الزاوية والتقدير الدائري لقياس الزوايا والعلاقة بين التقديرين السيتين والدائري

الزاوية Angle:

تتكون الزاوية من شعاعين مشتركين في نقطة بدنهما.

فالشعاعان $\overrightarrow{\mathrm{BA}},\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ مشتركان في نقطة البداية B ويكونان الزاوية $\mathrm{A}\hat{B}C$ وكذلك يرمز للزاوية $\sphericalangle ABC$ $\mathrm{A}\hat{B}C=\mathrm{C}\hat{\mathrm{B}}\mathrm{A}$ ويسمى الشعاعان $\overrightarrow{\mathrm{BA}},\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ (ضلعي الزاوية) ونقطة البدء B تسمى رأس الزاوية.

التقدير الدائري لقياس الزوايا:

يوجد قياس يسمى (التقدير الدائري) (Radian Measure) لقياس الزوايا. وتسمى وحدة قياس الزاوية بالتقدير الدائري (زاوية نصف قطرية).

والزاوية نصف القطرية وهو قياس للزاوية التي إذا وضع رأسها في مركز الدائرة وقابلها قوس طوله مساو لنصف قطر تلك الدائرة.

إذا فرضنا أن طول القوس المقابل للزاوية المركزية $L=\sphericalangle AOB$ وحدة طول ونصف قطر الدائرة = (r) وحدة طول وكان r=1 فإن:

$1=m\nless AOB$ زاوية نصف قطرية وإذا كان $L=2r$ فإن $2=m\nless AOB$ زاوية نصف قطرية.

قياس الزاوية المركزية بالتقدير الدائري = $\frac{\mathrm{لها} \mathrm{المقابل} \mathrm{القوس} \mathrm{طول}}{\mathrm{الدائرة} \mathrm{قطر} \mathrm{نصف}}$

$\theta =\frac{L}{r}$

العلاقة بين التقديرين الستيني والدائري لقياس الزوايا:

محيط الدائرة = $2\pi r$

وبما أن $\theta =\frac{L}{r}=\frac{2\pi r}{r}=2\pi$

• $2\pi$ زاوية نصف قطرية = ${360}^{\circ }$
• $\pi$ زاوية نصف قطرية = ${180}^{\circ }$
• 1 زاوية نصف قطرية = $\frac{{180}^{\circ }}{\pi }$

$\frac{\pi }{{180}^{\circ }}=1^{\circ }$ زاوية نصف قطرية

وبصورة عامة:

$\frac{\pi }{{180}^{\circ }}=\frac{\theta }{D^{\circ }}$

تستدم العلاقة لتحويل قياس الزاوية من التقدير الدائري إلى الستين وبالعكس.

• D قياس الزوية بالنظام الستيني.
• $\theta$ قياس الزاوية بالنظام الدائري.

(1)- حول:

${40}^{\circ }$ إلى النظام الدائري

$\begin{array}{rl}& \frac{\theta }{D^{\circ }}=\frac{\pi }{{180}^{\circ }}\Rightarrow \\ & \frac{\theta }{40}=\frac{\pi }{180}\Rightarrow \\ & \theta =\frac{2\pi }{9}\end{array}$

${75}^{\circ }$ إلى التقدير الدائري

$\begin{array}{rl}& \frac{\theta }{D^{\circ }}=\frac{\pi }{{180}^{\circ }}\Rightarrow \\ & \frac{\theta }{75}=\frac{\pi }{{180}^{\circ }}\Rightarrow \\ & \theta =\frac{5\pi }{12}\end{array}$

$2.6\pi$ إلى التقدير الستيني

$\begin{array}{rl}& \frac{\pi }{180}=\frac{\theta }{D^{\circ }}\Rightarrow \\ & \frac{\pi }{180}=\frac{2.6\pi }{D^{\circ }}\Rightarrow \\ & D=\frac{180\times 2.6\pi }{\pi }\Rightarrow D={468}^{\circ }\end{array}$

$\frac{1}{4}\pi$ إلى التقدير الستيني

$\begin{array}{rl}& \frac{\pi }{180}=\frac{\theta }{\mathrm{D}}\Rightarrow \\ & \frac{\pi }{180}=\frac{\frac{1}{4}\pi }{\mathrm{D}}\Rightarrow D=\frac{180\times \frac{1}{4}\pi }{\pi }\\ & D={45}^{\circ }\end{array}$

(2)- زاوية مركزية قياسها ${60}^{\circ }$ فما طول القوس الذي تقابله إذا كان طول نصف قطر دائرتها 9 سم؟

نحول قياس الزاوية الستيني الى قياس دائري.

$\frac{\pi }{180}=\frac{\theta }{D}\Rightarrow \frac{\pi }{180}=\frac{\theta }{60}\Rightarrow \theta =\frac{6\pi }{180}=\frac{1}{3}\pi$

قياس الزاوية بالتقدير الدائري = $\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{r}}$

$\begin{array}{rl}& \therefore \frac{L}{r}=\frac{\pi }{3}\Rightarrow \frac{L}{9}=\frac{\pi }{3}\\ & 3L=9\pi \Rightarrow L=\frac{9\pi }{3}\\ & L=3\pi =3\times \left(3.142\right)=9.426\mathrm{cm} \mathrm{القوس} \mathrm{طول}\end{array}$

(3)- زاوية مركزية طول قوسها 22 سم وطول نصف قطر دائرتها 20 سم فما مقدار قياسها الستيني.

$\begin{array}{rl}& \theta =\frac{L}{r}=\frac{22}{20}\\ & \therefore \frac{\pi }{180}=\frac{\theta }{D}\Rightarrow \frac{\pi }{180}=\frac{\frac{22}{20}}{D}\\ & \therefore D=\frac{22}{20}\times \frac{180}{\pi }={63}^{\circ } \mathrm{الستين} \mathrm{بالتقدير} \mathrm{القياس}\end{array}$

حيث $\pi =3.14$

(4)- طول القوس المقابل لزاوية مركزية مقدارها $° 35$ يساوي 5 سم فما طول نصف قطر دائرته؟

نحول الزاوية إلى التقدير الدائري:

$\begin{array}{rl}& \frac{\pi }{180}=\frac{\theta }{D}\Rightarrow \frac{\pi }{180}=\frac{\theta }{35}\Rightarrow \theta =\frac{35\pi }{180} \mathrm{قطرية} \mathrm{نصف} \mathrm{زاوية}\\ & \theta =\frac{L}{r}\Rightarrow \frac{35\pi }{180}=\frac{5}{r}\\ & \therefore r=\frac{5\times 180}{35\pi }\\ & \pi =3.14 \mathrm{حيث}\\ & \therefore r=7.18\mathrm{cm} \mathrm{القطر} \mathrm{نصف} \mathrm{طول}\end{array}$