الدرس: 1-2 العلاقة بين الاحداثيات الكارتيزية والاحداثيات القطبية

العلاقة بين الاحداثيات الكارتيزية ( Y, X ) والاحداثيات القطبية $(r,\theta )$ يمكن ان نلاحظها في المثلث الموضح في الشكل.

أولًا: لتحويل النقطة من الاحداثيات القطبية $(r,\theta )$ الى الاحداثيات الى الاحداثيات الكارتيزية ( Y, X ) تستخدم العلاقات التالية:

$\begin{array}{r}\cos \theta =\frac{x}{r}\\ \sin \theta =\frac{y}{r}\end{array}\Rightarrow \begin{array}{r}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}$

ثانيًا: لتحويل النقطة من الاحداثيات الكارتيزية (Y, X) الى الاحداثيات القطبية $(r,\theta )$ تستخدم حسب نظرية فيثاغورث العلاقات التالية:

$\begin{array}{c}{r}^2=x^2+y^2\\ r=\sqrt{x^2+y^2}\end{array}$

لإيجاد الزاوية ( $\theta$ ) المحصورة بين البعد ( r ) والمحور ( X ) تستخدم ( $\theta$tan ) وكما يلي:

$\tan \theta =\frac{y}{x}\text{ or }\theta ={\tan }^{-1}\frac{y}{x}$

اذا كانت المحاور الكارتزية لنقطة تقع في المستوي (Y, X) هي (2.5-و, 3.5-) كما موضح بالشكل عين المحاور القطبية علمًا ان tan$\theta$=35.53.

$\begin{array}{c}r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-3.5{)}^2+(-2.5{)}^2}\\ \\ r=\sqrt{12.25+6.25}=4.3\mathrm{m}\\ \\ \tan \theta =\frac{x}{y}=\frac{-2.5}{-3.5}=0.714\\ \\ \mathit{\theta }={35.53}^{\circ }\end{array}$

$\left(\theta \right)$: تقع في الربع الثالث

$\theta ={180}^{\circ }+35\cdot {53}^{\circ }=215\cdot {53}^{\circ }$

المحاور القطبية له $(r,\theta )$ تساوي $.\left(4.3,{215.53}^{\circ }\right)$

حول النقطة (3,4) الى الصورة القطبية؟

$\begin{array}{c}r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(4{)}^2+(3{)}^2}\\ \\ r=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\text{ units }\\ \\ \tan \theta =\frac{y}{x}=\frac{3}{4}\\ \\ \therefore \theta ={37}^{\circ }\end{array}$

حول النقطة $\left(4,{30}^{\circ }\right)$ الى الاحداثيات الكارتيزية؟

$\begin{array}{c}x=r\cos \theta =4\times \cos {30}^{\circ }\\ x=4\times \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\\ \\ y=r\sin \theta =4\times \sin {30}^{\circ }\\ \\ y=4\times 0.5=2\end{array}$

الاحداثيات الكارتيزية هي: $.(2,2\sqrt{3})$