تمرينات (3 - 3)

(1)-

أ) أختصر$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a+b}{[\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a-b}}-\frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}}]}^{-1}$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{=}\frac{\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{)}}}{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}}\mathbf{\times }{\mathbf{\left[}\frac{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{-}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}}{\sqrt{\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}}\mathbf{\times }\sqrt{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}}}\mathbf{\right]}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\\ & \mathbf{=}\frac{\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{)}}}{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}}\mathbf{\times }{\mathbf{\left[}\frac{\mathbf{2}\mathbf{b}}{\sqrt{\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}}\mathbf{\times }\sqrt{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}}}\mathbf{\right]}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{=}\frac{\sqrt{\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}}\mathbf{\times }\sqrt{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}}}{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}}\mathbf{\times }\frac{\sqrt{\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}}\mathbf{\times }\sqrt{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}}}{\mathbf{2}\mathbf{b}}\\ & \mathbf{=}\frac{\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{)}}{\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{)}\mathbf{\left(}\mathbf{2}\mathbf{b}\mathbf{\right)}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}}{\mathbf{2}\mathbf{b}}\end{array}$

ب) إذا كان $y=\sqrt[3]{4}-\sqrt{2}+1,x=\sqrt[3]{2}+1$ فأثبت أن $xy=3$.

تمثل تحليل مجموع مكعبين:

$\begin{array}{rl}& \mathbf{x}\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{(}\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{(}\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{4}}\mathbf{-}\sqrt{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{)}\\ & \mathbf{=}\mathbf{(}\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{2}}{\mathbf{)}}^{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{1}{\mathbf{)}}^{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{=}\mathbf{3}\end{array}$

الطرف الأيمن = الطرف الأيسر.

(2)- مثل بيانياً الدوال التالية:

a) $f\left(x\right)=-4x^2+5$

b) $f\left(x\right)=x-8$

c) $f\left(x\right)=2-x^3$

(3)- جد أوسع مجال للدوال التالية:

a) $f\left(x\right)=x^2-5x+9$

أوسع مجال = R

b) $f\left(x\right)=\frac{x-1}{x+9}$

$\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{9}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{\Rightarrow }\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{9}\mathbf{\Rightarrow }\mathit{R}\mathbf{/}\mathbf{\{}\mathbf{-}\mathbf{9}\mathbf{\}}\mathbf{ }\mathbf{مجال}\mathbf{ }\mathbf{أوسع}$

c) $f\left(x\right)=\sqrt{x-9}$

$\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{9}\mathbf{\ge }\mathbf{0}\mathbf{\Rightarrow }\mathit{x}\mathbf{\ge }\mathbf{9}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{\{}\mathit{x}\mathbf{:}\mathit{x}\mathbf{\in }\mathit{R}\mathbf{,}\mathit{x}\mathbf{\ge }\mathbf{9}\mathbf{\}}\mathbf{ }\mathbf{مجال}\mathbf{ }\mathbf{أوسع}$

d) $f\left(x\right)=\sqrt{3-5x}$

$\mathbf{3}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathit{x}\mathbf{\ge }\mathbf{0}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{-}\mathbf{5}\mathit{x}\mathbf{\ge }\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{\Rightarrow }\mathit{x}\mathbf{\le }\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{5}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{\{}\mathbf{x}\mathbf{:}\mathbf{x}\mathbf{\in }\mathbf{R}\mathbf{,}\mathbf{x}\mathbf{\le }\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{5}}\mathbf{\}}\mathbf{ }\mathbf{مجال}\mathbf{ }\mathbf{أوسع}$

e) $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2-9}$

${\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{9}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{\Rightarrow }{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{9}\mathbf{\Rightarrow }\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{\pm }\mathbf{3}\mathbf{\Rightarrow }\mathit{R}\mathbf{/}\mathbf{\{}\mathbf{\pm }\mathbf{3}\mathbf{\}}\mathbf{ }\mathbf{مجال}\mathbf{ }\mathbf{أوسع}$

(4)- أوجد ناتج ما يلي بحيث يكون المقام كمية نسبية:

أ) $\text{Ans:}\frac{a-b}{x}\frac{3}{a-b}\sqrt{\frac{2x}{a-b}}÷\sqrt{\frac{18x^3}{(a-b{)}^5}}$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{=}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}}\mathbf{\times }\sqrt{\frac{\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}\mathbf{)}}{\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}\mathbf{)}}}\mathbf{÷}\frac{\mathbf{3}\mathbf{x}\sqrt{\mathbf{2}\mathbf{x}}}{\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\sqrt{\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}}}\\ & \mathbf{=}\frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}}\mathbf{\times }\frac{\sqrt{\mathbf{2}\mathbf{x}}\mathbf{\cdot }\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}\mathbf{)}}}{\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}\mathbf{)}}\mathbf{\times }\frac{\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\sqrt{\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}}}{\mathbf{3}\mathbf{\times }\mathbf{\cdot }\sqrt{\mathbf{2}\mathbf{x}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}}{\mathbf{x}}\end{array}$

ب) $\text{Ans:}\frac{5}{24}\frac{\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{8}{27}}}{\sqrt{2}(\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}})}$

$\mathbf{=}\frac{\frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\sqrt{\mathbf{2}}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{2}}}{\mathbf{3}\sqrt{\mathbf{3}}}}{\sqrt{\mathbf{6}}\mathbf{+}\frac{\sqrt{\mathbf{2}}}{\sqrt{\mathbf{3}}}}\mathbf{=}\frac{\frac{\sqrt{\mathbf{6}}}{\mathbf{2}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{6}}}{\mathbf{9}}}{\sqrt{\mathbf{6}}\mathbf{+}\frac{\sqrt{\mathbf{6}}}{\mathbf{3}}}\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{بالعدد}\mathbf{ }\frac{\sqrt{\mathbf{2}}}{\sqrt{\mathbf{3}}}\mathbf{ }\mathbf{بالعدد}\mathbf{ }\mathbf{الكسر}\mathbf{ }\mathbf{ومقام}\mathbf{ }\mathbf{بسط}\mathbf{ }\mathbf{ضربنا}$

$\mathbf{=}\frac{\frac{\mathbf{9}\sqrt{\mathbf{6}}\mathbf{-}\mathbf{4}\sqrt{\mathbf{6}}}{\mathbf{18}}}{\frac{\mathbf{3}\sqrt{\mathbf{6}}\mathbf{+}\sqrt{\mathbf{6}}}{\mathbf{3}}}\mathbf{=}\frac{\frac{\mathbf{5}\sqrt{\mathbf{6}}}{\mathbf{18}}}{\frac{\mathbf{4}\sqrt{\mathbf{6}}}{\mathbf{3}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{5}\sqrt{\mathbf{6}}}{\mathbf{18}}\mathbf{\times }\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}\sqrt{\mathbf{6}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{24}}\mathbf{ }\mathbf{الناتج}\mathbf{ }\mathbf{والمقام}\mathbf{ }\mathbf{البسط}\mathbf{ }\mathbf{من}\mathbf{ }\mathbf{كل}\mathbf{ }\mathbf{بتركيب}$

ج) $Ans: 1 \sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}}-\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}}$

$$\begin{gathered} \mathbf{=}\sqrt{\frac{\sqrt{\mathbf{5}}\mathbf{+}\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{5}}\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{\times }\frac{\sqrt{\mathbf{5}}\mathbf{+}\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{5}}\mathbf{+}\mathbf{1}}}\mathbf{-}\sqrt{\frac{\sqrt{\mathbf{5}}\mathbf{-}\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{5}}\mathbf{+}\mathbf{1}}\mathbf{\times }\frac{\sqrt{\mathbf{5}}\mathbf{-}\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{5}}\mathbf{-}\mathbf{1}}} \\ \begin{array}{rl}& \mathbf{=}\sqrt{\frac{\mathbf{(}\sqrt{\mathbf{5}}\mathbf{+}\mathbf{1}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{5}\mathbf{-}\mathbf{1}}}\mathbf{-}\sqrt{\frac{\mathbf{(}\sqrt{\mathbf{5}}\mathbf{-}\mathbf{1}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{5}\mathbf{-}\mathbf{1}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{(}\sqrt{\mathbf{5}}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{-}\mathbf{(}\sqrt{\mathbf{5}}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}}{\mathbf{2}}\\ & \mathbf{=}\frac{\sqrt{\mathbf{5}}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{-}\sqrt{\mathbf{5}}\mathbf{+}\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{1}\end{array} \end{gathered}$$

(5)-

أ) أثبت أن: $\frac{-15}{x-6+\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{x}-2}-\frac{3}{\sqrt{x}+3}=0$

الطرف الأيسر:

$\begin{array}{rl}& \frac{\mathbf{-}\mathbf{15}}{\mathbf{x}\mathbf{+}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{6}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{3}}{\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{3}}{\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{+}\mathbf{3}}\mathbf{=}\\ & \frac{\mathbf{-}\mathbf{15}}{\mathbf{(}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{(}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{3}}{\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{2}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{3}}{\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{3}}\\ & \frac{\mathbf{-}\mathbf{15}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{(}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{(}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}}{\mathbf{(}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{(}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{15}\mathbf{+}\mathbf{3}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{+}\mathbf{9}\mathbf{-}\mathbf{3}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{+}\mathbf{6}}{\mathbf{(}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{(}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}}\\ & \mathbf{=}\frac{\mathbf{0}}{\mathbf{(}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{(}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}}\mathbf{=}\mathbf{0}\end{array}$

الطرف الأيمن = الطرف الأيسر.

ب) جد x بصورة $\begin{array}{rl}& a+\sqrt{3}b\end{array}$ إذا كانت: $\begin{array}{rl}& x+\sqrt{3}x=8\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{x}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{+}\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{8}\\ & \mathbf{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{8}}{\mathbf{1}\mathbf{+}\sqrt{\mathbf{3}}}\mathbf{\cdot }\frac{\mathbf{1}\mathbf{-}\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{1}\mathbf{-}\sqrt{\mathbf{3}}}\\ & \mathbf{=}\frac{\mathbf{8}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{-}\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{)}}{\mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{8}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{-}\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{)}}{\mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{2}}\\ & \mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{-}\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{+}\mathbf{4}\sqrt{\mathbf{3}}\end{array}$

(6)- ارسم جزءاً من المنحني البياني للدالة: $y={\left(\frac{1}{5}\right)}^x$