استمرارية الدالة عند النقطة

ملاحظة:

لكي تكون الدالة مستمرة يجب أن تحقق الشروط الآتية:

- الصورة معرفة $f\left(a\right)$

- الغاية موجودة ${\mathrm{Lim}}_{x\to a}f\left(x\right)$

- الصورة = الغاية ${\mathrm{Lim}}_{x\to a}f\left(x\right)=f\left(a\right)$

1- إذا كانت $f\left(x\right)=x^3+4x^2+5$ هل الدالة مستمرة عند x=1؟

1. $f\left(1\right)=(1{)}^3+4(1{)}^2+5=10$
2. $\underset{x\to 1}{lim}{x}^3+4x^2+5=(1{)}^3+4(1{)}^2+5=10$
3. $\because {\mathrm{Lim}}_{x\to 1}f\left(x\right)=f\left(1\right)=10$

f مستمرة عند x=1

2- ابحث استمرارية الدالة $f\left(x\right)=\frac{x}{x+1}$ عند x=2؟

1. معرفة $f\left(3\right)=\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}$
2. موجودة ${\mathrm{Lim}}_{x\to 3}\frac{x}{x+1}=\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}$
3. $\because {\mathrm{Lim}}_{x\to 3}f\left(x\right)=f\left(3\right)$

f مستمرة عند x=2

ملاحظات:

إذا كانت صيغة السؤال دالة شطرية وكان المطلوب ابحث الاستمرارية عند الحل نتبع الخطوات التالية:

1. نجد الصورة من جهة المساواة $(\ge )$ أو $\left(\le \right)$

2. نجد الغاية من جهة اليمين واليسار.

3. إذا كانت الصورة = الغاية فإن الدالة مستمرة وإذا كانت الصورة $\ne$ الغاية فإن الدالة غير مستمرة.

3- لتكن $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}2x+3,x<0\\ x^2+1,x\ge 0\end{array}$ هل الدالة مستمرة عند 0=x؟ بین ذلك.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{f}\left(0\right)=(0{)}^2+1=1\\ & Li{m}_{x\to 0}{x}^2+1=(0{)}^2+1=1=L_1\\ & Li{m}_{x\to 0}2x+3=2\left(0\right)+3=3=L_2\\ & \because L_1\ne L_2\end{array}$

الغاية غير موجودة عند 0=x

f غير مستمرة عند 0=x

4- لتكن $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}2-x,x<-1\\ 2x^2+1,x\ge -1\end{array}$ هل الدالة مستمرة عند 1-=x؟

$\begin{array}{rl}& f(-1)=2(-1{)}^2+1=2+1=3\\ & {\mathrm{Lim}}_{x\to -1}2x^2+1=2(-1{)}^2+1=3=L_1\\ & {\mathrm{Lim}}_{x\to -1}2-x=2(-1)=2+1=3=L_2\\ & \because L_1=L_2\end{array}$

الغاية موجودة.

${\mathrm{Lim}}_{x\to -1}f\left(x\right)=f(-1)=3$

f مستمرة عند 1-=x

5- لتكن $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}{x}^2+2,x\ge 2\\ 8-x,x<2\end{array}$ أثبت أن الدالة مستمرة عند 2=x؟

$\begin{array}{rl}& f\left(2\right)=x^2+2=(2{)}^2+2\\ & =4+2=6\\ & {\mathrm{Lim}}_{x\to 2}{x}^2+2=(2{)}^2+2\\ & =4+2=6=L_1\\ & {\mathrm{Lim}}_{x\to -1}8-x=8-2=6=L_2\\ & \because L_1=L_2\end{array}$

الغاية موجودة.

$\because {\mathrm{Lim}}_{x\to 2}f\left(x\right)=f\left(2\right)=6$

f مستمرة عند 2=x

ملاحظة:

إذا كانت صيغة السؤال دالة قيمة مطلقة عند الحل يجب أن نقول دالة القيمة المطلقة إلى دالة شطرية حسب القاعدة:

$f\left(x\right)=\left|x\right|=\{\begin{array}{l}x,x\ge 0\\ -x,x<0\end{array}$

6- لتكن $f\left(x\right)=|2x-6|$ ابحث الاستمرارية عند x=3؟

$f\left(x\right)=|2x-6|=\{\begin{array}{l}2x-6,x\ge 3\\ -2x+6,x<3\end{array}$

$\begin{array}{rl}& f\left(3\right)=2\left(3\right)-6=6-6=0\\ & {\mathrm{Lim}}_{x\to 3}2x-6=2\left(3\right)-6=6-6=0=L_1\\ & {\mathrm{Lim}}_{x\to 3}-2x+6=-2\left(3\right)+6=-6+6=0=L_2\\ & \because L_1=L_2\end{array}$

الغاية موجودة.

$\because {\mathrm{Lim}}_{x\to 3}f\left(x\right)=f\left(3\right)=0$

f مستمرة عند x=3

7- لتكن $f\left(x\right)=|x+4|$ برهن أن f مستمرة عند x=-4؟

$|x-4|=\{\begin{array}{l}x+4,x\ge -4\\ -x-4,x<-4\end{array}$

$\begin{array}{rl}& f(-4)=-4+4=0\\ & \underset{x\to -4}{lim}x+4=-4+4=0=L_1\\ & {\mathrm{Lim}}_{x\to 4}-x-4=4-4=0=L_2\\ & \because L_1=L_2\end{array}$

الغاية موجودة.

$\because {\mathrm{Lim}}_{x\to 3}f\left(x\right)=f(-4)=0$

f مستمرة عند x=-4

ملاحظة:

إذا كانت صيغة السؤال دالة شطرية متفرعة إلى (=) أو ($\ne$) عندها نجد الصورة من جهة (=) والغاية من جهة ($\ne$) كما في المثال الآتي:

8- لتكن $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}\frac{x^3-8}{x-2},x\ne 2\\ 4x+5,x=2\end{array}$ ابحث الاستمرارية عند 2=x؟

1. $f\left(2\right)=4\left(2\right)+5=8+5=13$
2. $\begin{array}{rl}& {\mathrm{Lim}}_{x\to 2}\frac{x^{-8}}{x-2}\\ & {\mathrm{Lim}}_{x\to 2}\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}={\mathrm{Lim}}_{x\to 2}(x^2+2x+4)\end{array}$
3. $\because {\mathrm{Lim}}_{x\to 2}f\left(x\right)\ne f\left(2\right)$

الدالة غير مستمرة عند x=2