تدرب وحل مسائل حياتية

رياضة: إذا أراد راكب دراجة قطع مسافة 60 km بين مدينتين A, B بسرعة معينة، ولو زادت سرعته بمقدار 10km/h لتمكن من قطع هذه المسافة بزمن يقل ساعة واحدة عن الزمن الأول، جد سرعته أولاً.

• نفرض سرعة الراكب أولاً = x
• نفرض السرعة بعد الزيادة = x+10
• نفرض الزمن الذي استغرقه أولاً = $\frac{60}{x}$
• نفرض الذي استغرقه ثانياً = $\frac{60}{x+10}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{60}{x}-\frac{60}{x+10}=1]\cdot x(x+10)\Rightarrow \frac{60}{\mathrm{x̸}}x(x+10)-\frac{60}{x+10}x(x+10)=x(x+10)\\ & 60(x+10)-60x=x^2+10x\Rightarrow 60x+600-60x=x^2+10x\\ & x^2+10x-600=0\Rightarrow (x+30)(x-20)=0\end{array} \\ \begin{array}{c}\mathrm{إما} x+30=0\Rightarrow x=-30 \mathrm{تهمل}\\ \mathrm{أو} x-20=0\Rightarrow x=20\mathrm{km}/\mathrm{h} \mathrm{أولاً} \mathrm{سرعته}\end{array} \\ x+10=20+10=30\mathrm{km}/\mathrm{h} \mathrm{ثانياً} \mathrm{سرعته} \end{gathered}$$

نقل مسافرين: تقطع طائرة الخطوط الجوية العراقية المسافة 350 km بين مدينة بغداد وأربيل بسرعة معينة، ولو زادت سرعة الطائرة بمقدار 100 km/h لتمكنت الطائرة من قطع المسافة بزمن يقل 12 دقيقة عن الزمن الأول، جد سرعة الطائرة التقريبية أولاً.

• نفرض سرعة الطائرة أولاً = v
• نفرض السرعة بعد الزيادة = v+10
• نفرض الزمن الذي استغرقه أولاً = $\frac{350}{v}$
• نفرض الذي استغرقه ثانياً = $\frac{350}{v+10}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{350}{v}-\frac{350}{v+10}=\frac{10}{60}]\cdot v(v+10)\Rightarrow \frac{350}{v}v(v+10)-\frac{350}{v+10}v(v+10)=\frac{v(v+10)}{6}\\ & 350(v+10)-350v=\frac{v^2+10v}{6}\Rightarrow 350v+3500-350v=\frac{v^2+10v}{6}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \frac{v^2+10v}{6}=3500 \mathrm{وسطين} \mathrm{في} \mathrm{طرفين}\\ & v^2+10v=21000\Rightarrow v^2+10v-21000=0\\ & (v+150)(v-140)=0\end{array} \\ \begin{array}{c}\mathrm{إما} v+150=0\Rightarrow v=-150 \mathrm{تهمل}\\ \mathrm{أو} v-140=0\Rightarrow v=140\mathrm{km}/\mathrm{h} \mathrm{أولاً} \mathrm{الطائرة} \mathrm{سرعة}\end{array} \end{gathered}$$

سباق: شارك نوفل في سباق ثلاثي، وتضمن السباق السباحة وركوب الدراجة والجري، واستغرق ساعتين لإنهاء السباق كما موضح في الجدول المجاور على اعتبار x تعبر عن معدل سرعته في السباحة، جد معدل سرعته التقريبية في سباق السباحة.

ملاحظة: استعمل معادلة الزمن الإجمالي الذي استغرقه نوفل في السباق بدلالة سرعته في السباحة هو: $\mathrm{T}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{t}}_{\mathrm{s}}+{\mathrm{t}}_{\mathrm{b}}+{\mathrm{t}}_{\mathrm{r}}$

$\mathrm{الزمن}=\frac{\mathrm{المسافة}}{\mathrm{السرعة}}$

$\begin{array}{rl}& t_s=\frac{1}{x},t_r=\frac{4}{x+4},t_b=\frac{20}{5x}\\ & \mathrm{T}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{t}}_{\mathrm{s}}+{\mathrm{t}}_{\mathrm{b}}+{\mathrm{t}}_{\mathrm{r}}\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{20}{5x}+\frac{4}{x+4}=2\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{4}{x}+\frac{4}{x+4}=2\\ & [\frac{1}{x}+\frac{4}{x}+\frac{4}{x+4}=2]x(x+4)\\ & \frac{1}{x}x(x+4)+\frac{4}{x}x(x+4)+\frac{4}{x+4}x(x+4)=2\left(x\right)(x+4)\\ & x+4+4(x+4)+4x=2x(x+4)\Rightarrow x+4+4x+16+4x=2x^2+8x\\ & 2x^2+8x-9x-20=0\Rightarrow 2x^2-x-20=0\end{array}$

تحل بالقانون الدستور لأنها لا تتحلل.

$$\begin{gathered} a=2,b=-1,c=-20 \\ \begin{array}{rl}& x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow x=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1{)}^2-4(2\left)\right(-20)}}{2\left(2\right)}\Rightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{1+160}}{4}\\ & x=\frac{1\pm \sqrt{161}}{4},\sqrt{161}\approx \sqrt{169}\\ & x\approx \frac{1\pm \sqrt{169}}{4}\Rightarrow x\approx \frac{1\pm 13}{4}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \mathrm{إما} x=\frac{1+13}{4}=\frac{14}{4}=\frac{7}{2}\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \mathrm{تقريباً} \mathrm{السرعة}\\ & \mathrm{أو} x=\frac{1-13}{4}=\frac{-12}{4}=-3 \mathrm{تهمل}\end{array} \end{gathered}$$