تمارين (2-2)

1- لتكن $f\left(x\right)=x^3+x^2+3$ ابحث استمرارية الدالة عند 3=x؟

1. $f\left(3\right)=(3{)}^3+(3{)}^3+3=27+9+3=39$
2. ${\mathrm{Lim}}_{x\to 3}{x}^3+x^2+3=27+9+3=39$
3. $\because {\mathrm{Lim}}_{x\to 3}f\left(x\right)=f\left(3\right)=39$

f مستمرة عند x=3

2- لتكن $f\left(x\right)=\frac{x^2}{x^2+1}$ أثبت أن f مستمرة في مجالها

أوسع مجال للدالة هو $\text{let }a\in R \mathrm{R}$

1. الصورة معرفة $f\left(a\right)=\frac{a^2}{a^2+1}$
2. $\begin{array}{rl}{\mathrm{Lim}}_{x\to a}& f\left(x\right)={\mathrm{Lim}}_{x\to a}\frac{x^2}{x^2+1}\\ & =\frac{a^2}{a^2+1} \mathrm{موجودة} \mathrm{الغاية}\end{array}$
3. $\because {\mathrm{Lim}}_{x\to a}f\left(x\right)=f\left(a\right)$

f مستمرة في مجالها

3- لتكن $f\left(x\right)=x^3$ ابحث استمرارية الدالة في مجالها

أوسع مجال للدالة هو $\text{let }a\in R \mathrm{R}$

1. معرفة $f\left(a\right)=a^3$
2. موجودة ${\mathrm{Lim}}_{x\to a}{x}^3=a^3$
3. $\because {\mathrm{Lim}}_{x\to a}f\left(x\right)=f\left(a\right)$

f مستمرة في مجالها

4- لتكن $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-2& x\ge -1\\ 3x+1& x<-1\end{array}$ ابحث استمرارية الدالة عند 1-=x؟

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& f(-1)=(-1{)}^2-2=1-2=-1 \mathrm{معرفة}\\ & {\mathrm{Lim}}_{x\to -1}{x}^2-2=(-1{)}^2-2=1-2=-1=L_1\end{array} \\ \begin{array}{rl}& {\mathrm{Lim}}_{x\to -1}3x+1=3(-1)+1=-3+1=-2=L_2\\ & \because L_1\ne L_2\end{array} \end{gathered}$$

الغاية غير موجودة.

f غير مستمرة عند 1-=x

5- لتكن $f\left(x\right)=|x-2|$ ابحث استمرارية الدالة عند 2=x؟

$f\left(x\right)=|x-2|=\{\begin{array}{l}x-2,x\ge 2\\ -x+2,x<2\end{array}$

$\begin{array}{rl}& f\left(2\right)=2-2=0 \mathrm{معرفة}\\ & {\mathrm{Lim}}_{x\to 2}x-2=2-2=0=L_1\\ & {\mathrm{Lim}}_{x\to 4}-x+2=-2+2=0=L_2\\ & \because L_1=L2\end{array}$

الغاية موجودة عند 2=x

f مستمرة عند 2=x

6- لتكن $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}1-2x,x\le 2\\ 1-x^2,x>2\end{array}$ أثبت أن f مستمرة عند 2=x؟

$\begin{array}{rl}& f\left(2\right)=1-2\left(2\right)=1-4=-3\\ & \underset{x\to 2}{lim}1-x^2=1-(2{)}^2=1-4=-3=L_1\\ & \underset{x\to 2}{lim}1-2x=1-2\left(2\right)=1-4=-3=L_2\\ & \because L_1=L_2 \mathrm{موجودة} \mathrm{الغاية}\end{array}$

f مستمرة عند 2=x

7- لتكن $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}ax+3,x\ge 1\\ 3x^2+1,x<1\end{array}$ جد قيمة a إذا كانت f مستمرة عند 1=x؟

بما أن الدالة مستمرة عند 1=x

$\begin{array}{rl}& \because L_1=L_2\\ & {\mathrm{Lim}}_{x\to 1}ax+3={\mathrm{Lim}}_{x\to 1}3x^2+1\\ & a\left(1\right)+3=3(1{)}^2+1\Rightarrow a+3=4\\ & a=1\end{array}$

8- لتكن $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}2x+b,x\le -1\\ x^2+a,x>-1\end{array}$ جد قيمتي $a,b\in R$ إذا كانت f مستمرة عند 1-=x وإن $f\left(2\right)=7$

$\begin{array}{rl}& f\left(2\right)=x^2+a=7\Rightarrow (2{)}^2+a=7\\ & 4+a=7\Rightarrow a=3\\ & \because L_1=L_2\\ & {\mathrm{Lim}}_{x\to -1}{x}^2+3={\mathrm{Lim}}_{x\to -1}2x+b\\ & (-1{)}^2+3=2(-1)+b\\ & 1+3=-2+b\Rightarrow 4=-2+b\\ & b=4+2⟹b=6\end{array}$