تمارين (3-3)

(1)- وقف شخص في أعلى برج وأبصر شجرتين تقعان مع قاعدة البرج على استقامة واحدة فكانت زاوية انخفاض قاعدة الشجرة الأولى $60°$، وزاوية انخفاض قاعدة الشجرة الثانية $45°$ جد المسافة بين الشجرتين من العلم أن ارتفاع البرج 30 م.

• نفرض موقع الشجرة الأولى = A
• نفرض موقع الشجرة الثانية = B

زاوية الارتفاع = زاوية الانخفاض

$\begin{array}{r}\tan 45=\frac{DC}{AC}\\ 1=\frac{30}{AC}\Rightarrow AC=30m\end{array}$

• بعد الشجرة الأولى عن قاعدة البرج.
• بعد الشجرة الثانية عن قاعدة البرج.

$\tan 60=\frac{DC}{BC}\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{30}{BC}\Rightarrow BC=\frac{30}{\sqrt{3}}=10\sqrt{3}\mathrm{m}$

البعد بين الشجرتين $AB=AC-BC=30-10\sqrt{3}\cong 13\mathrm{m}$

(2)- من نقطة تبعد عن قاعدة مئذنة 50 متراً وجد راصد آن زاوية ارتفاع قمتها $30°$ فما ارتفاع المئذنة.

نفرض ارتفاع المئذنة = L وحدة طول

$\begin{array}{r}\tan 30=\frac{L}{50}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{L}{50}\Rightarrow =L=\frac{50}{\sqrt{3}}\end{array}$

ارتفاع المئذنة $\therefore \mathrm{L}\cong 28.37\mathrm{m}$

(3)- عمود كهرباء طوله 6 أمتار مثبت شاقولياً (عمودياً) على أرض أفقية ومربوط بسلك في نهايته العليا ومثبت على سطح الأرض وكان قياس الزاوية التي يصنعها السلك مع سطح الأرض $° 60$ من طول السلك.

نفرض طول السلك = L وحدة طول

$\begin{array}{r}\sin 60=\frac{AB}{AC}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{4}\end{array}$

طول السلك $\therefore L=\frac{2\times 6}{\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}\cong 6.92\mathrm{m}$

(4)- شاهد راصد زاوية ارتفاع منطاد مثبت هي $45°$ ولما سار الراصد في مستو أفق نحو المنطاد ومسافة 1000 متر شاهد أن زاوية ارتفاع هي $60°$ ° جد ارتفاع المنطاد.

نفرض ارتفاع المنطاد = y وبعد الراصد عن أثر المنطاد = x

$$\begin{gathered} \begin{array}{r}\tan 45=\frac{y}{x}\Rightarrow 1=\frac{y}{x}\\ \therefore y=x\\ \tan 60=\frac{y}{BD}\end{array} \\ \begin{array}{r}\sqrt{3}=\frac{y}{x-1000}\Rightarrow y=\sqrt{3}(x-1000)\\ \therefore y=\sqrt{3}(y-1000)\\ \therefore y=\sqrt{3}y-1000\sqrt{3}\Rightarrow \sqrt{3}y-y=1000\sqrt{3}\end{array} \\ \therefore y(\sqrt{3}-1)=1000\sqrt{3}\Rightarrow y=\frac{1000\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \end{gathered}$$

ارتفاع المنطاد $y\cong 2366\mathrm{m}$