تمرينات (2 - 5)

(1)- جد مقدار واتجاه كلّ من المتجهات الآتية موضحاً بالرسم:

$(-2,-2),(3,0),\sqrt{3}{\overrightarrow{U}}_1+{\overrightarrow{U}}_2,-{\overrightarrow{U}}_1-2{\overrightarrow{U}}_2$

1) (2-، 2-)

$\mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{\parallel }\mathbf{=}\sqrt{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{2}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{2}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{8}}\mathbf{=}\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{2}}\mathbf{\text{unit }}\mathbf{\text{المتجه طول}}$

$$\begin{gathered} \left\{Co{s}^{}Q=\frac{x}{\parallel B\parallel }\cdot =\frac{-2}{2\sqrt{2}}=\frac{-1}{\sqrt{2}} \\ Si{n}^{}Q=\frac{y}{\parallel \overrightarrow{B}\parallel }=\frac{-2}{2\sqrt{2}}=\frac{-1}{\sqrt{2}}\right\}\mathbf{ }\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{الموجبة}\mathbf{ }\mathbf{وقيمتها}\mathbf{ }\mathbf{الثالث}\mathbf{ }\mathbf{الربع}\mathbf{ }\mathbf{في}\mathbf{ }\mathbf{تقع}\mathbf{ }\mathit{Q}\mathbf{ }\mathbf{الزاوية} \end{gathered}$$

$\mathit{Q}\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{+}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{4}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{5}\mathbf{\pi }}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{المتجه}\mathbf{ }\mathbf{اتجاه}$

2) (0، 3)

$\mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{\parallel }\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{3}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{0}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{9}}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{\text{units}}\mathbf{\text{ المتجه طول}}$

$$\begin{gathered} \left\{{\mathrm{Cos}}^{}Q=\frac{x}{\parallel \overrightarrow{B}\parallel }=\frac{3}{3}=1 \\ {\mathrm{Sin}}^{}Q=\frac{y}{\parallel \overrightarrow{B}\parallel }=\frac{0}{3}=0\right\}\mathbf{ }\mathbf{السينات}\mathbf{ }\mathbf{لمحور}\mathbf{ }\mathbf{الموجب}\mathbf{ }\mathbf{الإتجاه}\mathbf{ }\mathbf{على}\mathbf{ }\mathbf{ينطبق}\mathbf{ }\mathbf{المتجه}\mathbf{ }\mathbf{لاحظ} \\ \mathbf{Q}\mathbf{=}{\mathbf{0}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{ }\mathbf{المتجه}\mathbf{ }\mathbf{اتجاه} \end{gathered}$$

3) $\sqrt{\mathbf{3}}{\overrightarrow{\mathbf{U}}}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}{\overrightarrow{\mathbf{U}}}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{(}\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{)}$

$\mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{\parallel }\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\sqrt{\mathbf{3}}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{1}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{3}\mathbf{+}\mathbf{1}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{4}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{\text{unit }}\mathbf{\text{المتجه طول}}$

$$\begin{gathered} \left\{Co{s}^{}Q=\frac{x}{\parallel \overrightarrow{B}\parallel }=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ Si{n}^{}\mathbb{Q}=\frac{y}{\parallel \overrightarrow{B}\parallel }=\frac{1}{2}\right\}\mathbf{ }\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{6}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{الموجبة}\mathbf{ }\mathbf{فالزاوية}\mathbf{ }\mathbf{موجب}\mathbf{ }\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{ }\mathbf{من}\mathbf{ }\mathbf{كل}\mathbf{ }\mathbf{لأن}\mathbf{ }\mathbf{الأول}\mathbf{ }\mathbf{الربع}\mathbf{ }\mathbf{في}\mathbf{ }\mathbf{تقع}\mathbf{ }\mathit{Q}\mathbf{ }\mathbf{الزاوية} \end{gathered}$$

$\mathit{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{6}}\mathbf{ }\mathbf{المتجه}\mathbf{ }\mathbf{اتجاه}$

4) $-{\overrightarrow{\mathbb{U}}}_1-\sqrt{3}{\overrightarrow{U}}_2=(-1,-\sqrt{3})$

$\mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{\parallel }\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\sqrt{\mathbf{3}}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{3}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{4}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{\text{units }}\mathbf{\text{المتجه}}$

$$\begin{gathered} \left\{Co{s}^{}Q=\frac{x}{\parallel \overrightarrow{B}\parallel }=\frac{-1}{2} \\ Si{n}^{}Q=\frac{y}{\parallel \overrightarrow{B}\parallel }=\frac{-\sqrt{3}}{2}\right\}\mathbf{ }\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{موجبة}\mathbf{ }\mathbf{والزاوية}\mathbf{ }\mathbf{سالب}\mathbf{ }\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{ }\mathbf{من}\mathbf{ }\mathbf{كل}\mathbf{ }\mathbf{لأن}\mathbf{ }\mathbf{الثالث}\mathbf{ }\mathbf{الربع}\mathbf{ }\mathbf{في}\mathbf{ }\mathbf{تقع}\mathbf{ }\mathit{Q}\mathbf{ }\mathbf{الزاوية} \end{gathered}$$

$\mathbf{Q}\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{+}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{4}\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{المتجه}\mathbf{ }\mathbf{اتجاه}$

(2)- بسط ما يأتي:

$4(1,-1)\text{،}2(1,-1)،-7(1,5)\text{،}3(2,-1)+4(-1,5)،7({\overrightarrow{\mathrm{U}}}_1+{\overrightarrow{\mathrm{U}}}_2)،-4\left({\overrightarrow{2\mathrm{U}}}_1{\overrightarrow{\mathrm{U}}}_2\right)$

$$\begin{gathered} a) 4(1,-1) = \mathbf{(}\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{\left)} \\ b\right) 2(1,-1)=\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)} \\ c)\hspace{0.17em}-7(1,5) = \mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{7}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{35}\mathbf{\left)} \\ d\right) 3(2,-1)+4(-1,5) = \mathbf{(}\mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{20}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{17}\mathbf{)} \\ e) 7({\overrightarrow{3U}}_1+2{\overrightarrow{U}}_2) = \mathbf{7}\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{21}\mathbf{,}\mathbf{14}\mathbf{\left)} \\ f\right) -4\left({\overrightarrow{U}}_1{\overrightarrow{U}}_2\right) = \mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{8}\mathbf{,}\mathbf{4}\mathbf{)} \end{gathered}$$

(3)- عبرّ عن كل من المتجهات الآتية بواسطة متجهي الوحدة $\overrightarrow{:U_1},\overrightarrow{U_2}$

$(-1,4)\text{،}(-3,-5)\text{،}(0,-1)\text{،}(5,3)\text{،}(2,0)\text{،}(2,3)$

$$\begin{gathered} a) (-1,4)=\mathbf{-}{\overrightarrow{\mathbf{𝕌}}}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{4}{\overrightarrow{\mathbf{U}}}_{\mathbf{2}} \\ b) (-3,-5)=\mathbf{-}\mathbf{3}{\overrightarrow{\mathbf{U}}}_{\mathbf{1}}\mathbf{-}\mathbf{5}{\overrightarrow{\mathbf{U}}}_{\mathbf{2}} \\ c) (0,-1)=\mathbf{-}{\overrightarrow{\mathbf{U}}}_{\mathbf{2}} \\ d) (5,3)=\mathbf{5}{\overrightarrow{\mathbf{U}}}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{3}{\overrightarrow{\mathbf{U}}}_{\mathbf{2}} \\ e) (2,0)=\mathbf{2}{\overrightarrow{\mathbf{U}}}_{\mathbf{1}} \\ f) (2,3)=\mathbf{2}{\overrightarrow{\mathbf{U}}}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{3}{\overrightarrow{\mathbf{U}}}_{\mathbf{2}} \end{gathered}$$

(4)- $\mathrm{بحيث} \mathrm{متجه} \mathrm{أي} \overrightarrow{A}\text{وكانx ، y}\in R\text{حيث}\overrightarrow{E}=(x,y) \mathrm{كان} \mathrm{إذا}$

$\overrightarrow{\mathrm{E}}=(0,0) \mathrm{أن} \mathrm{على} \mathrm{برهن} \overrightarrow{ \mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{E}}=\overrightarrow{\mathrm{E}}+\overrightarrow{\mathrm{A}}=\overrightarrow{\mathrm{A}}$

الإثبات: بإضافة (A-) إلى الطرفين.

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{+}\overrightarrow{\mathbf{E}}\mathbf{=}\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{-}\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{+}\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{+}\overrightarrow{\mathbf{E}}\mathbf{=}\mathbf{-}\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{+}\overrightarrow{\mathbf{A}}\\ & \mathbf{(}\mathbf{-}\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{+}\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{)}\mathbf{+}\overrightarrow{\mathbf{E}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{ }\mathbf{الجمعي}\mathbf{ }\mathbf{والنظير}\mathbf{ }\mathbf{التجميع}\mathbf{ }\mathbf{خاصية}\\ & \overrightarrow{\mathbf{0}}\mathbf{+}\overrightarrow{\mathbf{E}}\mathbf{=}\overrightarrow{\mathbf{0}}\mathbf{⟹}\overrightarrow{\mathbf{E}}\mathbf{=}\overrightarrow{\mathbf{0}}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0}\mathbf{)}\\ & \overrightarrow{\mathbf{E}}\mathbf{+}\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{=}\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{\Rightarrow }\overrightarrow{\mathbf{𝔼}}\mathbf{+}\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{)}\mathbf{=}\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{)}\end{array}$

وبنفس الطريقة الطرف الثاني:

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{\mathbf{𝔼}}\mathbf{+}\mathbf{(}\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{\left)}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\overrightarrow{\mathbf{0}}\mathbf{ }\mathbf{الجمعي}\mathbf{ }\mathbf{والنظير}\mathbf{ }\mathbf{التجميع}\mathbf{ }\mathbf{خاصية}\\ & \overrightarrow{\mathbf{E}}\mathbf{+}\overrightarrow{\mathbf{0}}\mathbf{=}\overrightarrow{\mathbf{0}}\mathbf{\Rightarrow }\overrightarrow{\mathbf{𝔼}}\mathbf{=}\overrightarrow{\mathbf{0}}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{0}\mathbf{)}\end{array}$

(5)- $\overrightarrow{A}=\overrightarrow{-B}نأ \text{أثبت}\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}=\overrightarrow{B}+\overrightarrow{A}=(0,0) \mathrm{كان} \mathrm{إذا}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{+}\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0}\mathbf{)}\\ & \mathbf{ }\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{+}\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{)}\mathbf{=}\overrightarrow{\mathbf{0}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{للطرفين}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{-}\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{بإضافة}\\ & \overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{+}\mathbf{(}\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{\left)}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{-}\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{الجمعي}\mathbf{ }\mathbf{والمحايد}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{التجميع}\mathbf{ }\mathbf{خاصية}\\ & \mathbf{\Rightarrow }\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{+}\overrightarrow{\mathbf{0}}\mathbf{=}\mathbf{-}\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{ }\mathbf{النظير}\mathbf{ }\mathbf{العنصر}\mathbf{ }\mathbf{خاصية}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{=}\mathbf{-}\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{ }\mathbf{الجمعي}\mathbf{ }\mathbf{المحايد}\mathbf{ }\mathbf{خاصية}\\ & \overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{=}\mathbf{-}\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{ }\mathbf{فأن}\mathbf{ }\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{+}\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{:}\mathbf{كان}\mathbf{ }\mathbf{إذا}\mathbf{ }\mathbf{الطريقة}\mathbf{ }\mathbf{بنفس}\\ & \begin{array}{rl}& \mathbf{(}\mathbf{-}\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{+}\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{)}\mathbf{+}\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{=}\mathbf{-}\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{+}\overrightarrow{\mathbf{0}}\mathbf{ }\mathbf{الخواص}\mathbf{ }\mathbf{نفس}\mathbf{ }\mathbf{نتبع}\mathbf{ }\mathbf{الطرفين}\mathbf{ }\mathbf{إلى}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{B}\mathbf{ }\mathbf{بإضافة}\\ & \overrightarrow{\mathbf{0}}\mathbf{+}\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{=}\mathbf{-}\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{\Rightarrow }\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{=}\mathbf{-}\overrightarrow{\mathbf{B}}\end{array}\end{array} \end{gathered}$$

(6)- $\overrightarrow{\mathrm{A}}=(\sqrt{3},1),\overrightarrow{\mathrm{B}}=(\sqrt{2},\sqrt{3}),\mathrm{K}=3,\mathrm{L}=-2 \mathrm{كان} \mathrm{إذا}$

فجد كلا مما يأتي: $$\begin{gathered} K\overrightarrow{B},L\overrightarrow{A},\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B},K\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B},K\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B},K\overrightarrow{A}+\overrightarrow{LB} \\ K\overrightarrow{A}-\mathrm{L}\overrightarrow{\mathrm{B}}\cdot \mathrm{K}(\overrightarrow{\mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{B}})،(\mathrm{L}+\mathrm{K})\overrightarrow{\mathrm{A}}،(\mathrm{L}+\mathrm{K})\overrightarrow{(\mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{B})} \\ \mathrm{K}(\mathrm{L}\overrightarrow{\mathrm{A}}+\mathrm{K}\overrightarrow{\mathrm{B})},\mathrm{K}L(\overrightarrow{\mathrm{A}}-\overrightarrow{\mathrm{B}}) \end{gathered}$$

(7)- حل السؤال 6 بالتعبير عن كل متجه من المتجهات بواسطة متجهي الوحدة ${\overrightarrow{U}}_1,{\overrightarrow{U}}_2$

(8)- عبرّ عن المتجهات الآتية بواسطة متجهي الوحدة ${\overrightarrow{U}}_1,{\overrightarrow{U}}_2$

أ) متجه طوله 3 واتجاهه $\frac{\mathrm{\pi }}{3}$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{C}\mathbf{o}{\mathbf{s}}^{\mathbf{}}\mathbf{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{المتجه}\mathbf{ }\mathbf{طول}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{C}\mathbf{o}{\mathbf{s}}^{\mathbf{}}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{3}}\\ & \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{3}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{x}\mathbf{==}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}\\ & \mathbf{S}\mathbf{i}{\mathbf{n}}^{\mathbf{}}\mathbf{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{المتجه}\mathbf{ }\mathbf{طول}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{S}\mathbf{i}{\mathbf{n}}^{\mathbf{}}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{3}}\\ & \frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{3}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\\ & \overrightarrow{\mathbf{ }\mathbf{B}}\mathbf{=}\mathbf{(}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}\mathbf{,}\frac{\mathbf{3}\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\mathbf{)}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}{\overrightarrow{\mathbf{U}}}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{3}\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}{\overrightarrow{\mathbf{U}}}_{\mathbf{2}\mathbf{ }}\mathbf{ }\mathbf{الوحدة}\mathbf{ }\mathbf{متجهي}\mathbf{ }\mathbf{بدلالة}\mathbf{ }\overrightarrow{\mathbf{ }\mathbf{B}}\mathbf{ }\mathbf{المتجه}\end{array}$

ب) متجه طوله 10 واتجاهه $\frac{\mathrm{\pi }}{6}$

$\begin{array}{c}\mathbf{C}\mathbf{o}{\mathbf{s}}^{\mathbf{}}\mathbf{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{المتجه}\mathbf{ }\mathbf{طول}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{C}\mathbf{o}{\mathbf{s}}^{\mathbf{}}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{6}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{10}}\\ \mathbf{ }\frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{10}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{10}\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{5}\sqrt{\mathbf{3}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{S}\mathbf{i}{\mathbf{n}}^{\mathbf{}}\mathbf{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{المتجه}\mathbf{ }\mathbf{طول}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{S}\mathbf{i}{\mathbf{n}}^{\mathbf{}}\frac{\mathbf{n}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{10}}\\ & \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{10}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{10}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{5}\\ & \overrightarrow{\mathbf{ }\mathbf{B}}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{5}\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{5}\sqrt{\mathbf{3}}{\overrightarrow{\mathbf{U}}}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{5}\overrightarrow{\mathbf{U}}\mathbf{2}\end{array}$

ج) متجه طوله 5 واتجاهه $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \mathbf{C}\mathbf{o}{\mathbf{s}}^{\mathbf{}}\mathbf{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{\parallel }}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{C}\mathbf{o}{\mathbf{s}}^{\mathbf{}}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{4}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{5}}\\ \mathbf{ }& \frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{5}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{5}}{\sqrt{\mathbf{2}}}\\ & \mathbf{S}\mathbf{i}{\mathbf{n}}^{\mathbf{}}\mathbf{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{\parallel }}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{S}\mathbf{i}{\mathbf{n}}^{\mathbf{}}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{4}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{5}}\\ & \mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{5}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{5}}{\sqrt{\mathbf{2}}}\end{array} \\ \mathbf{ }\overrightarrow{\mathbf{𝔹}}\mathbf{=}\mathbf{(}\frac{\mathbf{5}}{\sqrt{\mathbf{2}}}\mathbf{,}\frac{\mathbf{5}}{\sqrt{\mathbf{2}}}\mathbf{)}\mathbf{=}\frac{\mathbf{5}}{\sqrt{\mathbf{2}}}{\overrightarrow{\mathbf{𝕌}}}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{5}}{\sqrt{\mathbf{2}}}\overrightarrow{\mathbf{U}}\mathbf{2} \end{gathered}$$

د) متجه طوله $\frac{3}{4}$ واتجاهه $\mathrm{\pi }$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{C}\mathbf{o}{\mathbf{s}}^{\mathbf{}}\mathbf{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{المتجه}\mathbf{ }\mathbf{طول}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{C}\mathbf{o}{\mathbf{s}}^{\mathbf{}}\mathbf{\pi }\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}}\\ & \mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}\\ & \mathbf{S}\mathbf{i}{\mathbf{n}}^{\mathbf{}}\mathbf{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{المتجه}\mathbf{ }\mathbf{طول}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{S}\mathbf{i}{\mathbf{n}}^{\mathbf{}}\mathbf{\pi }\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}}\\ & \mathbf{0}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{0}\overrightarrow{\mathbf{ }\mathbf{B}}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{-}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}\mathbf{,}\mathbf{0}\mathbf{)}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{4}}{\overrightarrow{\mathbf{U}}}_{\mathbf{1}}\end{array}$

(9)-

$2\overrightarrow{\mathrm{A}}+3\mathrm{x}=5\overrightarrow{\mathrm{B}} :\mathrm{بحيث} \times \mathrm{جد} \overrightarrow{\mathrm{A}}=(5,2),\overrightarrow{\mathrm{B}}=(2,-4) \mathrm{كان} \mathrm{إذا}$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{2}\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{5}\overrightarrow{\mathbf{B}}\\ & \mathbf{2}\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{5}\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{2}\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{+}\mathbf{2}\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{2}\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{+}\mathbf{5}\overrightarrow{\mathbf{B}}\\ & \mathbf{0}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{(}\mathbf{5}\mathbf{,}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{5}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{)}\\ & \mathbf{3}\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{10}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{10}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{20}\mathbf{)}\\ & \mathbf{3}\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{24}\mathbf{)}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{في}\mathbf{ }\mathbf{بالضرب}\\ & \mathbf{X}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{24}\mathbf{)}\\ & \mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{8}\mathbf{)}\end{array}$