تمارين (2-1)

(1)- إذا كانت y تتغير طردياً مع x وكان y=10 عندما x=5 جد قيمة y عندما x=15

$\begin{array}{rl}& \therefore y=kx\Rightarrow 10=k\left(5\right)\therefore k=\frac{10}{5}=2 \mathrm{الثابت}\\ & \therefore y=2x\Rightarrow y=2\left(15\right)\therefore y=30\end{array}$

(2)- إذا كانت y تتغير عكسياً مع x وكان 16=x عندما 25=y جد قيمة y عندما 20=x

$\begin{array}{rl}& y\propto \frac{1}{x}\\ & \therefore y=\frac{k}{x},k\in R^{+}\\ & 25=\frac{k}{16}\Rightarrow k=\left(25\right)\left(16\right)=400 \left(\mathrm{ثابت}\right)\\ & y=\frac{k}{x}\Rightarrow y=\frac{400}{20}=20\end{array}$

(3)- إذا كان z يتغير تغيراً مشتركا ًمع x,y وكان 4=y عندما z=2,x=1 جد ثابت التغير.

$\begin{array}{rl}& \therefore z=ky\cdot xk\in R^{+}\\ & 2=k\left(4\right)\left(1\right)\Rightarrow k=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \left(\mathrm{الثابت}\right)\end{array}$

(4)- إذا كان y يتغير طردياً مع x وعكسياً مع L تغيراً مشتركاً فإذا كان $y=\frac{3}{2}$ عندما x=2,L=4 جد صيغة رياضية للعلاقة بين y,x,L

$\begin{array}{rl}& y\propto x\cdot \frac{1}{L}\\ \therefore & y=kx\cdot \frac{1}{L}K\in R^{+}\\ \therefore & \frac{3}{2}=k\left(2\right)\cdot \frac{1}{4}\Rightarrow \frac{3}{2}=\frac{k}{2}\Rightarrow k=3 \left(\mathrm{الثابت}\right)\\ \therefore & y=\frac{3x}{L} \mathrm{الرياضية} \mathrm{العلاقة}\end{array}$

(5)- إذا كان $x\propto y$ فأثبت أن $y\propto x$

$\begin{array}{rl}& x\propto y\\ & \therefore x=kyk\in {\mathrm{R}}^{+}\end{array}$

بقسمة الطرفين على الثابت K

$\therefore \frac{x}{k}=y\Rightarrow y=\frac{1}{k}x$

نفرض $\frac{1}{k}=h\in R^{+}$

$\therefore y=hx\Rightarrow y\propto x$

(6)- إذا كانت $x\propto y_{,}y\propto z$ فأثبت أن $x\propto z$

$y\propto z$ فإن $y=kz,k\in R^{+}$

نعوض y في x ينتج $x\propto y$ فإن $x=hy,h\in R^{+}$

$x=h\left(kz\right)\Rightarrow x=\left(hk\right)z$

نفرض $\text{(h,k)}=F\in R^{+}$

$x=F.z,F\in R^{+}\therefore x\propto Z$

(7)- إذا كانت x,y متغيرين حقيقيين ومجموعة التعويض لكل منها ${\mathrm{R}}^{+}$ وكان yxx فأثبت أن الحل موقع $y\propto x$ فأثبت أن $x^3+y^3\propto x^{2}y$

$y\propto x$ فإن y=kx

لكي نبرهن $x^3+y^3\propto x^{2}y$ يجب أن نثبت $x^3+y^3=h{x}^{2}y$

$\begin{array}{rl}& \frac{x^3+y^3}{x^{2}y}=h,h\in R^{+}(h \mathrm{ثابت})\\ & \frac{x^3+k^3{x}^3}{x^2\cdot kx}=\frac{x^3+k^3{x}^3}{k{x}^3}=\frac{x^3(1+k^3)}{k{x}^3}=\frac{1+k^3}{k}\\ & \mathrm{وليكن} \frac{1+{\mathrm{k}}^3}{\mathrm{k}}=\mathrm{h}\in {\mathrm{R}}^{+}\\ & \therefore \frac{x^3+y^3}{x^{2}y}=h\in R^{+}\Rightarrow x^3+y^3=h{x}^{2}y\\ & \therefore x^3+y^3\propto x^{2}y\end{array}$

(8)- إذا تغيرت x عكسياً مع 1–y وكانت 24=x عندما 10=y فما قيمة x عندما 5=y؟

$x\propto \frac{1}{y-1}$ فإن $x=\frac{k}{y-1}\cdot k\in R^{+}$

$$\begin{gathered} 24=\frac{k}{10-1}\Rightarrow 24=\frac{k}{9} \\ \begin{array}{rl}& \therefore k=\left(24\right)\left(9\right)=216 \left(\mathrm{الثابت}\right)\\ & x=\frac{216}{y-1}\Rightarrow x=\frac{216}{5-1}=\frac{216}{4}=54\end{array} \end{gathered}$$

(9)- إذا كان y يتغير عكسياً تبع x فإذا كان y=5 وثابت التغير=15 فجد قيمة x

$y\propto \frac{1}{x}$ فإن $y=\frac{k}{x}،k\in R^{+}$

$5=\frac{15}{x}\Rightarrow x=\frac{15}{5}=3$