تمارين (3-2)

(1)- جد مجموع حدود كل من المتتابعات الهندسية الآتية:

أ- $⟨1,2,4,\dots 128⟩$

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}\cdot {\mathrm{r}}^{\mathrm{n}-1}\\ & 128=1\times 2^{\mathrm{n}-1}\\ & 2^{\mathrm{n}-1}=128=2^7\\ & \mathrm{n}-1=7\\ & \mathrm{n}=7+1=8\\ & \begin{array}{rl}& {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}(1-{\mathrm{r}}^{\mathrm{n}})}{(1-\mathrm{r})}\\ & {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{1(1-2^8)}{(1-2)}=\frac{1(1-256)}{-1}\\ & {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=1\times \frac{-255}{-1}=255\\ & {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=255\end{array}\end{array}$

ب- $⟨3,-6,12,\dots ,-512⟩$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& {\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}\cdot {\mathrm{r}}^{\mathrm{n}-1}\\ & 768=3\times (-2{)}^{\mathrm{n}-1}\end{array} \\ (-2{)}^{\mathrm{n}-1}=\frac{768}{3}=256=(-2{)}^8 \\ \begin{array}{rl}& \mathrm{n}-1=8\\ & \mathrm{n}=8+1=9\end{array} \\ \begin{array}{rl}& {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}(1-{\mathrm{r}}^{\mathrm{n}})}{(1-\mathrm{r})}\\ & {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{3(1-(-2{)}^9)}{(1-(-2\left)\right)}=\frac{3(1-(-512\left)\right)}{1+2}\\ & {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{3(1-(-512\left)\right)}{3}=1-(-512)=1+512=513\\ & {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=513\end{array} \end{gathered}$$

ج- $⟨\frac{1}{2},\frac{-1}{4},\frac{1}{8},\dots ,\frac{1}{256}⟩$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& {\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}\cdot {\mathrm{r}}^{\mathrm{n}-1}\\ & \frac{-1}{256}=\frac{1}{2}\times {(-\frac{1}{2})}^{\mathrm{n}-1}\to \frac{2}{1}\times \frac{-1}{256}=\frac{2}{1}\times \frac{1}{2}\times {(-\frac{1}{2})}^{\mathrm{n}-1}\\ & \frac{2}{1}\times \frac{-1}{256}={(-\frac{1}{2})}^{\mathrm{n}-1}\Rightarrow {(-\frac{1}{2})}^{\mathrm{n}-1}=\frac{-1}{128}={(-\frac{1}{2})}^7\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \mathrm{n}-1=7\\ & \mathrm{n}=7+1=8\end{array} \\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}(1-{\mathrm{r}}^{\mathrm{n}})}{(1-\mathrm{r})} \\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\frac{1}{2}-(\frac{1}{256}\times \frac{1}{2})}{(1+\frac{1}{2})}=\frac{\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{512}\right)}{\frac{3}{2}} \\ \begin{array}{rl}& {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{2}{3}\times (\frac{1}{2}-\frac{1}{512})\\ & {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{2}{3}\times \left(\frac{1}{2}\right)-\frac{2}{3}\times \left(\frac{1}{512}\right)=\frac{1}{3}-\frac{1}{256}=\frac{256-1}{768}=\frac{255}{768}=0.332\\ & {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=0.332\end{array} \end{gathered}$$

(2)- جد المتتابعة الهندسية التي حدها الأول = 16- ومجموع الحدود الثلاثة الأولى منها يساوي (48-)

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}+\mathrm{ar}+{\mathrm{ar}}^2\\ & {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}(1+\mathrm{r}+{\mathrm{r}}^2)\\ & -48=-16(1+\mathrm{r}+{\mathrm{r}}^2)\\ & (1+\mathrm{r}+{\mathrm{r}}^2)=\frac{-48}{-16}=3\\ & {\mathrm{r}}^2+\mathrm{r}+1-3=0\\ & {\mathrm{r}}^2+\mathrm{r}-2=0\\ & (\mathrm{r}+2)(\mathrm{r}-1)=0\end{array} \\ \begin{array}{c}(\mathrm{r}+2)=0\to \mathrm{r}=-2\\ \mathrm{or} (\mathrm{r}-1)=0\to \mathrm{r}=1\end{array} \\ \mathrm{r}=-2 \\ ⟨{\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}⟩=⟨-16,32,-64,\dots ⟩ \\ \mathrm{r}=1 \\ ⟨{\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}⟩=⟨-16,-16,-16,\dots ⟩ \end{gathered}$$

(3)- جد الحد العاشر من المتتابعة الهندسية التي يكون مجموع الحدود السبعة الأولى منها (547) وأساسها (3-)

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}(1-{\mathrm{r}}^{\mathrm{n}})}{1-\mathrm{r}}\\ & 547=\frac{\mathrm{a}(1-(-3{)}^7)}{1-(-3)}\\ & 547=\frac{\mathrm{a}(1-(-2187\left)\right)}{1+3}\\ & 547=\frac{\mathrm{a}(1+2187)}{1+3}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 547=\frac{\mathrm{a}\left(2188\right)}{4}\to 2188\mathrm{a}=547\times 4\\ & \mathrm{a}=\frac{2188}{2188}=1\\ & {\mathrm{U}}_{10}={\mathrm{ar}}^9=1\times (-3{)}^9\\ & {\mathrm{U}}_{10}=-19683\text{ا}\end{array} \end{gathered}$$

(4)- متتابعة هندسية حدها الأول = 256 وأساسها ($\frac{-1}{2}$) ومجموع (n) من حدودها ابتداءً من الحد الأول يساوي $170\frac{1}{2}$ فما قيمة (n)؟

$$\begin{gathered} {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}(1-{\mathrm{r}}^{\mathrm{n}})}{1-\mathrm{r}}\to 170\frac{1}{2}=\frac{256\times (1-{(-\frac{1}{2})}^{\mathrm{n}})}{1-(-\frac{1}{2})} \\ 170\frac{1}{2}=\frac{256\times (1-{(-\frac{1}{2})}^{\mathrm{n}})}{\frac{3}{2}}\to \frac{170}{2}\times \frac{3}{2}=256\times (1-{(-\frac{1}{2})}^{\mathrm{n}}) \\ \begin{array}{rl}& \frac{170}{2}\times \frac{3}{2}=256-256\times {(-\frac{1}{2})}^{\mathrm{n}}\\ & \frac{510}{2}\times \frac{1}{2}=256-256\times {(-\frac{1}{2})}^{\mathrm{n}}\\ & 255\times \left(\frac{1}{2}\right)=256-256\times {(-\frac{1}{2})}^{\mathrm{n}}\\ & 255\frac{1}{2}-256=-256+256-256\times {(-\frac{1}{2})}^{\mathrm{n}}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& -\frac{1}{2}=256\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\mathrm{n}}\\ & -\frac{1}{2}\times \frac{1}{256}=\frac{256}{256}\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\mathrm{n}}\\ & -\frac{1}{1024}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\mathrm{n}}\to -\frac{1}{2^{10}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\mathrm{n}}\\ & {(-\frac{1}{2})}^{10}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\mathrm{n}}\to \mathrm{n}=10\end{array} \end{gathered}$$

(5)- من المعلوم أن عدد مربعات رقعة الشطرنج = 64 مربعاً فلو أراد شخص أن يضع على المربع الأول حبة حنطة واحدة وعلى المربع الثاني حبتين وعلى المربع الثالث (4) حبات وعلى المربع الرابع (8) حبات وهكذا فما عدد الحبوب التي يمكن وضعها على المربع الأخير وما مجموع الحبوب على الرقعة [استعن باللوغاريتمات لإيجاد النتائج].

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& {\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}\cdot {\mathrm{r}}^{\mathrm{n}-1}\\ & {\mathrm{U}}_{64}=1\times (2{)}^{64-1}\\ & {\mathrm{U}}_{64}=1\times (2{)}^{63}\\ & {\mathrm{U}}_{64}=(2{)}^{63}\\ & \log {\mathrm{U}}_{64}=\log (2{)}^{63}\\ & {\log }_{64}=63\log \left(2\right)\\ & {\log }_{64}=63\times 0.3010\\ & {\log }_{64}=18.96489\\ & {\mathrm{U}}_{64}={10}^{18.96489}\\ & {\mathrm{U}}_{64}\simeq 9\times {10}^{18}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}(1-{\mathrm{r}}^{\mathrm{n}})}{1-\mathrm{r}}\\ & {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{1(1-2^{64})}{1-2}\\ & {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{1-2^{64}}{-1}=2^{64}\\ & \log {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\log (2{)}^{64}\\ & \log {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=64\log \left(2\right)\\ & \log {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=64\times 0.3010\\ & \log {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=19.2659\\ & {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}={10}^{19.2659}\\ & {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}\simeq 1.8\times {10}^{19}\end{array} \end{gathered}$$

(6)- عين المتتابعة الهندسية التي حدها الأول هو (16-) ومجموع الحدود الثلاثة الأولى منها يساوي (48-).

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}+\mathrm{ar}+{\mathrm{ar}}^2\\ & {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}(1+\mathrm{r}+{\mathrm{r}}^2)\\ & 48=-16(1+\mathrm{r}+{\mathrm{r}}^2)\\ & (1+\mathrm{r}+{\mathrm{r}}^2)=\frac{48}{16}=3\\ & {\mathrm{r}}^2+\mathrm{r}+1-3=0\\ & {\mathrm{r}}^2+\mathrm{r}-2=0\\ & (\mathrm{r}+2)(\mathrm{r}-1)=0\end{array} \\ \begin{array}{c}(\mathrm{r}+2)=0\to \mathrm{r}=-2\\ \mathrm{or} (\mathrm{r}-1)=0\to \mathrm{r}=1\end{array} \\ \mathrm{r}=-2 \\ ⟨{\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}⟩=⟨16,-32,64,\dots ⟩ \\ \mathrm{r}=1 \\ ⟨{\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}⟩=⟨16,16,16,\dots ⟩ \end{gathered}$$

(7)- إذا كانت النسبة بين مجموع الحدود الأربعة الأولى لمتتابعة هندسية إلى مجموع الحدود الثمانية الأولى منها كنسبة $\frac{1}{17}$ فما أساس المتتابعة؟

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& {\mathrm{S}}_4=\frac{\mathrm{a}(1-{\mathrm{r}}^4)}{1-\mathrm{r}}\to {\mathrm{S}}_8=\frac{\mathrm{a}(1-{\mathrm{r}}^8)}{(1-\mathrm{r})}=\frac{\mathrm{a}(1-{\mathrm{r}}^4)(1+{\mathrm{r}}^4)}{(1-\mathrm{r})}\\ & \frac{{\mathrm{S}}_4}{{\mathrm{S}}_8}=\frac{1}{17}\to \frac{\frac{\mathrm{a}(1-{\mathrm{r}}^4)}{1-\mathrm{r}}}{\frac{\mathrm{a}(1-{\mathrm{r}}^4)(1+{\mathrm{r}}^4)}{(1-\mathrm{r})}}=\frac{1}{17}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{a}(1-{\mathrm{r}}^4)}{(1-\mathrm{r})}\times \frac{(1-\mathrm{r})}{\mathrm{a}+(1-{\mathrm{r}}^4)(1+{\mathrm{r}}^4)}=\frac{1}{17}\\ & \frac{1}{(1+{\mathrm{r}}^4)}=\frac{1}{17}\to =17\end{array} \\ \begin{array}{rl}& {\mathrm{r}}^4=17-1\\ & {\mathrm{r}}^4=16\to {\mathrm{r}}^4=2^4\to \mathrm{r}=\mp 2\end{array} \end{gathered}$$

(8)- متتابعة هندسية حدها الثاني (128) وحدها السابع (4) فما مجموع الحدود التسعة الأولى منها؟

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}{\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}& =\mathrm{a}\cdot {\mathrm{r}}^{\mathrm{n}-1}\\ 128& =\mathrm{a}\cdot {\mathrm{r}}^1\\ 4& =\mathrm{a}\cdot {\mathrm{r}}^6\end{array} \\ \frac{{\mathrm{ar}}^6}{{\mathrm{ar}}^{\mathrm{\prime }}}=\frac{4}{128} \\ \frac{{\mathrm{ar}}^6}{\mathrm{ar}}=\frac{4}{128}=\frac{1}{32} \\ {\mathrm{r}}^5=\frac{1}{32}\to {\mathrm{r}}^5=\frac{1}{2^5}\to {\mathrm{r}}^5={\left(\frac{1}{2}\right)}^5\to \mathrm{r}=\frac{1}{2} \\ \begin{array}{rl}& 128=\mathrm{a}\times \frac{1}{2}\\ & 128=\frac{1}{2}\mathrm{a}\to 128\times 2=\mathrm{a}\to \mathrm{a}=256\\ & ⟨{\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}⟩=⟨256,128,64,32,16,8,4,2,1,\dots ⟩\\ & {\mathrm{S}}_9=\frac{\mathrm{a}(1-{\mathrm{r}}^9)}{(1-\mathrm{r})}=\frac{256\times (1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^9)}{1-\frac{1}{2}}=\frac{256\times \left(\frac{1-512}{512}\right)}{-\frac{1}{2}}\\ & \begin{array}{rl}& {\mathrm{S}}_9=256\times \left(\frac{-511}{512}\right)\times -\frac{2}{1}=511\\ & {\mathrm{S}}_9=511\end{array}\end{array} \end{gathered}$$

(9)- يودع رجل في بداية كل سنة مبلغ (5) ملايين دينار في مصرف ليريح ربحاً مركباً بسعر 5% فما مقدار رصيده في نهاية السنة السادسة مع العلم أن $\log \left(105\right)=2.0212 , \log 3767=3.5767$؟

$$\begin{gathered} {\mathrm{W}}_{\mathrm{t}}=\mathrm{A}{[1+\frac{0.0\mathrm{P}}{\mathrm{n}}]}^{\mathrm{h}} \\ \begin{array}{rl}& {\mathrm{W}}_{\mathrm{t}}=5000000\times (1.05)\times \frac{1\times \left[\right(1.05{)}^6-1]}{(1.05-1)}\\ & {\mathrm{W}}_{\mathrm{t}}=\frac{5000000\times (1.05)}{1}\times \frac{(1.05{)}^6-1}{0.05}\\ & {\mathrm{W}}_{\mathrm{t}}=21\times 5000000\times \left[\right(1.05{)}^6-1]\end{array} \end{gathered}$$

(10)- وضع رجل مبلغ (500000) دينار في مصرف بحساب الربح المركب بسعر (4%) لمدة 20 سنة فما جملة المبلغ مع العلم أن $\log \left(104\right)=2.0170 , \log 500=2.6990 , \log 1094=3.0390$؟

$$\begin{gathered} {\mathrm{W}}_{\mathrm{t}}=\text{A.}(1.0\mathrm{P}{)}^{-\mathrm{t}} \\ \begin{array}{rl}& \mathrm{W}=500000\times (1.04{)}^{20}\\ & \log \mathrm{W}=\log [500000\times (1.04{)}^{20}]\\ & \log \mathrm{W}=\log 500000+\log (1.04{)}^{20}\\ & \log \mathrm{W}=5.698970+(20\times 0.017033)\\ & \log \mathrm{W}=5.698970+(0.340660)\\ & \log \mathrm{W}=6.039630\end{array} \\ \mathrm{W}=1,095,544 \end{gathered}$$