(x,y)
  • حسب التعريف PF1+PF2=2a

فتكون معادلة القطع الناقص:

(x2)2+(y0)2+(x+2)2+(y0)2=6F2(2,0)(x2)2+y2=6(x+2)2+y2    الطرفين بتربيع x24x+4+y2=3612(x+2)2+y2+x2+4x+4+y2[12(x+2)2+y2=36+8x]÷43(x+2)2+y2=9+2x    الطرفين بتربيع 9(x2+4x+4+y2)=81+36x+4x29x2+36x+36+9y2=81+36x+4x25x2+9y2=45]÷45x29+y25=1

الشكل

القطع الناقص:

كمية ثابتة باستخدام القانون pF1+pF2=2a

الأولى وبؤرته نقطة بين المسافة + الثانية وبؤرته نقطة بين المسافة = 2a

انتبه الجذر لا يرفع كاملاً.

(2)- في كل مما يأتي جد طول كل من المحورين وإحداثيات كل من البؤرتين والرأسين والاختلاف المركزي.

x225+y216=1

a2=25a=5⇒∴V1(5,0),V2(5,0)b2=16b=4c2=a2b2c2=2516=9c=3F1(3,0),F2(3,0)  البؤرتانa=52a=10  طول المحور الكبيرb=42b=8  طول المحور الصغيرe=ca=35<1  الاختلاف المركزي

4x2+3y2=43

4x2+3y2=43(×34)12x24+9y24=1x2412+y249=1x213+y249=1a2=49a=23 , b2=13b=13c2=a2b2c2=4913c2=439=19c=132a=2(23)=43   طول المحور الكبير2b=2(13)=23  طول المحور الصغيرV1(0,23) , V2(0,23)    الرأسانF1(0,13) , F2(0,13)e=ca=1323=13×32=12<1   الاختلاف المركزي

(3)- جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه F1(3,0) , F2(3,0) ورأساه V1(5,0) , V2(5,0) ومركزه نقطة الأصل.

البؤرتان والرأسان يقعان على المحور السيني فإن معادلة القطع الناقص:

x2a2+y2b2=1c=3c2=9a=5a2=25c2=a2b29=25b2b2=259=16b=4x225+y216=1

(4)- جد طول كل من المحورين وإحداثي كل من البؤرتين والرأسين والاختلاف المركزي والمحيط والمساحة لمعادلة القطع الناقص 16x2+25y2=400

16x2+25y2=400]÷400x225+y216=1a2=25a=52a=10   الكبير المحور طولb2=16b=42b=8  الصغير المحور طولc2=a2b2=2516=9c=3F1(3,0),F2(3,0)   البؤرتانV1(5,0),V2(5,0)   الرأسانe=ca=35   المركزي الاختلافA=abπ=(5)(4)π=20π   مربعة وحدةP=2πa2+b22=2π25+162=2π412   وحدة

(5)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وينطبق محوراه على المحورين الإحداثيين ويقطع من محور السينات جزءاً طوله 8 وحدات ومن محور الصادات جزءاً طوله 12 وحدة ثم جد المسافة بين بؤرتيه ومساحة منطقته ومحيطه واختلافه المركزي.

ما يقطعه من الصادات أكبر مما يقطعه من السينات فالبؤرتان صاديتان.

x2b2+y2a2=12a=12a=6a2=362b=8b=4b2=16x216+y236=1   القطع معادلةc2=a2b2=3616=20c=252c=45   البؤرتين بين المسافةA=abπ=24π   مربعة وحدة  .... المساحةP=2πa2+b22=2π36+162=2π522=2π26 .... المحيطe=ca=256=53   المركزي الاختلاف

ملاحظة: نقاط تقاطع القطع مع المحورين (0,y) , (x,0) تمثل الرؤوس والأقطاب والأبعد إلى المركز هو الرأس.

(6)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل ويمر بالنقطتين (0,3) , (4,0) ثم جد مساحته ومحيطه.

a=4 , b=3x216+y29=1A=abπ=(4)(3)π=12π   مربعة وحدةP=2πa2+b22=2π16+92=2π252=52π

(7)- جد معادلة القطع الناقص إحدى بؤرتيه (4,0) واختلافه المركزي (12)

البؤرة سينية فالمعادلة هي:

x2b2+y2a2=1c=3c2=9الصغير المحور طولالكبير المحور طول=452b2a=45b=4a5...1a2=b2+c2a2=(4a5)2+9a216a225=9]×2525a216a2=2259a2=225a2=25a=5

نعوض قيمة (a) في معادلة (1)

b=4(5)5=4b2=16x216+y225=1   الناقص القطع معادلة

(8)- لتكن kx2+4y2=36 معادلة قطع ناقص مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه (3,0) جد قيمة k

نقسم طرفي المعادلة على (36):

kx236+4y236=1x236k+y29=1

البؤرة سينية فمعادلة القطع:

x2a2+y2b2=1a2=36k , b2=9 , c=3c2=a2b23=36k936k=3+936k=12k=3612=3

(9)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه في نقطة الأصل وبؤرتاه على محور السينات والمسافة بين البؤرتين 6 وحدات، والفرق بين طولي المحورين يساوي 2 وحدة.

2c=6c=3

a عن بتعويض نبدأ a=b+1ab=12 على بالقسمة 2a2b=2   المحورين طولي بين الفرق

a2=b2+c2(b+1)2=b2+9b2+2b+1=b2+92b+1=92b=912b=8b=4b2=16a=4+1a=5a2=25x225+y216=1   الناقص القطع معادلة

(10)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه في نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه بؤرة القطع المكافئ y212x=0 وطول محوره الصغير يساوي 10 وحدات.

من القطع المكافئ:

y2=12xy2=4px4p=12p=3F(3,0)  البؤرة

من القطع الناقص:

2b=10b=5b2=25   الصغير المحور طولF1(3,0) , F2(3,0) البؤرتان c=3c2=9a2=b2+c2a2=25+9a2=34x2a2+y2b2=1x234+y225=1   الناقص القطع معادلة

(11)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وأحد رأسيه هو بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته y2=20x والنسبة بين طولي محوره الصغير والبعد بين البؤرتين 43

القطع المكافئ:

y2=4pxy2=20x4p=20p=5F(5,0)

القطع الناقص:

V1(5,0),V2(5,0)a=52b2c=43bc=433b=4cc=3b4a2=b2+c2[25=b2+9b216]×16400=16b2+9b2400=25b2b2=16b=4x225+y216=1

(12)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وأحد بؤرتيه (0,4) ومجموع مربعي طولي محوريه 136

(2a)2+(2b)2=136[4a2+4b2=136]÷4a2+b2=34a2=34b2(1)c=4c2=16a2=b2+c234b2=b2+162b2=16342b2=18b2=182=9a2=349a2=25x2b2+y2a2=1x29+y225=1  الناقص القطع معادلة

(13)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرته نقطتان على محور السينات وأحد بؤرتيه تبعد عن الرأسين بالعددين 3 , 7

2a=7+32a=10a=5V1(5,0) , V2(5,0)2c=73=4c=2c2=4c=±2F1(2,0) , F2(2,0)a2=b2+c225=b2+4b2=254b2=21x2a2+y2b2=1x225+y221=1

(14)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه تنتميان إلى محور السينات ويمر بالنقطتين (3,62)(2,2)

لأن البؤرة تقع على محور السينات x2a2+y2b2=1 بتعويض (2,2) في المعادلة العامة:

4a2+4b2=1(×a2b2)4b2+4a2=a2b2

بتعويض النقطة  (3,62) في المعادلة العامة:

[9a2+64b2=1](×a2b2)9b2+64a2=a2b224b2+4a2=a2b2.(1)9b26a2=a2b2(2)   بالطرح5b2+104a2=0[104a2=5b2](×4)10a2=20b2a2=20b210a2=2b2   1 معادلة في نعوض4b2+4(2b2)=(2b2)b24b2+8b2=2b412b2=2b4=÷2b2b2=6a2=2(6)a2=12x212+y26=1   الناقص القطع معادلة

ملاحظة عن السؤال التالي:

القطع يمر في النقطة 3,0 هذه النقطة تقع على إحدى المحاور الإحداثية حيث النقطة 3,0 تقع على المحور الإحداثي السيني لذلك هذه النقطة تمثل إما رأس القطع أو القطب، لذلك يجب أن ننتبه إلى الملاحظة وهي يجب أن تكون a>b , a>c فمعادلة القطع المكافئ معلومة (نستخرج أولاً البؤرة للقطع المكافئ وستكون بؤرة القطع الناقص).

(15)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وأحد بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ y2+8x=0 ويمر بالنقطة (3,0)

القطع المكافئ:

y2=8xy2=4px4p=8p=84p=2F(2,0)

القطع الناقص:

V1(3,0) , V2(3,0) , F1(2,0) , F2(2,0)a2=b2+c29=b2+4b2=94b2=5x29+y25=1   الناقص القطع معادلة

(16)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وأحد بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ 2y216x=0 ويمر بالنقطة (0,5)

القطع المكافئ:

[2y216x=0]÷2y2=8xy2=4px4p=8p=2F(2,0)

القطع الناقص:

لأن النقطة تقع على غير محور البؤرة في القطع الناقص فهي تمثل القطبين.

(0,5),(0,5) هما القطبين b=5b2=25F1(2,0) , F2(2,0)c=2c2=4a2=b2+c2a2=25+4a2=29x229+y225=1   الناقص القطع معادلة

(17)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل والمار ببؤرة القطع المكافئ x2+12y=0 والبعد بين بؤرتيه يساوي 6 وحدة طول.

القطع المكافئ:

x2=12yx2=4py4p=12p=124=3 , F(0,3)

القطع الناقص:

2c=6c=3c2=9

نلاحظ أن قيمة c=3 ولا يجوز أن تكون بدل قيمة a لأن قيمة a أكبر من قيمة c لذلك تعتبر (0,3) هي b

a2=b2+c2a2=9+9a2=18x2a2+y2b2=1x218+y29=1   الناقص القطع معادلة

(18)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل ويمر بنقطتي تقاطع المستقيم 2xy=8 مع المحورين الإحداثيين.

إذا مر القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل بنقطتي تقعان في ربعين متجاورين فإن الرأس يمثل النقطة ذات المطلق الأكبر (أي يجرد العدد من الإشارة) والقطب يمثل النقطة ذات المطلق الأصغر.

2x(0)=82x=8x=4(4,0)   y=02(0)y=8y=8(0,8)   x=02(0)y=8y=8(0,8)a=8a2=64,b=4b2=16x2b2+y2a2=1x216+y264=1   الناقص القطع معادلة

(19)- جد معادلة القطع الناقص الذي يمر بنقطة تقاطع المستقيم 2x+3y=12 مع محور السينات حيث مساحة المنطقة لهذا القطع 24π

2x+3y=122x+3(0)=122x=12x=6(6,0)

المستقيم قطع الإحداثي السيني في النقطة 6,0

V1(6,0),V2(6,0),a=6a2=36A=abπ , 24π=6bπb=24π6π(0,4) , (0,4)=b=4b2=16x2a2+y2b2=1x236+y216=1   الناقص القطع معادلة

(20)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ x2=24y ويمس دليل القطع المكافئ y2+16x=0

القطع المكافئ:

x2=24yx2=4py4p=24p=244=6F(0,6)

دليل القطع المكافئ:

y2=4pxy2=16x4p=16p=164=4

4,0 تنتمي للقطع الناقص

b=4b2=16F2(0,6) , F1(0,6)  البؤرتانa2=b2+c2a2=16+36=52x236+y252=1   الناقص القطع معادلة

ملاحظات لرسم القطع الناقص:

  1. نعين V1(a,0) , V2(a,0)
  2. نعين M1(0,b) , M2(0,b)
  3. نصل بين النقاط الأربعة V1, V2 ,M1 , M2 بالترتيب حتى يكون منحني متصل.
  4. نعين البؤرتين F1(c,0) , F2(c,0)

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

النقاشات