تمارين (2-4)

(1)- جد معادلة المنحني الذي ميله عند (x,y) يساوي $\frac{-2}{x^3}$ وكان المنحني يمر بالنقطة (1,3)؟

$\begin{array}{rl}& y=\int \overline{f}\left(x\right)dx\Rightarrow y=\int -\frac{2}{x^3}dx\\ & y=\int -2x^{-3}dx\Rightarrow y=\frac{-2x^{-2}}{-2}+C\\ & y=x^{-2}+C\end{array}$

نعوض النقطة (1,3)

$\begin{array}{rl}& y=\frac{1}{x^2}+C\Rightarrow 3=1+C\Rightarrow C=2\\ & \therefore y=\frac{1}{x^2}+2\end{array}$

(2)- جد معادلة المنحني الذي ميله عند (x, y ) من نقاطه هو $(3x^2-6x-9)$ وكان للمنحني نهاية عظمى قيمتها (10)؟

$\begin{array}{rl}& 3x^2-6x-9=0]÷3\Rightarrow x^2-2x-3=0\\ & (x-3)(x+1)=0 \mathrm{إما} x=3 \mathrm{أو} x=-1\end{array}$

(1,10-) نهاية عظمى

$\begin{array}{rl}& y=\int \overline{f}\left(x\right)dx\Rightarrow y\int (3x^2-6x-9)dx\\ & y=\frac{3x^3}{3}-\frac{6x^2}{2}-9x+C\Rightarrow y=x^3-3x^2-9x+C\end{array}$

نعوض النقطة (1,10-)

$\begin{array}{rl}& 10=(-1{)}^3-3(-1{)}^2-9(-1)+C\\ & 10=-1-3+9+C\Rightarrow 10=5+C\Rightarrow C=5\\ & \therefore y=x^3-3x^2-9x+5\end{array}$

(3)- جد معادلة المنحني الذي مشتقته الثانية = $6x-2$ وكان ميله عند النقطة (2,5) يساوي (1-)؟

$\begin{array}{rl}& \overline{y}=\int \overline{f}\left(x\right)dx\Rightarrow \overline{y}=\int (6x-2)dx\\ & \overline{y}=\frac{6x^2}{2}-2x+C_1\Rightarrow \overline{y}=3x^2-2x+C_1,,\overline{y}=-1,x=2\\ & -1=3(2{)}^2-2(2)+C_1\Rightarrow -1=12-4+C_1\Rightarrow -1=8+C_1\Rightarrow C_1=-9\\ & \overline{y}=3x^2-2x-9\\ & y={\int }_f\overline{f}\left(x\right)dx\Rightarrow y=\int (3x^2-2x-9)dx\\ & y=\frac{3x^3}{2}-\frac{2x^2}{2}-9x+C_2\end{array}$

نعوض النقطة (2,5)

$\begin{array}{rl}& y=x^3-x^2-9x+C_2\\ & 5=(2{)}^3-(2{)}^2-9\left(2\right)+C_2\Rightarrow 5=8-4-18+C_2\Rightarrow 5=-14+C_2\Rightarrow C_2=19\\ & \therefore y=x^3-x^2-9x+19\end{array}$

(4)- منحني يمر بالنقطتين (3-,2),(1,9-) وميله عند (x,y) يساوي $\left(ax-5\right)$ جد معادلة؟

$\begin{array}{c}y=\int \overline{f}\left(x\right)dx\Rightarrow y=\int (ax-5)dx\\ y=\frac{a{x}^2}{2}-5x+C\end{array}$

نعوض النقطة (3-,2)

$-3=\frac{4a}{2}-5\left(2\right)+C\Rightarrow -3=2a-10+C\Rightarrow 2a+C=7.....\left(1\right)$

نعوض النقطة (1,9-)

$9=\frac{a(-1{)}^2}{2}-5(-1)+C\Rightarrow 9=\frac{1}{2}a+5+C\Rightarrow \frac{1}{2}a+C=4....\left(2\right)$

من (1) و(2) نحصل على

$\begin{array}{rl}& 2a+C=7.....\left(1\right)\\ & \begin{array}{rl}& -\frac{1}{2}a\mp C=-4\dots \dots \dots ..\left(2\right) \mathrm{بالطرح}\\ & \frac{3}{2}a=3\Rightarrow 3a=6\Rightarrow a=2\end{array}\end{array}$

نعوض قيمة a في حالة (1)

$4+C=7\Rightarrow C=3\Rightarrow \therefore y=x^2-5x+3$

(5)- أذا كانت دالة الإيراد الحدي هي $\overline{M}=12-8v+v^2$ فأوجد دالة الإيراد الكلي ودالة طلب السعر بفرض ما ينتج يباع؟

$M=\int (12-8v+v^2)dv\Rightarrow M=12v-4v^2+\frac{1}{3}{v}^3+C$

حيث أن M=0 إذا كان v=0 فإن C=0

دالة طلب السعر = $\frac{M}{v}$

$\begin{array}{rl}\therefore M& =12v-4v^2+\frac{1}{3}{v}^3\\ & =12-4v-\frac{1}{3}{v}^2\end{array}$

(6)- إذا كانت التكلفة الحدية هي $\overline{T}=1000-5v$ حيث $\overline{v}$ حجم الإنتاج فأوجد دالة التكلفة الكلية مع العلم أن التكلفة الثابتة = 150؟

$\begin{array}{rl}& T=\int \overline{T}dv\Rightarrow T=\int (1000-5vdv\\ & T=1000v-\frac{5}{2}{v}^2+C\\ & C=150v=0\mathrm{عندما} T=150\\ & \therefore T=1000v-\frac{5}{2}{v}^2+150\end{array}$