تمارين (2-1)

1- احسب قيمة كل مما يأتي:

- $\frac{7!}{5!}$

$\frac{7!}{5!}=\frac{7\ast 6\ast 5!}{5!}=42$

- $\frac{\lfloor 19}{\lfloor 5}-\frac{\lfloor 10}{\lfloor 6}$

$\frac{\lfloor 19}{\lfloor 5}-\frac{\lfloor 10}{\lfloor 6}=\frac{9\ast 8\ast 7\ast 6\mathrm{\%}5!}{5!}-\frac{10\ast 9\ast 8\ast 7\ast 6!}{6!}=3024-5040=-2016$

2- جد قيمة n إذا كان:

- $n!=5040$

$\begin{array}{rl}& n!=7\ast 6\ast 5\ast 4\ast 3\ast 2\ast 1\\ & n!=7!\\ & \therefore n=7\end{array}$

- $P_2^n=72$

$\begin{array}{rl}& n(n-1)=72⟹n^2-n-72=0⟹(n-9)(n+8)=0\\ & \text{either }n-9=0⟹n=9\\ & \text{or }n+8=0⟹n=-8 \mathrm{تهمل}\end{array}$

- $P_5^n=8\ast P_4^n$

$\begin{array}{rl}& n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)=8n(n-1)(n-2)(n-3)\\ & n-4=8⟹n=8+4⟹n=12\end{array}$

- $\frac{(n+1)!}{(n-1)}=30$

$\begin{array}{rl}& \frac{(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!}=30\\ & n(n+1)=30\\ & n^2+n-30=0\Rightarrow (n+6)(n-5)=0\\ & \text{either }n+6=0\\ & n=-6 \text{تهمل }\text{ or }n-5=0\Rightarrow n=5\end{array}$

3- إذا كان لدينا المجموعة {1,2,3,4,5,6,7} =x فكم عدداً يمكن تكوينه إذا كان:

- رمزه مكون من ثلاثة أرقام بدون تكرار الرقم في العدد نفسه؟

$P_3^7=7\ast 6\ast 5=210 \mathrm{عدد}$

ملاحظة:

يمكن أن يحل بمبدأ العد التكرار غير مسموح.

- رمزه مكون من ثلاثة أرقام يسمح بتكرار الرقم في العدد نفسه؟

عدد طرق اختيار رقم الآحاد = 7

عدد طرق اختيار رقم العشرات = 7

عدد طرق اختيار رقم المئات = 7

عدد الطرق = $7 \times 7 \times 7 = 343$ عدداً

- رمزه مكون من ثلاثة أرقام أصغر من (400) بدون تكرار في العدد نفسه؟

عدد طرق اختيار رقم المئات = 3

عدد طرق اختيار رقم العشرات = 6

عدد طرق اختيار رقم الآحاد = 5

عدد الأعداد = $5 \times 6 \times 3 = 90$ عدداً

- رمزه مكون من ثلاثة أرقام أكبر من (200) ويسمح بتكرار الرقم في العدد نفسه؟

عدد طرق اختيار رقم المئات = 6

عدد طرق اختيار رقم العشرات = 7

عدد طرق اختيار رقم الآحاد = 7

عدد الأعداد = $7\times 7 \times 6 = 294$ عدد

- رمزه مكون من ثلاثة أرقام ويكون زوجياً بدون تكرار الرقم في العدد نفسه؟

عدد طرق اختيار رقم الآحاد = 3

عدد طرق اختيار رقم العشرات = 6

عدد طرق اختيار رقم المئات = 5

عدد الأعداد = $5 \times 6 \times 3 = 90$ عدداً

- رمزه مكون من ثلاثة أرقام ويكون فردياً ويسمح بتكرار الرقم في العدد نفسه؟

عدد طرق اختيار رقم الآحاد = 4

عدد طرق اختيار رقم العشرات = 7

عدد طرق اختيار رقم المئات = 7

عدد الأعداد = $7 \times 7 \times 4 = 196$ عدداً

4- يجري في إحدى الصفوف انتخاباً على ثلاثة مراكز في إحدى لجان الصف هي الرئيس ونائب الرئيس وأمين السر ما عدد النتائج التي تسفر عنها الانتخابات إذا علم أن عدد الطلاب المشاركين في الانتخابات عشرة طلاب؟

$P_3^{10}=10\times 9\times 8=720$

5- كم كلمة مختلفة الحروف مكونة من ثلاثة حروف من بين حروف كلمة (زي قار)؟

$P_3^5=5\times 4\times 3=60 \mathrm{كلمة}$

6- بكم طريقة يمكن أن يجلس خمسة طلاب في صف من ثمانية كراسي؟

$P_5^8=8\times 7\times 6\times 5\times 4=6720 \mathrm{طريقة}$