تمرينات (1 - 5)

(1)- جد طول واتجاه كل من المتجهات الآتية ثم ارسم القطعة المستقيمة الموجهة التي تمثل كلاً منها:

أ) (2، 2-)

$$\begin{gathered} \mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{\parallel }\mathbf{=}\sqrt{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{2}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{2}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}} \\ \mathbf{=}\sqrt{\mathbf{4}\mathbf{+}\mathbf{4}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{8}}\mathbf{=}\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{المتجه}\mathbf{ }\mathbf{طول} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{C}\mathit{o}{\mathit{s}}^{\mathbf{}}\mathit{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{\parallel }}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{2}}{\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{2}}}\mathbf{==}\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{2}}} \\ \mathit{S}\mathit{i}{\mathit{n}}^{\mathbf{}}\mathit{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{\parallel }}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{2}}} \end{gathered}$$

Q تقع في الربع الثاني لأن Sin موحب و Cos سالب. فالزاوية في الربع الأول = $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$

$\mathbf{Q}\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{-}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{4}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}\mathbf{\pi }}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{المتجه}\mathbf{ }\mathbf{اتجاه}$

ب) (0، 3-)

$\mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{\parallel }\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{3}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{0}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{9}}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{ }\mathit{u}\mathit{n}\mathit{i}\mathit{t}\mathit{s}\mathbf{ }\mathbf{المتجه}\mathbf{ }\mathbf{طول}$

$$\begin{gathered} \mathit{C}\mathit{o}{\mathit{s}}^{\mathbf{}}\mathbf{\mathbb{Q}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{\parallel }}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{3}}\mathbf{==}\mathbf{1} \\ \mathit{S}\mathit{i}{\mathit{n}}^{\mathbf{}}\mathit{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{\parallel }}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{0} \end{gathered}$$

Q تقع على الاتجاه السالب لمحور السينات واتجاه المتجه $Q = \mathrm{\pi }$

ج) ($\sqrt{3}$، 1)

(الرسم يترك للطالب)

$$\begin{gathered} \mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{\parallel }\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{1}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\sqrt{\mathbf{3}}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{4}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{\text{units}} \\ \mathit{C}\mathit{o}{\mathit{s}}^{\mathbf{}}\mathit{Q}\mathbf{=}\frac{{\displaystyle \mathbf{x}}}{{\displaystyle \mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{\parallel }}}\mathbf{=}\frac{{\displaystyle \mathbf{1}}}{{\displaystyle \mathbf{2}}} \\ \mathit{S}\mathit{i}{\mathit{n}}^{\mathbf{}}\mathit{Q}\mathbf{=}\frac{{\displaystyle \mathbf{y}}}{{\displaystyle \mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{\parallel }}}\mathbf{=}\frac{{\displaystyle \sqrt{\mathbf{3}}}}{{\displaystyle \mathbf{2}}} \end{gathered}$$

Q تقع في الربع الأول لأن sin و cos موجب. اتجاه المتجه $Q =\frac{\mathrm{\pi }}{3}$

د) (6، 0)

$\mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{\parallel }\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{0}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{6}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{36}}\mathbf{=}\mathbf{6}\mathbf{\text{units }}\mathbf{\text{المتجه طول}}$

$$\begin{gathered} \mathit{C}\mathit{o}{\mathit{s}}^{\mathbf{}}\mathit{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{\parallel }}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0}}{\mathbf{6}}\mathbf{=}\mathbf{0} \\ \mathit{S}\mathit{i}{\mathit{n}}^{\mathbf{}}\mathit{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{\parallel }}\mathbf{=}\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{6}}\mathbf{=}\mathbf{1} \end{gathered}$$

Q تقع في الاتجاه الموجب لمحور الصادات واتجاه المتجه $Q = \frac{\mathrm{\pi }}{2}$

ه) (1-، $\sqrt{3}$)

• الحل بنفس الطريقة (يترك للطالب).
• ملاحظة: Q تقع في الربع الرابع.

و) (3-، 3-)

$\mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{\parallel }\mathbf{=}\sqrt{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{3}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{3}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{18}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{3}\sqrt{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathit{u}\mathit{n}\mathit{i}\mathit{t}\mathit{s}\mathbf{ }\mathbf{المتجه}\mathbf{ }\mathbf{طول}$

$$\begin{gathered} \mathit{C}\mathit{o}{\mathit{s}}^{\mathbf{}}\mathit{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{\parallel }}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{3}\sqrt{\mathbf{2}}}\mathbf{==}\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{2}}} \\ \mathit{S}\mathit{i}{\mathit{n}}^{\mathbf{}}\mathit{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{\parallel }}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{3}\sqrt{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{2}}} \end{gathered}$$

Q تقع في الربع الثالث لأن sin سالب و cos سالب فالزاوية في الربع الأول $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$

$\mathbf{Q}\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{+}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{4}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{5}\mathbf{\pi }}{\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{المتجه}\mathbf{ }\mathbf{اتجاه}$

ز) (8-، 0)

(الرسم يترك للطالب)

$$\begin{gathered} \mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{\parallel }\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{0}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{8}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{64}}\mathbf{=}\mathbf{8} \\ \mathit{C}\mathit{o}{\mathit{s}}^{\mathbf{}}\mathit{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{\parallel }}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0}}{\mathbf{8}}\mathbf{=}\mathbf{0} \\ \mathit{S}\mathit{i}{\mathit{n}}^{\mathbf{}}\mathit{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{A}}\mathbf{\parallel }}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{8}}{\mathbf{8}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1} \end{gathered}$$

Q تقع على الاتجاه السالب لمحور الصادات، واتجاه المتجه $\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$

(2)- جد المتجه الذي طوله واتجاهه كما يلي:

أ) $\parallel \overrightarrow{B}\parallel =2,Q=\frac{\pi }{6}$

$$\begin{gathered} \mathit{C}\mathit{o}{\mathit{s}}^{\mathbf{}}\mathbf{ }\mathit{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{\parallel }}\mathbf{⟹}\mathit{C}\mathit{o}{\mathit{s}}^{\mathbf{}}\mathbf{ }\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{6}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{2}} \\ \frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{2}}\mathbf{⟹}\mathbf{x}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{3}} \\ \mathit{S}\mathit{i}{\mathit{n}}^{\mathbf{}}\mathbf{ }\mathit{Q}\mathbf{=}\frac{{\displaystyle \mathbf{y}}}{{\displaystyle \mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{\parallel }}}\mathbf{\Rightarrow }\mathit{S}\mathit{i}{\mathit{n}}^{\mathbf{}}\mathbf{ }\frac{{\displaystyle \mathbf{\pi }}}{{\displaystyle \mathbf{6}}}\mathbf{=}\frac{{\displaystyle \mathbf{y}}}{{\displaystyle \mathbf{2}}} \\ \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{2}}\mathbf{⟹}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{1} \\ \overrightarrow{\mathbf{ }\mathbf{B}}\mathbf{=}\mathbf{(}\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{المتجه} \end{gathered}$$

ب) $\parallel \overrightarrow{B}\parallel =\sqrt{2},Q=\frac{\pi }{4}$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{C}\mathbf{o}{\mathbf{s}}^{\mathbf{}}\mathbf{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{\parallel }}\mathbf{⟹}\mathbf{C}\mathbf{o}{\mathbf{s}}^{\mathbf{}}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{4}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\sqrt{\mathbf{2}}}\\ & \frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\sqrt{\mathbf{2}}}\mathbf{⟹}\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{1}\\ & \mathbf{S}\mathbf{i}{\mathbf{n}}^{\mathbf{}}\mathbf{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{\parallel }\mathbf{B}\mathbf{\parallel }}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{S}\mathbf{i}{\mathbf{n}}^{\mathbf{}}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{4}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\sqrt{\mathbf{2}}}\\ & \frac{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\sqrt{\mathbf{2}}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{1}\\ & \mathbf{ }\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{المتجه}\end{array}$

ج) $\parallel \overrightarrow{B}\parallel =4,Q=\pi$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}\mathbf{C}\mathbf{o}{\mathbf{s}}^{\mathbf{}}\mathbf{Q}& \mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{\parallel }}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{C}\mathbf{o}{\mathbf{s}}^{\mathbf{}}\mathbf{\pi }\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{4}}\\ \mathbf{-}\mathbf{1}& \mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{4}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{4}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \mathbf{S}\mathbf{i}{\mathbf{n}}^{\mathbf{}}\mathbf{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{\parallel }}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{S}\mathbf{i}{\mathbf{n}}^{\mathbf{}}\mathbf{\pi }\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{4}}\\ & \mathbf{0}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{4}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{0}\\ & \overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{0}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{المتجه}\end{array} \end{gathered}$$

د) $\parallel \overrightarrow{\mathrm{B}}\parallel =3,\mathrm{Q}=\frac{3\pi }{2}$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{C}\mathbf{o}{\mathbf{s}}^{\mathbf{}}\mathbf{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{\parallel }}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{C}\mathbf{o}{\mathbf{s}}^{\mathbf{}}\frac{\mathbf{3}\mathbf{\pi }}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{3}}\\ & \mathbf{0}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{3}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{0}\\ & \mathbf{S}\mathbf{i}{\mathbf{n}}^{\mathbf{}}\mathbf{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{\parallel }}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{S}\mathbf{i}{\mathbf{n}}^{\mathbf{}}\frac{\mathbf{3}\mathbf{\pi }}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{3}}\\ & \mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{3}}\mathbf{\Rightarrow }\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{3}\\ & \overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{المتجه}\end{array}$

ه) $\parallel \overrightarrow{\mathrm{B}}\parallel =4,\mathrm{Q}=\frac{2\pi }{3}$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{C}\mathbf{o}{\mathbf{s}}^{\mathbf{}}\mathbf{Q}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{\parallel }}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{C}\mathbf{o}{\mathbf{s}}^{\mathbf{}}\frac{\mathbf{2}\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{4}}\\ & \mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{4}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{2}\\ & \mathbf{S}\mathbf{i}{\mathbf{n}}^{\mathbf{}}\frac{\mathbf{2}\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{\parallel }\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{\parallel }}\mathbf{\Rightarrow }\frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{4}}\\ & \mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{3}}\\ & \overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{المتجه}\end{array}$