تمرينات (2 - 7)

(1)-

أ) أوجد المدى للقيم التالية: 12، 9، 7، 8، 0، 3

المدى R $\mathit{R}\mathbf{=}\mathbf{12}\mathbf{-}\mathbf{0}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{=}\mathbf{13}$

ب) أوجد المدى من الجدول التالي:

المدى = الحد الأعلى للفئة الأخيرة - الحد الأدنى للفئة الأولى + 1

$\mathit{R}\mathbf{=}\mathbf{32}\mathbf{-}\mathbf{20}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{=}\mathbf{13}$

(2)- عرف الإنحراف المعياري ثم احسب الإنحراف المعياري للقيم التالية: 2، 4، 6، 8، 10

الإنحراف المعياري: هو القيمة الموجبة للجذر التربيعي لمتوسط مربعات إنحرافات قيم مفردات التوزيع عن وسطها الحسابي ويرمز له بالرمز (S).

$\begin{array}{rl}& \mathbf{X}\mathbf{=}\frac{\mathbf{30}}{\mathbf{5}}\mathbf{=}\mathbf{6}\\ & {\mathbf{S}}_{\mathbf{x}}\mathbf{=}\sqrt{\frac{\mathbf{\sum }{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{n}}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{X}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\frac{\mathbf{220}}{\mathbf{5}}}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{6}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\\ & {\mathbf{S}}_{\mathbf{x}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{44}\mathbf{-}\mathbf{36}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{8}}\\ & {\mathbf{S}}_{\mathbf{x}}\mathbf{=}\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{2}}\mathbf{المعياري}\mathbf{ }\mathbf{الإنحراف}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{المجموع}\end{array}$

(3)- أوجد الإنحراف المعياري للأعداد: 3، 6، 2، 1، 7، 5 ثم أضف 5 إلى كل عدد منها وأثبت أن هذه الإضافة لا تؤثر على قيمة الإنحراف المعياري ولكنها تؤثر على قيمة الوسط الحسابي.

$\begin{array}{rl}& \overline{\mathbf{X}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{24}}{\mathbf{6}}\mathbf{=}\mathbf{4}\\ & {\mathbf{S}}_{\mathbf{x}}\mathbf{=}\sqrt{\frac{\mathbf{\sum }{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{n}}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{X}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\frac{\mathbf{124}}{\mathbf{6}}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{4}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\\ & \mathbf{=}\sqrt{\mathbf{4}\mathbf{.66}}\\ & {\mathbf{S}}_{\mathbf{x}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{.16}\mathbf{ }\mathbf{المعياري}\mathbf{ }\mathbf{الإنحراف}\\ & \mathbf{10}\mathbf{,}\mathbf{12}\mathbf{,}\mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{7}\mathbf{,}\mathbf{11}\mathbf{,}\mathbf{8}\mathbf{ }\mathbf{الإضافة}\mathbf{ }\mathbf{بعد}\mathbf{ }\mathbf{الأعداد}\end{array}$

$\mathit{S}\mathit{x}\mathbf{=}\sqrt{\frac{\mathbf{514}}{\mathbf{5}}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{9}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{4}\mathbf{.66}}$

لاحظ أن الوسط الحسابي x قد تغير

(4)- جد معامل الارتباط بين المتغيرين x ،y ثم بين نوعه؟

$\begin{array}{rl}& \overline{\mathbf{X}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{54}}{\mathbf{6}}\mathbf{=}\mathbf{9}\\ & {\mathbf{S}}_{\mathbf{x}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{.66}\\ & \overline{\mathbf{X}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\overline{\mathbf{y}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{12}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{4}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{S}\mathbf{x}\mathbf{=}\sqrt{\frac{\mathbf{14}}{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{2}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{0}\mathbf{.666}}\\ & \mathbf{S}\mathbf{y}\mathbf{=}\sqrt{\frac{\mathbf{56}}{\mathbf{3}}\mathbf{(}\mathbf{4}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{2}\mathbf{.666}}}\end{array}$

الارتباط طردي تام

$\begin{array}{rl}\mathbf{p}& \mathbf{=}\frac{\frac{\mathbf{\sum }\mathbf{x}\mathbf{y}}{\mathbf{n}}\mathbf{-}\overline{\mathbf{x}}\mathbf{\cdot }\overline{\mathbf{y}}}{{\mathbf{S}}_{\mathbf{x}}{\mathbf{S}}_{\mathbf{y}}}\\ & \mathbf{=}\frac{\frac{\mathbf{28}}{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{\times }\mathbf{4}}{\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{.816}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{.632}\mathbf{)}}\\ & \mathbf{=}\frac{\mathbf{1}\mathbf{.33}}{\mathbf{1}\mathbf{.33}}\mathbf{=}\mathbf{1}\end{array}$

(5)- في السؤال السابق لو ضربت قيم x في 4 تحصل على جدول آخر، جد معامل الارتباط للقيم الجديدة وقارن النتيجة بالسؤال السابق.

$\begin{array}{c}\overline{\mathbf{X}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{24}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{8}\mathbf{,}\overline{\mathbf{y}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{12}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{4}\\ \mathbf{S}\mathbf{x}\mathbf{=}\sqrt{\frac{\mathbf{224}}{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{64}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{10}\mathbf{.666}}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{.265}\end{array}$

$\begin{array}{rl}\mathbf{S}\mathbf{y}\mathbf{=}& \sqrt{\frac{\mathbf{56}}{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{16}}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{.632}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{السابق}\mathbf{ }\mathbf{السؤال}\mathbf{ }\mathbf{من}\\ \mathbf{\therefore }\mathbf{\mathbb{P}}& \mathbf{=}\frac{\frac{\mathbf{112}}{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{\left(}\mathbf{8}\mathbf{\right)}\mathbf{\left(}\mathbf{4}\mathbf{\right)}}{\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{.265}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{.632}\mathbf{)}}\\ & \mathbf{=}\frac{\mathbf{5}\mathbf{.33}}{\mathbf{5}\mathbf{.33}}\\ & \mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{تام}\mathbf{ }\mathbf{طردي}\mathbf{ }\mathbf{الإرتباط}\end{array}$

نلاحظ أن لو ضربت قيم أحد المتغيرين في عدد ما لم يتغير معامل الارتباط.

(6)- جد معامل الارتباط بين المتغيرين x ،y ثم بين نوعه؟

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}\overline{\mathbf{X}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{25}}{\mathbf{5}}\mathbf{=}\mathbf{5}\mathbf{,}\overline{\mathbf{y}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{5}}{\mathbf{5}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1}\\ \mathbf{S}\mathbf{x}\mathbf{=}\sqrt{\frac{\mathbf{285}}{\mathbf{35}}\mathbf{-}\mathbf{25}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{32}}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{.265}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \mathbf{S}\mathbf{y}\mathbf{=}\sqrt{\frac{\mathbf{45}}{\mathbf{5}}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{8}}\mathbf{=}\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{2}}\\ & \mathbf{r}\mathbf{=}\frac{\frac{\mathbf{-}\mathbf{55}}{\mathbf{5}}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}}{\mathbf{4}\sqrt{\mathbf{2}}\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{11}\mathbf{-}\mathbf{5}}{\mathbf{16}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{16}}{\mathbf{16}}\\ & \mathbf{r}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{تام}\mathbf{ }\mathbf{عكسي}\mathbf{ }\mathbf{الإرتباط}\end{array} \end{gathered}$$