بعض العلاقات الأساسية في حساب المثلثات

$\begin{array}{rl}& (AB{)}^2+(BC{)}^2=(AC{)}^2\\ & {\left(\frac{AB}{AC}\right)}^2+{\left(\frac{BC}{AC}\right)}^2=1 \left((\mathrm{AC}{)}^2 \mathrm{على} \mathrm{الطرفين} \mathrm{بقسمة}\right)\\ & {\left(\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{الوتر}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{المجاور}}{\mathrm{الوتر}}\right)}^2=1\\ & {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1\end{array}$

كذلك $\tan \theta =\frac{AB}{BC}$ وبقسمة البسط والمقام على AC ينتج:

$\tan \theta =\frac{\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}}{\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}}=\frac{\sin \theta }{\cos \theta }\Rightarrow \tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$

(1)- إذا علمت أن $\cos C=\frac{5}{13}$ في المثلث ABC القائم الزاوية في B جد $\tan C,\sin A,\cos A$

نرسم المثلث ABC القائم الزاوية في B حيث K ثابت

$\therefore \mathrm{Cos}c=\frac{5}{13}\Rightarrow BC=5k,AC=13k$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}(AC{)}^2=& (AB{)}^2+(CB{)}^2 \mathrm{فيثاغورس} \mathrm{مبرهنة}\\ (13k{)}^2& =(AB{)}^2+(5k{)}^2\\ & (AB{)}^2=169k^2-25k^2=144k^2\\ & \therefore AB=12k\end{array} \\ \tan \mathrm{c}=\frac{12k}{5k}=\frac{12}{5},\cos \mathrm{A}=\frac{12k}{13k}=\frac{12}{13},\sin \mathrm{A}=\frac{5k}{13k}=\frac{5}{13} \end{gathered}$$

(2)- إذا علمت أن $\tan A=\frac{7}{24}$ في المثلث ABC القائم الزاوية في C جد $\cos B,\sin A$

نرسم المثلث ABC القائم الزاوية في C

$\tan A=\frac{7}{24}\Rightarrow BC=7k,AC=24k$

$\begin{array}{rl}(AB{)}^2& =(AC{)}^2+(BC{)}^2 \mathrm{فيثاغورس} \mathrm{مبرهنة}\\ \therefore (AB{)}^2& =(24k{)}^2+(7k{)}^2\Rightarrow AB=25k\\ \sin A& =\frac{7k}{25k}=\frac{7}{25},\cos B=\frac{7k}{25k}=\frac{7}{25}\\ \therefore & \sin A=\cos B\end{array}$

ملاحظة: إذا كان مجموع زاويتين في مثلث قائم يساوي ($90°$) أي أنهما زاويتان متتامتان فإن جيب أحدها يساوي جيب تمام الأخرى وبالعكس كما في المثال السابق.