الدرس: 6-1 ضرب المتجهات

هناك طريقتين لضرب المتجهات:

اولًا. الضرب القياسي (النقطي)

يسمى نقطياً لأن اشارة الضرب فيه في النقطة ويسمى قياسيًا لأن ناتج ضرب كمية متجه بكمية متجه اخرى كمية قياسية.

يعرف الضرب القياسي ( النقطي ) للمتجهين $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}$ كما ياتي: $\overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{B}}=\left|\mathrm{A}\right|\left|\mathrm{B}\right|\cos \theta$

$\theta$: هي الزاوية المحصورة بين $\overrightarrow{\mathbf{A}},\overrightarrow{\mathbf{B}}$

ثانيًا. الضرب الاتجاهي

ان ناتج الضرب الاتجاهي هو كمية متجه حيث ينتج عن حاصل ضرب المتجهين متجهاً آخر ثالث يكون اتجاهه عمودي على المستوى الذي يحوي المتجهين $\overrightarrow{\mathbf{A}},\overrightarrow{\mathbf{B}}$ ويعرف الضرب الاتجاهي رياضيا كما ياتي:

$\overrightarrow{C}=\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}$

حيث مقدار المتجه $\overrightarrow{C}$ هو:

$\left|\overrightarrow{C}\right|=\left|\overrightarrow{A}\right|.\left|\overrightarrow{B}\right|\sin \theta$

$\theta$: الزاوية بين المتجهين وتطبق قاعدة الكف اليمنى لتعين اتجاه المتجه المحصل للضرب الاتجاهي للمتجهين ( ندور اصابع الكف اليمنى من اتجاه $\overrightarrow{A}$ نحو $\overrightarrow{B}$ فيشير الابهام الى اتجاه $\overrightarrow{C}$ ).

ملاحظة

الشغل كمية عددية ناتجة عن ضرب متجه القوة في متجه الازاحة ضربًا عدديًا:

$W\left(\text{ work }\right)=\overrightarrow{F}\text{ (Force) }\cdot \overrightarrow{X}$

اثرت قوة 40N باتجاه 37 فوق الافق في جسم فحركته ازاحة 10m بالاتجاه الافقي احسب مقدار الشغل الذي تبذله تلك القوة؟

$\begin{array}{r}\text{ W(work) }=\overrightarrow{\mathrm{F}}\text{ (Force) })\cdot \overrightarrow{\mathrm{x}}(\text{ displacement })\\ \\ \mathrm{W}=\left|\overrightarrow{\mathrm{F}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{x}}\right|\cos \theta \\ \\ \mathrm{W}=40\times 10\times \cos {37}^{\circ }\\ \\ \mathrm{W}=40\times 10\times \frac{4}{5}=320\text{ Joule }\end{array}$

ملاحظة

عزم القوة كمية اتجاهية ناتجة عن ضرب متجه القوة في متجه الازاحة ضريًا اتجاهيًا

اثرت قوة F ومقدارها 50N في عتلة ab عند نقطة a وباتجاه 30 جنوب الشرق والتي تبعد بالازاحة $\overrightarrow{X}$ والتي مقدارها 5m في نقطة b إلى نقطة a جد مقدار المتجه للحصل $\overrightarrow{X}\times \overrightarrow{F}$

$\begin{array}{r}|\overrightarrow{F}\times \overrightarrow{X}|=\left|\overrightarrow{X}\right|\left|\overrightarrow{F}\right|\sin \theta \\ \\ |\overrightarrow{F}\times \overrightarrow{X}|=5\times 150\sin {30}^{\circ }\\ \\ |\overrightarrow{F}\times \overrightarrow{X}|=5\times 150\times \frac{1}{2}\\ \\ |\overrightarrow{F}\times \overrightarrow{X}|=375\text{ N. }m\end{array}$

باتجاه بعيدا عن القاريء خارج الصفحة طبقًا لقاعدة الكف اليمني.

ملاحظات

$\cos 0=1$ $\Leftarrow$$\overline{A}\cdot \mathbf{A}=\left|\mathrm{A}\right|\overrightarrow{A}\mid \cos 0={\mathrm{A}}^2$.

$\sin 0=0$ $\Leftarrow$$|\overrightarrow{\mathbf{A}}\times \overrightarrow{\mathbf{A}}|=\left|\overrightarrow{\mathbf{A}}\right|\left|\overrightarrow{\mathbf{A}}\right|\sin 0=0$.

خاصية الابدال تتحقق بالضرب القياسي$\Leftarrow$$\overrightarrow{\mathrm{A}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{B}}=\overrightarrow{\mathrm{B}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{A}}$.

خاصية الابدال لا تتحقق بالضرب الاتجاهي $\Leftarrow$ $\{\overrightarrow{\mathrm{A}}\times \overrightarrow{\mathrm{B}}=-\overrightarrow{\mathrm{B}}\times \overrightarrow{\mathrm{A}}\}$.

$\cos {90}^{\circ }=0,\sin {90}^{\circ }=1$ $\Leftarrow$اذا كان المتجهان $\overrightarrow{A}$ عمودي على $\overrightarrow{\mathit{B}}$ فان $\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=0$.