الأسئلة الوزارية في الغايات والاستمرارية

1- إذا كانت ${\mathrm{Lim}}_{x\to 5}\frac{x^2-25}{x^2-8x+15}=-3a+11$ جد قيمة a؟

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{Lim}}_{x\to 5}\frac{(x+5)(x+5)}{(x-5)(x-3)}=-3a+11\Rightarrow \frac{5+5}{5-3}=-3a+11\\ & \frac{10}{2}=-3a+11\Rightarrow 5=-3a+11\Rightarrow 3a=11-5\Rightarrow 3a=6\Rightarrow a=2\end{array}$

2- لتكن $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}{x}^2+1,x\le 3\\ 4x-2,x>3\end{array}f:R\to R$:

- ابحث الاستمرارية عند x=3؟

1. $f\left(3\right)=x^2+1=(3{)}^2+1=10$
2. $\begin{array}{rl}& {\mathrm{Lim}}_{x\to 3}{x}^2+1=(3{)}^2+1=10=L_1 , {\mathrm{Lim}}_{x\to 3}4x-2=4(3)-2=12-2=10=L_2\\ & L_1=L_2 \mathrm{موجودة} \mathrm{الغاية}\end{array}$
3. $\because {\mathrm{Lim}}_{x\to -3}f\left(x\right)=f\left(3\right)=10$

f مستمرة عند x=3

- جد الغاية عند x=-2؟

${\mathrm{Lim}}_{x\to -2}{x}^2+1=(-2{)}^2+1=4+1=5$

3- جد ${\mathrm{Lim}}_{x\to 3}\frac{x^4-81}{x-3}$

${\mathrm{Lim}}_{x\to 3}\frac{(x^2-9)(x^2+9)}{x-3}={\mathrm{Lim}}_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+3)(x^2+9)}{x-3}=(3+3)(9+9)=\left(6\right)\left(18\right)=108$

4- إذا كانت ${\mathrm{Lim}}_{x\to n}\frac{x^2-n^2}{x-n}$ جد قيمة n؟

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{Lim}}_{x\to n}\frac{(x-n)(x+n)}{x-n}=10\\ & n+n=10⟹2n=10\Rightarrow n=5\end{array}$

5- إذا كانت $f\left(x\right)=a{x}^2+bx$ وكانت ${\mathrm{Lim}}_{x\to 3}f\left(x\right)=21 ,\hspace{0.17em} {\mathrm{Lim}}_{x\to -1}f\left(x\right)=5$ جد قيمتي a,b؟

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{Lim}}_{x\to -1}a{x}^2+bx=5\Rightarrow a-b=5....\left(1\right)\\ & {\mathrm{Lim}}_{x\to 3}a{x}^2+bx=21\Rightarrow 9a+3b=21÷3\end{array}$

من 1 و2 نحصل على:

$\begin{array}{rl}& a-b=5....\left(1\right)\\ & \underset{\_}{3a+b=7}....\text{(2)}\\ & 4a=12]÷4\Rightarrow a=3,3-b=5\Rightarrow b=3-5=-2 (1) \mathrm{في} a \mathrm{قيمة} \mathrm{نعوض}\end{array}$

6- لتكن $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}7-2x,x<-1\\ 2x^2+3,x\ge -1\end{array}$ هل الدالة مستمرة عند x=-1؟

$\begin{array}{rl}& f(-1)=2(-1{)}^2+3=5 \mathrm{معرفة}\\ & {\mathrm{Lim}}_{x\to -1}2x^2+3=2(-1{)}^2+3=5=L_1\\ & {\mathrm{Lim}}_{x\to -1}7-2x=7-2(-1)=7+2=9=L_2\\ & \because L_1\ne L_2\end{array}$

f غير مستمرة عند x=-1

7- جد قيمة ${\mathrm{Lim}}_{x\to -2}\frac{x^2+2x}{x^2-3x-10}$

${\mathrm{Lim}}_{x\to -2}\frac{x(x+2)}{(x-5)(x+2)}=\frac{-2}{-2-5}=\frac{-2}{-7}=\frac{2}{7}$

8- لتكن $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}x-b,& ,x\le 2\\ a{x}^2-6& ,x>2\end{array}$ وكانت ${\mathrm{Lim}}_{x\to 2}f\left(x\right)=-2$ جد قيمة a,b؟

9- إذا كانت ${\mathrm{Lim}}_{x\to -1}\frac{3x^2+b^2}{x^2-b^2}=\frac{-3}{2}$ جد قيمة b؟

10- إذا كانت ${\mathrm{Lim}}_{x\to -1}(a^2{x}^2-ax+3)=9$ جد قيمة a؟

11- جد ${\mathrm{Lim}}_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x^2-1}$

12- جد ${\mathrm{Lim}}_{x\to 2}\frac{x^3-1}{2x-4}$

13- جد ${\mathrm{Lim}}_{x\to 1}\frac{x^2-1}{2x-2}$

14- جد ${\mathrm{Lim}}_{x\to -1}\frac{x^2+2x+1}{x^2+3x+2}$

15- جد ${\mathrm{Lim}}_{x\to 3}\frac{x^2-9x+18}{x-3}$